第9章 二元一次方程组（单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制六年级下册

2025-2026学年六年级下册数学单元自测卷 第9章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下面各组数中，是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（“钱”和“分”为古代货币单位，1钱=10分） A． B． C． D． 3．解关于x，y的二元一次方程组，可以直接消去y，则a和b的关系为（    ） A． B． C． D． 4．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（    ）． A． B． C． D． 6．已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 8．已知用含x的代数式表示y为________． 9．若是关于、的二元一次方程，则的值________________． 10．小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出的值为________． 11．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 12．某学校组织七年级169名学生参加研学活动．去极地馆的学生人数比去科技馆的学生人数的2倍多1，设去极地馆的学生有人，去科技馆的学生有人，根据题意，可列方程组为________． 13．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 14．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 15．若关于x，y的方程组，解为．则关于x，y的方程组的解是________ ． 16．在解关于x，y的二元一次方程组时，如果可消去未知数y，那么二元一次方程满足题意的解为_________． 17．已知有理数a，b，c满足，则________． 18．已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 20．（6分）解方程组： (1)； (2)． 21．（6分）先认真阅读，再解决下面的问题． 解方程组： 由①得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为 我们把这种方法称为“整体代入法”． 请用“整体代入法”解决下面的问题： (1)解方程组： (2)若，则的值为_______． 22．（6分）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 23．（6分）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：，解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 美美的做法： 由，得③． 由，得， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是______；美美的消元方法是______． (2)判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 24．（9分）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 25．（9分）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 26．（10分）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测卷 第9章 二元一次方程组.参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 C B D A C D 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 1 8. 9. 0 10 . 4 11．0 12． 13. 14．/67平方厘米 15． 16. 17．1 18．1或4 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 【详解】（1）解：（代入法） 由②变形得：③ ， 把③代入①得： ， 解得： ， 把代入③得：， ∴方程组的解为；……（3分） （2）解：（加减法） 将得：③ ， ③+②得：， 解得： ， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为．……（6分） 20．（6分） 【详解】（1）解：由题意得，， 得， 得， 得 解得 将代入得 解得， 将，代入得 解得， ∴原方程组的解为；……（3分） （2）解：∵， ∴， ∴， 得， 得 解得， 将代入得 解得， 将代入得 解得， ∴原方程组的解为．……（6分） 21．（6分） 【详解】（1）解：令 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， ∴方程组的解为．……（4分） （2）解：原式 ．……（6分） 22．（6分） 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元．……（3分） （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆……（6分） 23．（6分） 【详解】（1）解：由题意得，善善的消元方法是代入消元法，美美的消元方法是加减消元法；……（2分） （2）解：由题意得，美美的解答过程有误，正确解答如下： 由，得③， 由，得，解得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为．……（6分） 24．（9分） 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程．……（2分） （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是．……（5分） （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为．……（9分） 25．（9分） 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 则； 由得： 则：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为；……（2分） （2）解：由题意可知，的“船山方程”为：， 联立方程组得， 得：，即， ∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，代入①得：， 解得：， ∴．……（5分） （3）解：∵， ， ∵与其“船山方程”所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得， 即，， ∴ ．……（9分） 26．（10分） 【详解】（1）解：方程组的解x与y不具有“邻好关系”， 理由如下：， 得，， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y不具有“邻好关系”；……（5分） （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或；……（6分） （3）解：， ∵该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上，或．……（10分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测卷 第9章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下面各组数中，是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故不是二元一次方程的解； B、，故不是二元一次方程的解； C、，故是二元一次方程的解； D、，故不是二元一次方程的解． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（“钱”和“分”为古代货币单位，1钱=10分） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵设每尺绫值分，每尺绢值分，且钱分 ∴ 由“三尺绫和四尺绢共值四钱八分”可得，四钱八分分，列等式得 ； 由“七尺绫和二尺绢共值六钱八分”可得，六钱八分分，列等式得 ． 因此可得方程组 ． 3．解关于x，y的二元一次方程组，可以直接消去y，则a和b的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程组中得： ， 整理得： ， ∵相加后可直接消去y， ∴y的系数为，即. 4．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 5．关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将所求方程组两边同乘，得：， 已知方程组的解为， 对应可得： ， 解得： ． 6．已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 【答案】D 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， 得：，解得：， 将代入①得：， 将，，代入可得， 解得， ∴ ． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】1 【详解】解：把代入方程中，得：， 解得：． 8．已知用含x的代数式表示y为________． 【答案】 【详解】解：， 由得， 将代入得． 9．若是关于、的二元一次方程，则的值________________． 【答案】0 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ，， 由得或， 解得或， 由得， ． 10．小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出的值为________． 