精品解析：天津市第四十三中学2024-2025学年高二下学期阶段性质量检测(一)数学试卷

2024-2025学年度第二学期阶段性质量检测（一） 科目：数学考试时长： 100分钟 一、选择题：本大题共10小题，共30.0分. 1. 函数在区间上的平均变化率等于（　 ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出：，化简即可. 【详解】由题： . 故选：B 【点睛】此题考查函数在某区间平均变化率的基本计算，考查对基本概念的掌握和基本运算能力，易错点在于容易出现计算出错. 2. 已知曲线上一点，则点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果. 【详解】由曲线，则 所以 所以切线方程为： 即： 故选：C 【点睛】本题主要考查曲线在某点处切线方程的求法，属基础题. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导，再令，解出不等式即可. 【详解】，令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：A. 4. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 5. 如图是函数的大致图象，则等于（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数表达式中有三个未知数，将图像与轴的三个交点代入表达式，可求出函数的表达式，是函数的两个极值点，通过求导，根据韦达定理得到的关系式，从而求出 【详解】由图可得：，代入函数表达式得：，解得：，所以：，，由图可得，是函数的两个极值点，令，则或，根据韦达定理得： ， 所以 故选：C 6. 函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数求出的单调递减区间，然后将问题转化为区间为函数单调递减区间的子集，从而列出不等式求出结果即可. 【详解】函数的导数为， 令，解得， 因为函数在区间上单调递减， 则，即，解得， 故选：C. 7. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解. 【详解】设切点为，∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为， 代入点的坐标，化简得， ∵过点可以作三条直线与曲线相切， ∴方程有三个不等实根. 令，求导得到， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 如图所示， 故，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题. 8. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题  ， 令解得；令解得 由此得函数在 上是减函数，在 上是增函数， 故函数在处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（上的最小值 解得 又当 时，，故有 综上知 故选C 9. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先对A区域种植，再对B区域种植，最后分两类：D块与块相同、D块与块不相同，对C 、D区域种植，根据计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分3步进行分析： (1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； (2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； (3)对于C 、D块，分2种情况： 若D块与块相同，则C块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， 若D块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D有1种情况， 则C 、D共有种情况； 综合可得：一共有种不同的种法. 故选：B 10. 某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ） A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300 【答案】C 【解析】 【分析】先利用分组法将6名技术人员分成4组，再分配到4个分厂，从而得解. 【详解】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人， 若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分组方案有种， 若4个组的人数按2、2、1、1分配，则不同的分组方案有种， 所以分组方法共有种； 再这4组分给4个厂，不同的分配方法有. 故选：C. 二、填空题：本大题共5小题，共15.0分. 11. 用数字0，1，2，3，4可组成 __________ 个无重复数字的偶数三位数. 【答案】 【解析】 【分析】 先从0，2，4中任选一个数作为个位数，然后从剩下的4个数字中任选2个排在十位和百位，这里还含有百位为0的数字，再减去百位为0的偶数可得答案. 【详解】排除法（个位是偶数的情况下，去掉百位是零的情况）：. 故答案：. 【点睛】此题考查排列组合，对于这类题目先要认真审题，根据题目的要求合理选择方法，同时要区别排列与组合的不同，属于基础题. 12. 在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数. 【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师， 然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生， 故选派的方法为：. 故答案为． 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 13. 函数在区间上的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间，由此求得在区间上的最大值. 【详解】因为，当时，； 当时，． 故在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值． 故答案为： 14. 已知函数，则的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性，对a进行分类讨论，即可求解. 【详解】的定义域为R， ， ①当时，恒成立，故单调递增，则不等式恒成立，满足题意； ②当时，，令，可得或，令，可得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 又，则，所以要使不等式成立， 只需满足，且，即，且， ③当时，，令，可得或，令，可得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 因为， 又， 所以要使不等式成立，需满足，再结合，解得 综上所述，不等式的解集为： 故答案为：  【点睛】思路点睛：函数不等式的求解问题，一般是先讨论函数的单调性，再结合自变量的范围求解不等式，前者有时需要利用导数来处理. 15. 