重难点4：圆柱和圆锥八大综合问题 　培优课程讲义---2024—2025学年 沪教版（五四制）数学六年级下册

重难点04 圆柱和圆锥八大综合问题 题型1：圆柱与圆锥的旋转构成 【例1】画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。 【例2】如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 【例3】请根据下图信息回答问题。 （1）直角梯形ABCD，如果以AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）；如果以DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）。 （2）选择其中一个立体图形计算它的体积。 题型2：圆柱与圆锥的关系 【例4】把一段圆柱形的木材，削成一个体积最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的（  ） A. 3倍                                        B.                                         C.                                         D. 2倍 【例5】一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是4分米，圆锥的高是多少？ 【例6】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 题型3：圆柱与圆锥中的比例关系和位数关系 【例7】1.如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？ 2.甲乙两个圆柱，底半径比是2:3，高的比是4:5，它们的体积比是多少？ 【例8】1。体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是( )。 2．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱的半径与圆锥的半径比是1∶2，则圆柱的高与圆锥的高的比为( )。 【例9】1。一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，它们的体积比是，圆柱和圆锥高的最简单的整数比是（    ） A． B． C． D． 2.一个圆柱和一个圆锥，底面积的比是，高之比是，那么这个圆柱和圆锥的体积之比是( )。 【例10】圆锥的高是圆柱的，圆锥的底面直径是圆柱的2倍，这个圆锥与圆柱的体积比是( )。 【例11】 一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大( )倍。 题型4：圆柱与圆锥的等积变形 【例12】如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【例13】在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【例14】如图，将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 题型5：圆柱与圆锥的切拼问题 【例15】把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三段后，如图，表面积比原来增加9.6平方分米，这根钢材原来的体积是多少？ 　　　　　　　　　　　 【例16】一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木体积是多少立方分米？ 【例17】把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体积是多少立方米？ 【例18】把一段长20分米的圆柱形木头沿着底面直径劈开，表面积增加80平方分米，原来这段圆柱形木头的表面积是多少？ 80÷2=40(平方分米)（一个长方形面积） 【例19】如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？ 【例20】将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 题型6：组合立体图形的表面积和体积问题 【例21】（1）计算下面图形的表面积和体积。　　　 （2）计算下面图形的体积。 【例22】计算下面图形的表面积和体积。 半圆柱的底面直径是10 cm 【例23】一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 【例24】计算下图（按45°斜切）的体积（单位：厘米）。 【例25】要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到） 【例26】在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 【例27】如图，四边形ABCD是直角梯形，以CD边所在的直线为轴，将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米） 【例28】如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？ 【例29】在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【例30】一个圆柱形鱼缸，底面半径6厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），水面上升0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 题型8：圆柱圆锥的综合应用 【例31】今年的5月12日是母亲节，小芳为妈妈亲手制作了一个蛋糕作为母亲节礼物，她用丝带捆扎圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结共用去的丝带长15厘米。 （1）捆扎这个蛋糕盒至少用去丝带多少厘米？ （2）小芳在蛋糕盒的整个侧面绘制了祝福图案，她绘制图案的面积是多少平方厘米？ 【例32】A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高？ 【例33】如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 圆柱和圆锥八大综合问题 题型1：圆柱与圆锥的旋转构成 【例1】画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】；150.72平方厘米；141.3立方厘米 【分析】圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱体；圆柱表面积＝两个底面积＋侧面积，圆柱体积＝底面积×高，S＝π，据此求解。 【详解】如图： 表面积：3.14×32×2＋3×2×3.14×5 ＝3.14×9×2＋18.84×5 ＝56.52＋94.2 ＝150.72（平方厘米） 体积：3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝28.26×5 ＝141.3（立方厘米） 答：这个圆柱的表面积是150.72平方厘米，体积是141.3立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【例2】如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】37680立方厘米；50240立方厘米；30144立方厘米 【分析】将直角三角形以AB为轴为轴旋转，得到一个高为40厘米，底面半径为30厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答； 以BC为轴旋转，得到一个高为30厘米，底面半径为40厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答； 以AC为轴旋转，得到两个圆锥，借助三角形的面积公式，列式30×40÷2，求出三角形的面积是600平方厘米，再用600×2÷50求出斜边上的高为24厘米，即底面半径为24厘米，两个圆锥的高之和是50厘米，先求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。 【详解】以AB为轴旋转的圆锥： ×3.14×302×40 ＝×3.14×900×40 ＝942×40 ＝37680（立方厘米） 以BC为轴旋转的圆锥： ×3.14×402×30 ＝×30×3.14×1600 ＝31.4×1600 ＝50240（立方厘米） 以AC为轴旋转的立体图形，两个圆锥半径： 30×40÷2＝600（平方厘米） 600×2÷50＝24（厘米） 体积：×3.14×242×50 ＝×3.14×576×50 ＝602.88×50 ＝30144（立方厘米） 答：以AB为轴旋转的圆锥体积37680立方厘米；以BC为轴旋转的圆锥体积50240立方厘米；以AC为轴旋转的立体图形体积是30144立方厘米。 【点睛】掌握圆锥的特征和圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 【例3】请根据下图信息回答问题。 （1）直角梯形ABCD，如果以AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）；如果以DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（     ）。 （2）选择其中一个立体图形计算它的体积。 【答案】（1）① ； ② （2）①的体积：150.72cm3；②的体积：188.4cm3 【分析】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的图形是沙漏模型。 （2）两个不同的立体图形的体积分别是圆柱的体积与圆锥的体积的和与差；只不过图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高。 【详解】（2）求①的体积： 求②的体积 【点睛】判断旋转得到的立体图形要有一定的空间观念，计算量也很大，还要注意细节部分“图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高”不要弄错了。 题型2：圆柱与圆锥的关系 【例4】把一段圆柱形的木材，削成一个体积最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的（  ） A. 3倍                                        B.                                         C.                                         D. 2倍 【答案】 D 【解析】【解答】解：2÷1=2； 【分析】由题意知，削成的最大圆锥的体积应是圆柱体积的 ，也就是说，把圆柱的体积看作单位“1”，是3份，圆锥体积是1份，那么削去的部分应是2份；要求最后的问题，可用除法解答。 故选：D 【例5】一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是4分米，圆锥的高是多少？ 【答案】12分米 【分析】假设圆柱的底面积是1平方分米，根据圆柱的体积公式，用1×4即可求出圆柱的体积，已知一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，则圆锥的体积是4立方分米，底面积是1平方分米，根据圆锥的高＝3×体积÷底面积，用3×4÷1即可求出圆锥的高。 【详解】假设圆柱的底面积是1平方分米， 1×4＝4（立方分米） 3×4÷1 ＝12÷1 ＝12（分米） 答：圆锥的高是12分米。 【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用，明确等底等体积的圆锥的高是圆柱的3倍。 【例6】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 【答案】2499立方厘米 【分析】已知圆柱的底面直径和高，只需要求出圆锥高即可。根据正放时水面离容器顶部11厘米，假设圆锥部分的高为厘米，如下图，则正放时空气部分的体积相当于高为的圆锥的体积加上高为（11－）的圆柱部分的体积。而圆柱和圆锥是等底的，根据等底的圆柱和圆锥的体积关系，高为的圆锥体积也可以看成是高为的圆柱的体积，这样正放时空气部分的体积相当于高为的圆柱体积。因为无论正放、倒放，空气体积是不变的，所以这一部分空气体积，也等于倒放时高为5厘米的圆柱的体积。因为圆柱的底面始终一样，所以两部分圆柱的高一定是相等的，即，解方程即可求得的值。再根据圆柱、圆锥的体积公式即可求得这个容器的容积。 【详解】解：设圆锥的高为厘米， 体积： （立方厘米） 答：这个容器的容积是2499立方厘米。 题型3：圆柱与圆锥中的比例关系和位数关系 【例7】1.如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？ 解析：1:2 2.甲乙两个圆柱，底半径比是2:3，高的比是4:5，它们的体积比是多少？ 【答案】16:45 【详解】圆柱体积之比就是要比较底面积与高的乘积的比． 答：它们的体积比是16:45。 【例8】1。体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是( )。 【答案】1∶3 【分析】圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；底面积＝体积÷高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；底面积＝体积÷高÷；体积相等，高相等；设体积为v，高为h；圆柱的底面积＝v÷h；圆锥的底面积＝v÷h÷；再根据比的意义，求出它们的底面积之比，据此解答。 【详解】设体积为v，高为h。 （v÷h）∶（v÷h÷） ＝∶ ＝1∶3 体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是1∶3。 2．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱的半径与圆锥的半径比是1∶2，则圆柱的高与圆锥的高的比为( )。 【答案】4∶3 【分析】已知圆柱和圆锥的体积相等，它们底面半径的比是1∶2，假设圆柱的半径为1，圆锥的半径为2，体积都为1，根据圆柱的体积计算公式“V＝πr2h”、圆锥的体积计算公式“V＝πr2h”，代入数据求解圆柱和圆锥的高，再写出它们的比，然后化简即可，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 【详解】假设圆柱的半径为1，圆锥的半径为2，体积都为1 圆柱的高：1÷（π×12） ＝1÷（π×1） ＝1÷π ＝ 圆锥的高：3×1÷（π×22） ＝3×1÷（π×4） ＝3×1÷4π ＝ ∶ ＝（×4π）∶（×4π） ＝4∶3 圆柱的高与圆锥的高的比为4∶3。 【例9】1。一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，它们的体积比是，圆柱和圆锥高的最简单的整数比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是， ∴一个圆柱和一个圆锥，底面半径的比是， ∴一个圆柱和一个圆锥，底面面积的比是， ∵它们的体积比是， ∴圆柱和圆锥高的最简单的整数比， 故选：A． 2.一个圆柱和一个圆锥，底面积的比是，高之比是，那么这个圆柱和圆锥的体积之比是( )。 【答案】5∶4 【分析】根据题意，假设圆柱的底面积为2S，圆锥的底面积为3S，圆柱的高为5h，圆锥的高为8h，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出二者的体积，再根据比的意义求出二者之比并化简。 【详解】假设圆柱的底面积为2S，圆锥的底面积为3S，圆柱的高为5h，圆锥的高为8h。 （2S×5h）∶（3S×8h÷3） ＝10Sh∶8Sh ＝（10Sh÷2Sh）∶（8Sh÷2Sh） ＝5∶4 所以，这个圆柱和圆锥的体积之比是5∶4。 【例10】圆锥的高是圆柱的，圆锥的底面直径是圆柱的2倍，这个圆锥与圆柱的体积比是( )。 【答案】16︰15 【详解】略 【例11】 一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大( )倍。 【答案】 3 9 【分析】根据圆柱体积=，其中r表示底面圆半径，h为高；根据公式代入数据可计算出答案。 【详解】圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大3倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体积扩大倍。 题型4：圆柱与圆锥的等积变形 【例12】如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【答案】7.5厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，求出甲容器注满水的体积，再根据这些水的体积不变，代入数据即可求出倒入圆柱中的水的高度。 【详解】 圆锥的体积为： （立方厘米） 圆柱中水的高为： （厘米） 答：乙容器的水深7.5厘米。 【点睛】 本题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法以及等积变形，关键是明确水的体积不变。 