【答案】 【详解】解：， 得：， ∴， 故答案为：4 11．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 12．某学校组织七年级169名学生参加研学活动．去极地馆的学生人数比去科技馆的学生人数的2倍多1，设去极地馆的学生有人，去科技馆的学生有人，根据题意，可列方程组为________． 【答案】 【详解】解：设去极地馆的学生有人，去科技馆的学生有人， 根据题意得，． 13．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【详解】解： 14．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 【答案】/67平方厘米 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由图可知，， 解得， ∴长方形的宽为， ∴阴影部分面积为． 15．若关于x，y的方程组，解为．则关于x，y的方程组的解是________ ． 【答案】 【详解】解：方程组变形得， ∵关于x，y的方程组，解为， ∴， ∴关于x，y的方程组变形得， ∴，， 解得：，， 即该方程组的解为：． 16．在解关于x，y的二元一次方程组时，如果可消去未知数y，那么二元一次方程满足题意的解为_________． 【答案】 【详解】解：， 得， 可消去未知数y， 的系数为，即， 联立得方程组， 整理得， 得， 将代入①得， 解得， 满足题意的解为． 17．已知有理数a，b，c满足，则________． 【答案】1 【详解】解：令，，则， 代入第一个方程化简为， ∴， ∴，， 代入第二个方程化简为， ∴， ∴. 18．已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 【答案】1或4 【详解】解：解方程组，得 ， ∵a是正整数， ∴， ∴， 又∵是整数， ∴是6的因数， ∴或6， ∴或4， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，或4． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 【详解】（1）解：（代入法） 由②变形得：③ ， 把③代入①得： ， 解得： ， 把代入③得：， ∴方程组的解为；……（3分） （2）解：（加减法） 将得：③ ， ③+②得：， 解得： ， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为．……（6分） 20．（6分）解方程组： (1)； (2)． 【详解】（1）解：由题意得，， 得， 得， 得 解得 将代入得 解得， 将，代入得 解得， ∴原方程组的解为；……（3分） （2）解：∵， ∴， ∴， 得， 得 解得， 将代入得 解得， 将代入得 解得， ∴原方程组的解为．……（6分） 21．（6分）先认真阅读，再解决下面的问题． 解方程组： 由①得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为 我们把这种方法称为“整体代入法”． 请用“整体代入法”解决下面的问题： (1)解方程组： (2)若，则的值为_______． 【详解】（1）解：令 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， ∴方程组的解为．……（4分） （2）解：原式 ．……（6分） 22．（6分）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元．……（3分） （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆……（6分） 23．（6分）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：，解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 美美的做法： 由，得③． 由，得， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是______；美美的消元方法是______． (2)判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【详解】（1）解：由题意得，善善的消元方法是代入消元法，美美的消元方法是加减消元法；……（2分） （2）解：由题意得，美美的解答过程有误，正确解答如下： 由，得③， 由，得，解得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为．……（6分） 24．（9分）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程．……（2分） （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是．……（5分） （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为．……（9分） 25．（9分）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 则； 由得： 则：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为；……（2分） （2）解：由题意可知，的“船山方程”为：， 联立方程组得， 得：，即， ∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，代入①得：， 解得：， ∴．……（5分） （3）解：∵， ， ∵与其“船山方程”所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得， 即，， ∴ ．……（9分） 26．（10分）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 【详解】（1）解：方程组的解x与y不具有“邻好关系”， 理由如下：， 得，， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y不具有“邻好关系”；……（5分） （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或；……（6分） （3）解：， ∵该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上，或．……（10分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年六年级下册数学单元自测卷 第9章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下面各组数中，是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（“钱”和“分”为古代货币单位，1钱=10分） A． B． C． D． 3．解关于x，y的二元一次方程组，可以直接消去y，则a和b的关系为（    ） A． B． C． D． 4．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（    ）． A． B． C． D． 6．已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 8．已知用含x的代数式表示y为________． 9．若是关于、的二元一次方程，则的值________________． 10．小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出的值为________． 11．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 12．某学校组织七年级169名学生参加研学活动．去极地馆的学生人数比去科技馆的学生人数的2倍多1，设去极地馆的学生有人，去科技馆的学生有人，根据题意，可列方程组为________． 13．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 14．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 15．若关于x，y的方程组，解为．则关于x，y的方程组的解是________ ． 16．在解关于x，y的二元一次方程组时，如果可消去未知数y，那么二元一次方程满足题意的解为_________． 17．已知有理数a，b，c满足，则________． 18．已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 20．（6分）解方程组： (1)； (2)． 21．（6分）先认真阅读，再解决下面的问题． 解方程组： 由①得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为 我们把这种方法称为“整体代入法”． 请用“整体代入法”解决下面的问题： (1)解方程组： (2)若，则的值为_______． 22．（6分）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 23．（6分）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：，解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 美美的做法： 由，得③． 由，得， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是______；美美的消元方法是______． (2)判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 24．（9分）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 25．（9分）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 26．（10分）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $