精品解析：2025年甘肃省平凉市庄浪县中考一模数学试题

庄浪县2025年第一次中考模拟诊断考试数学试题 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. －4的绝对值是（ ） A. 4 B. C. －4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的概念计算即可．（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值．） 【详解】根据绝对值的概念可得：-4的绝对值为4． 故选：A． 【点睛】错因分析：容易题．选错的原因是对绝对值的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆． 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找出对称轴是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，由此结合图形分析，找出对称轴即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C ． 3. 根据统计，2024年我国出生人口约为9540000人，将数据9540000用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选B． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法和乘方计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算乘方，再算除法即可． 【详解】解：． 故选C． 5. 如图，在中，平分交于点，于点，若，则的度数为（　　） A. 47° B. C. 50° D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和垂直的定义、三角形内角和定理，牢记相关的定理和定义是解题的关键．先利用角平分线的定义求出，再根据垂直和三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，．   故选：A ． 6. 用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么的值为（　　） A. B. 11 C. 13 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，实数的混合运算，理解新定义的运算方法是解答本题的关键．根据新定义转化为实数的混合运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 7. 如图，内接于是的一条弦，，连接，若，则的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等． 利用同弧所对的圆周角相等和等边对等角即可解答此题． 【详解】解：，且， ， ， ， ， 故选：C． 8. 为保护人类赖以生存的生态环境，我国将每年的3月12日定为中国植树节．在植树节当天，某校组织各班级进行植树活动，活动结束后统计了所有班级每班种植树木的数量（棵），按照的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，根据统计结果，下列说法错误的是（　　） A. 共有24个班级参加此次植树活动 B. 种植树木的数量在这一组的班级个数最多 C. 有的班级种植树木的数量少于35棵 D. 有3个班级都种了45棵树 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，从直方图中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、共有个班级参加植树活动，正确，不符合题意； B、根据统计图可知种植树木的数量在这一组的班级个数最多，正确，不符合题意； C、有的班级种植树木的数量少于35棵，正确，不符合题意； D、有3个班级都种了棵树，错误，符合题意． 故选：D． 9. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”． 甲乙两位同学分别给出自己的理解： 甲：设牧童人数为y人，根据题意可列方程 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程 则下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分别设出不同的未知数，根据不同等量关系列出方程后判断即可． 【详解】甲：设牧童人数为y人，根据竹竿总数相同可得：； 乙：设竹竿数为竿，根据总人数相同可列方程：， ∴两位同学的方程均正确， 故选：A． 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义． 图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，再由三角形中线等分面积即可求解． 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，， 当点从点到点时，对应图2中线段，得， 当点从到时，对应图2中曲线从点到点，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， 当点运动到的中点处时，， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 12. 直线（为常数）不经过第二象限，则的值可以是______．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象可知即可，解题的关键是正确理解一次函数（为常数，）是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【详解】解：∵直线（为常数）不经过第二象限， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 13. 如图，在中，，是上一点，且．若，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ， 故答案为：2． 14. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O ， H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 周长为 20， 则OH 的长等于_____． 【答案】2.5 【解析】 【分析】先求菱形的边长，再根据直角三角形中底边的中线等于底边的一半的性质求解． 【详解】解：已知菱形 ABCD 的周长为 20 菱形 ABCD 中，交于点O． 在中， 故答案为2.5． 【点睛】此题重点考查学生对菱形性质的理解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 15. 年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令即，然后解一元二次方程即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点到轴的水平距离是， 故答案为：． 16. “莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了等边三角形的性质． 直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵等边的边长为3， ∴，， ∴该莱洛三角形的周长． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法和乘法，二次根式的性质，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 先通过二次根式乘法，二次根式的性质化简，然后合并二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握乘法公式是解题关键． 