【例13】在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【答案】27厘米 【思路点拨】根据题意，把圆锥形钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，那么水下降的体积等于这个圆锥形钢材的体积；水下降部分是一个底面半径为30厘米、高1厘米的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水下降部分的体积，也就是圆锥的体积； 已知圆锥形钢材的底面半径为10厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出钢材的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形钢材的高。 【规范解答】水下降部分的体积（圆锥的体积）： 3.14×302×1 ＝3.14×900×1 ＝2826（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 圆锥的高： 2826×3÷314 ＝8478÷314 ＝27（厘米） 答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。 【例14】如图，将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 150 50 【思路点拨】800mL＝800 cm3，600mL＝600 cm3。由题意可知：等底等高的圆柱和圆锥的体积和是800－600＝200 cm3，而等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。根据和倍公式和÷（倍＋1）求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积；据此解答。 【规范解答】800mL＝800cm3，600mL＝600cm3 800－600＝200（cm3） 200÷（3＋1） ＝200÷4 ＝50（cm3） 50×3＝150（cm3） 放进去的圆柱的体积是150cm3，圆锥的体积是50cm3。 题型5：圆柱与圆锥的切拼问题 【例15】把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三段后，如图，表面积比原来增加9.6平方分米，这根钢材原来的体积是多少？ 　　　　　　　　　　　 5. 1.5米＝15分米 6÷4×15=36立方分米 【例16】一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木体积是多少立方分米？ 【答案】25.12立方分米 【分析】根据题意可知：如果把圆柱的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，表面积减少的是高为3分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝ch，用侧面积除以3求出底面周长，进而求得底面半径，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】18.84÷3＝6.28（分米） 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 3.14×1×1×8 ＝3.14×8 ＝25.12（立方分米） 答：这根圆木体积是25.12立方分米。 【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【例17】把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体积是多少立方米？ 【答案】31.4立方米 【分析】根据题意，这个木料长是10米；锯成两段，增加的面积等于两个底面积的和；用增加的面积÷2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】（6.28÷2）×10 ＝3.14×10 ＝31.4（立方米） 答：这根木料原来的体积是31.4立方米。 【点睛】解答本题的关键明确增加的面积和原来圆柱底面的关系；再结合圆柱的体积公式，进行解答。 【例18】把一段长20分米的圆柱形木头沿着底面直径劈开，表面积增加80平方分米，原来这段圆柱形木头的表面积是多少？ 80÷2=40(平方分米)（一个长方形面积） 【答案】40÷20=2(分米)（底面直径） 2×3.14×20=125.6(平方分米) （侧面积）[来源:学_科_网] 3.14×2=6.28(平方分米)（底面积和）125.6+6.28=131.88（平方分米） 【例19】如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？ 【答案】226.08立方分米 【分析】观察题意可知，圆柱形木料沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积增加了2个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径；先把0.96平方米化为96平方分米，然后用96÷2即可求出一个长方形的面积，然后再除以8即可求出底面直径，进而求出底面半径，最后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】0.96平方米＝96平方分米 底面直径：96÷2÷8＝6（分米） 半径：6÷2＝3（分米） 3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（立方分米） 答：这根圆柱形木料的体积是226.08立方分米。 【点睛】本题主要考查了立体图形的切割以及圆柱的体积公式的灵活应用。 【例20】将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？ 【答案】65.94立方厘米 【分析】把圆锥沿着高切成两块截面是两个等腰三角形，切开之后的表面积比原来增加了两个三角形的面积，先求出一个三角形的面积，再利用“底＝三角形的面积×2÷高”求出三角形的底边，即圆锥的底面直径，最后利用“”求出圆锥的体积，据此解答。 【详解】底面直径：42÷2×2÷7 ＝21×2÷7 ＝42÷7 ＝6（厘米） 底面半径：6÷2＝3（厘米） 体积：×3.14×32×7 ＝（3.14×7）×（×32） ＝21.98×3 ＝65.94（立方厘米） 答：原来这个圆锥形糕点的体积是65.94立方厘米。 