先利用平方差公式、单项式乘多项式进行化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入，得：原式． 20. 筒车（图1）是我国古代发明一种水利灌溉工具，如图2，表示筒车的外轮廓，为筒车的涉水宽度，为涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离，分别在线段、劣弧上）． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作出的图形，若筒车的涉水宽度，涉水深度，求该筒车的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）该筒车的半径长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，尺规作图等知识点． （1）先作出线段的垂直平分线，根据垂径定理和圆的性质可得即是所求； （2）利用垂径定理和勾股定理即可求出圆的半径． 【小问1详解】 解：线段如图所示． 【小问2详解】 解：由（1）知，且点在直线上，连接， ， ， 设该筒车的半径长为， ， ， ， 解得， 即该筒车的半径长为． 21. 甘肃省位于中国西北部，地处黄河上游，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的物产和独特的地方文化．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有.庄浪苹果，.平凉山药，.华亭核桃，.静宁烧鸡这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍． （1）该班的张萌同学抽取的卡片上是.庄浪苹果的概率是___________； （2）用列表或画树状图的方法，求该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，该班的张萌同学抽取的卡片上是.庄浪苹果的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中张丽和杨光同学介绍的特产不同的结果有12种， 张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率为． 22. 根据以下材料，完成探究任务． 利用数学知识测量某古城墙的高度 测量过程及示意图 周末，某数学兴趣小组进行实践活动．如图，在点处利用测倾器测得该古城墙的顶端的仰角为，小组成员王强站在点处，看古城墙顶端的仰角为，王强的眼睛到地面的距离为． 说明：，点在上，点在同一直线上，所有点均在同一平面内． 测量数据 m， m，． 参考数据 ，． 解决问题 请利用以上数据，求出该古城墙的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握三角函数的意义． 假设出来线段的长度，表示出来相关线段的长度，找出等量关系（长度的表示），列出方程，即可求出未知数，得出结果． 【详解】解：由题意得四边形是矩形，则， 设，则， 在中，， ，即． ， ，则． ， 解得． 该古城墙的高度为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 2025年3月12日，长征八号遥六运载火箭以“一箭十八星”的方式，在海南商业航天发射场将千帆星座第五批组网卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为了激发学生对航天的热情和兴趣，某学校开展了航空航天知识竞赛活动．赛后，校团委从八、九年级中各随机抽取了20名学生．统计这部分学生的竞赛成绩（单位：分，竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩：5，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10． 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 7 九年级 7.8 8 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩达到优秀的总人数； （3）根据上述数据，你认为该校八、九年级的此次竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）7.8，7.5 （2）510名 （3）九年级，理由见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念和计算方法是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的计算方法求解即可； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）答案不唯一，可从平均数、中位数、众数的角度来分析． 【小问1详解】 解：分， ∵从小到大排列后排在第10位的数是7，排在第11位的数是8， ∴分． 故答案为：7.8，7.5； 【小问2详解】 解：（名）， 估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩为优秀的总人数是510名． 【小问3详解】 解：九年级成绩相对更好．理由如下： 九年级竞赛成绩的众数、中位数大于八年级．（答案不唯一，说法合理即可） 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的表达式、反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）先将点的坐标代入中得到的值，从而得出反比例函数的表达式，再把点代入中，求出的值，最后根据待定系数法求出一次函数的表达式； （2）先把代入中求出点的坐标，再由题意可以知道轴，得到点与点的纵坐标相等，从而求出点的坐标，最后根据勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：将代入中，得 反比例函数的表达式为． 将代入中，得， ． 将，分别代入中，得 ，解得， 一次函数的表达式为． 【小问2详解】 把代入得， 点坐标为， 由题意知点，点纵坐标相等， 把代入中，得， 点坐标为， ， 在中，． 25. 如图，内接于，连接，经过点的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接并延长交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，即，进而可得，由切线的性质定理可得，则，于是结论得证； （2）由，可知垂直平分，由圆周角定理可得，由三线合一可得，由切线的性质定理可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，，由等角对等边可得，由内错角相等两直线平行可得，进而可得，于是可得，再结合，可得，由勾股定理可得，进而可得，则，然后根据即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 则， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， 垂直平分， ， ， ，， ， 是的切线， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质定理，线段垂直平分线的判定，三线合一，等边对等角，等角对等边，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 26. （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键． 27. 如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点，顶点．过点作轴交直线于点，作轴交直线于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，求的面积； （3）如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数点的坐标特征，二次函数的最值问题，全等三角形等知识点，解题的关键是熟练准确掌握各知识点． （1）利用待定系数法即可求出抛物线表达式； （2）利用抛物线顶点坐标公式求出顶点坐标，根据题意求出相关点的坐标，并求出相应线段的长度，最后可求三角形面积； （3）构造辅助线，利用全等三角形的判定和性质求出对应边相等，利用两点之间线段最短，最后可求出线段和的最小值． 【小问1详解】 解：将，代入中，得 解得 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：点为抛物线的顶点， ， ， 设直线的函数表达式为， 将代入得， 直线的函数表达式为． 将代入得，， ． 小问3详解】 解：， ，即， 轴，轴， ， ． 如图，过点作直线轴，在上取，连接， 则， （SAS）， ， ， 当在上时，取得最小值，最小值为的长， 在中，． 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 庄浪县2025年第一次中考模拟诊断考试数学试题 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. －4的绝对值是（ ） A. 4 B. C. －4 D. 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C D. 3. 根据统计，2024年我国出生人口约为9540000人，将数据9540000用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分交于点，于点，若，则的度数为（　　） A. 47° B. C. 50° D. 6. 用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么值为（　　） A. B. 11 C. 13 D. 9 7. 如图，内接于是的一条弦，，连接，若，则的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 8. 为保护人类赖以生存的生态环境，我国将每年的3月12日定为中国植树节．在植树节当天，某校组织各班级进行植树活动，活动结束后统计了所有班级每班种植树木的数量（棵），按照的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，根据统计结果，下列说法错误的是（　　） A. 共有24个班级参加此次植树活动 B. 种植树木的数量在这一组的班级个数最多 C. 有的班级种植树木的数量少于35棵 D. 有3个班级都种了45棵树 9. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”． 甲乙两位同学分别给出自己的理解： 甲：设牧童人数为y人，根据题意可列方程 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程 则下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 30 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解=______． 12. 直线（为常数）不经过第二象限，则的值可以是______．（写一个即可） 13. 如图，在中，，是上一点，且．若，则的长为____． 14. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O ， H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 20， 则OH 的长等于_____． 15. 年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是______． 16. “莱洛三角形”（图1）是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是___________．（结果保留） 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 筒车（图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，表示筒车的外轮廓，为筒车的涉水宽度，为涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离，分别在线段、劣弧上）． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作出的图形，若筒车的涉水宽度，涉水深度，求该筒车的半径长． 21. 甘肃省位于中国西北部，地处黄河上游，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的物产和独特的地方文化．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有.庄浪苹果，.平凉山药，.华亭核桃，.静宁烧鸡这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍． （1）该班的张萌同学抽取的卡片上是.庄浪苹果的概率是___________； （2）用列表或画树状图的方法，求该班的张丽和杨光两名同学介绍的特产不同的概率． 22. 根据以下材料，完成探究任务． 利用数学知识测量某古城墙的高度 测量过程及示意图 周末，某数学兴趣小组进行实践活动．如图，在点处利用测倾器测得该古城墙的顶端的仰角为，小组成员王强站在点处，看古城墙顶端的仰角为，王强的眼睛到地面的距离为． 说明：，点在上，点在同一直线上，所有点均在同一平面内． 测量数据 m， m，． 参考数据 ，． 解决问题 请利用以上数据，求出该古城墙的高度． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 2025年3月12日，长征八号遥六运载火箭以“一箭十八星”方式，在海南商业航天发射场将千帆星座第五批组网卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为了激发学生对航天的热情和兴趣，某学校开展了航空航天知识竞赛活动．赛后，校团委从八、九年级中各随机抽取了20名学生．统计这部分学生的竞赛成绩（单位：分，竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩：5，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10． 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 7 九年级 7.8 8 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩达到优秀的总人数； （3）根据上述数据，你认为该校八、九年级的此次竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，求的长． 25. 如图，内接于，连接，经过点的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接并延长交于点，若，，，求的长． 26. （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题． 27. 如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点，顶点为．过点作轴交直线于点，作轴交直线于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，求的面积； （3）如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$