【点睛】根据增加部分的面积求出圆锥的底面半径，并掌握圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 题型6：组合立体图形的表面积和体积问题 【例21】（1）计算下面图形的表面积和体积。　　　 （2）计算下面图形的体积。 【答案】（1）表面积：533.8cm2 体积：665.68cm3（2）169.56dm3 【详解】（1）表面积:3.14×14×4+3.14×4×4+2×3.14×(14÷2)2=175.84+50.24+307.72=533.8(cm2) 体积:3.14×(14÷2)2×4+3.14×(4÷2)2×4=615.44+50.24=665.68(cm3) （2）3.14×(6÷2)2×4+×3.14×(6÷2)2×6=113.04+56.52=169.56(dm3) 【例22】计算下面图形的表面积和体积。 半圆柱的底面直径是10 cm 【答案】体积：7822.5 表面积：2792.5 【分析】体积等于长方体的体积-圆柱体积的一半，代入数据即可； 表面积的体积等于长方体的表面积-两个半圆的面积+圆柱侧面积的一半-圆柱的横截面，代入数据即可。 【详解】V＝15×20×30－×3.14××30 ＝9000-1177.5 ＝7822.5() S＝(20×15＋20×30＋15×30)×2－＋×3.14×10×30－10×30 ＝2700-78.5+471-300 ＝2792.5() 【点睛】此题考查组合体的体积和表面积，认真观察图片，分析图形的组成，特别是算表面积时看准表面都有哪些面组成。 【例23】一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 【答案】201.68 【思路点拨】根据题意，若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，增加的是2个底面圆的面积；用增加的表面积除以2，求出底面积； 原来这个组合零件的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可求解。 【规范解答】底面积：50.42÷2＝25.21（cm2） 25.21×6＋×25.21×（12－6） 25.21×6＋×25.21×6 ＝151.26＋50.42 ＝201.68（cm3） 原来这个组合零件的体积是201.68cm3。 【例24】计算下图（按45°斜切）的体积（单位：厘米）。 【答案】15.7立方厘米 【分析】两个这样的立体图形正好拼接成一个圆柱体，圆柱体的高是（6＋4）厘米，根据公式V柱＝πr2h求出圆柱的体积，再除以2即可。 【详解】3.14×（）2×（6＋4）÷2 ＝3.14×1×10÷2 ＝15.7（立方厘米） 【例25】要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到） 【例26】在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 【答案】1570立方厘米 【思路点拨】由题意知：铅锤取出来后，下降的水的体积就是圆锥的体积；根据圆柱的体积V＝Sh可求出下降的水的体积，即铅锤的体积，注意单位换算，据此解答即可。 【规范解答】1分米＝10厘米 铅锤体积： （立方厘米） 答：这个铅锤的体积是1570立方厘米。 【考点评析】本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握下降的水的体积就是圆锥的体积。 【例27】如图，四边形ABCD是直角梯形，以CD边所在的直线为轴，将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米） 【答案】141.3立方厘米 【分析】以CD边所在的直线为轴将梯形旋转一周，得到的立体图形可以看成是高为6厘米、底面半径为3厘米的圆柱里面挖去一个高为（6－3）厘米、底面半径为3厘米的圆锥；根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，分别计算出圆柱和圆锥的体积，然后相减，即可求出这个立体图形的体积。 【详解】圆柱的体积： 3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×32×（6－3） ＝×3.14×9×3 ＝3.14×9 ＝28.26（立方厘米） 立体图形的体积： 169.56－28.26＝141.3（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是141.3立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积计算公式的灵活运用，关键是明白直角梯形绕CD边旋转一周，得到图形的体积是圆柱的体积减圆锥的体积。 【例28】如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？ 【答案】0.6厘米 【分析】依题意，下降部分的水的体积等于圆锥的体积，先依据圆锥的体积计算公式V＝Sh，求出圆锥形状的铅锤的体积，即求出了下降部分的水的体积，再求出圆柱形玻璃杯的底面积即下降部分水的底面积， 最后用下降部分水的体积除以底面积求出杯里的水下降了多少厘米。 【详解】3.14×（6÷2）²×20× ＝3.14×9×20× ＝28.26×20× ＝188.4（平方厘米） 3.14×（20÷2）² ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 188.4÷314＝0.6（厘米） 答：杯中的水下降0.6厘米。 【例29】在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）94.2立方厘米 （2）10厘米 【分析】（1）从题意可知：上升的水的体积就是这个圆锥的体积，即求底面直径20厘米，高0.3厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积：V＝πr2h，代入数据计算，即可求出圆锥的体积。 （2）先求出圆锥的底面积，再根据圆锥的高＝体积÷÷底面积，代入数据计算即可求出圆锥的高。 【详解】（1）（20÷2）2×3.14×0.3 ＝102×3.14×0.3 ＝100×3.14×0.3 ＝94.2（立方厘米） 答：圆锥形铁块的体积是94.2立方厘米。 （2）94.2÷÷（32×3.14） ＝94.2×3÷（9×3.14） ＝282.6÷28.26 ＝10（厘米） 答：圆锥形铁块的高是10厘米。 【例30】一个圆柱形鱼缸，底面半径6厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），水面上升0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此求出铅锤的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，即h＝3V÷πr2，据此进行计算即可。 【详解】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷（3.14×32） ＝56.52×3÷（3.14×9） ＝56.52×3÷28.26 ＝169.56÷28.26 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 题型8：圆柱圆锥的综合应用 【例31】今年的5月12日是母亲节，小芳为妈妈亲手制作了一个蛋糕作为母亲节礼物，她用丝带捆扎圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结共用去的丝带长15厘米。 （1）捆扎这个蛋糕盒至少用去丝带多少厘米？ （2）小芳在蛋糕盒的整个侧面绘制了祝福图案，她绘制图案的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）255厘米 （2）2512平方厘米 【分析】（1）看图，丝带长包括4条底面直径、4条高和打结处的长度，将这三部分的长度相加求出捆扎这个蛋糕盒至少用去多少厘米丝带。 （2）求绘制图案的面积是多少平方厘米，就是求圆柱形蛋糕盒的侧面积，根据“圆柱的侧面积＝πdh”解答即可。 【详解】（1）40×4＋20×4＋15 ＝160＋80＋15 ＝240＋15 ＝255（厘米） 答：捆扎这个蛋糕盒至少用去丝带255厘米。 （2）3.14×40×20 ＝125.6×20 ＝2512（平方厘米） 答：她绘制图案的面积是2512平方厘米。 【例32】A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高？ 【答案】（1）6厘米 （2）7.2厘米 【分析】已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要1＋4＝5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2＝6（厘米）（其余的水流到B容器了）；由此可知，用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用3－2.5＝0.5（分钟）分钟注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度。 【详解】（1）A容器的容积是：3.14×12＝3.14×1＝3.14（立方厘米）， B容器的容积是：3.14×22＝3.14×4＝12.56（立方厘米）， 12.56÷3.14＝4， 即B容器的容积是A容器容积的4倍， 因为一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满， 所以要注满B容器需要4分钟， 因此注满A、B两个容器需要1＋4＝5（分钟）， 已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通， 2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2＝6（厘米）； （2）因为注满A、B两个容器需要1＋4＝5（分钟）， 所以5÷2＝2.5（分钟）时，A、B容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米， 2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的， 3分钟后，实际上3－2.5＝0.5（分钟）水位是同时上升的， 0.5÷5＝ 12×＝1.2（厘米） 6＋1.2＝7.2（厘米） 答：2分钟时，容器A中的高度是6厘米，3分钟时，容器A中水的高度是7.2厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答关键是理解现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，当A中的水高是容器高的一半时，其余的水流到B容器了；以后的时间两个容器中的水位同时上升，即注满两容器时间的乘容器高就是0.5分钟上升的水的高度。 【例33】如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 【答案】（1）36分钟；（2）见详解 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝，代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后用水的体积除以水的流速，即可求出圆锥内漏完水需要的时间。 （2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【详解】（1）×3.14×32×6÷1.57 ＝×3.14×9×6÷1.57 ＝56.52÷1.57 ＝36（分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）根据分析得，6×＝2（厘米） 所以圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$