已知函数 若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意将问题转化为，通过求导推得的单调性，求出其最小值，进而根据二次函数的性质，分类讨论求出的最小值即可求出参数范围. 【详解】由题意得，对任意，存在，使成立，则成立， 由函数可得 ， 当 或时，有 ，故在上 单调递增； 当时，有，故在上单调递减， 当时，；当 时，，所以 ， 又函数的开口向上，且对称轴的方程为， 当即时，， 由，解得，不合题意，舍去； 当即时，， 由，解得，符合题意； 当即时，， 由，解得或，不合题意，舍去 综上所述，实数的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共55.0分. 16. 一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球 （1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ （2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？ 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【分析】 (1)由题意可以分类，红球个，红球个和白球个，根据计数原理即可得到答案. (2)从中任取个球，使总分不少于6分情况有：红球个和白球个，红球个和白球个，根据计数原理即可得到答案. 【详解】解:(1 )从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个. 当取红球个时，取法有种； 当取红球个和白球个时，.取法有种. 根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种. (2 )使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个. 第一种，红球个和白球个，取法有种; 第二种，红球个和白球个，取法有种, 根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种. 【点睛】本题考查计算原理，组合及组合数公式，考查理解辨析能力与运算求解能力，考查分类讨论思想，是基础题. 17. 从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.（以下问题均用数字作答） （1）甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法? （2）甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间（可以不相邻）有多少种排法? （3）甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法? 【答案】（1）1440种 （2）240种 （3）216种 【解析】 【分析】（1）甲、乙、丙3人中选2人，其余4人中选出3人，再全排列； （2）甲、乙、丙三人全在内，其余4人中选出2人，先排这两人，再排甲、乙、丙三人； （3）甲、乙、丙三人全在内，其余4人中选出2人，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法. 【小问1详解】 由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内，所以可以分3步完成： 第1步，从3人中选中2人，有种选法. 第2步，从其余4人中选出3人，有种选法 第3步，将选出的5个人全排列，有种排法. 根据分步乘法计数原理，不同的排法有种； 【小问2详解】 由于三人全在内，且甲在乙、丙之间，所以可以分3步完成： 第1步，从其余4人中选出2人，有种选法. 第2步，将2人安排到5个位置，有种方法. 第3步，剩余3个位置排甲、乙、丙三人，有2种方法 根据分步乘法计数原理，不同排法有种； 【小问3详解】 由于甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，所以分3步完成： 第1步：从其余4人中选出2人，有种选法. 第2步：将甲、乙捆绑与选出的2人排列，有种方法. 第3步：将丙插空有3种方法. 根据分步乘法计数原理，不同排法共有种. 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． （3）在区间上有两个零点，求m的范围？ 【答案】（1）的单调减区间为；单调增区间为， （2）1个 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域然后数形结合即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. 【小问2详解】 因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. 【小问3详解】 若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 19. 已知函数，曲线在处的切线经过点 （1）求； （2）若，判断的单调性： （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求得斜率，再结合斜率公式列出等式求解即可； （2）通过二次求导，结合导数与单调性的关系即可判断； （3）由，得，再由时，原不等式等价于构造函数求导，确定最值即可求解； 【小问1详解】 ，切线斜率． 又切线经过点 解得． 【小问2详解】 由（1）知，，令，则 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增 在上单调递增 【小问3详解】 由题意得对任意的成立． ①当时， ②当时，原不等式等价于 设，则 由（2）知，当时，对任意的成立，即． 当时，，单调递增，当时，，单调递减 ，故的取值范围是 20. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值是； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数在闭区间上的最值； （2）利用导数分类讨论函数的单调性； （3）利用导数的几何意义确定的值，接着分离参数得在上恒成立，令，利用导数求函数的最小值，实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 令时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ，所以在取得极小值，也是最小值， ， 又 . 在上的最大值为，最小值是； 【小问2详解】 当时，令，解得：， 令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立， 所以在上为减函数， 当时，在恒成立， 所以在上单调递减. 综上，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在上单调递减. 【小问3详解】 ，依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令， 当时，函数单调递减， 当时 函数单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期阶段性质量检测（一） 科目：数学考试时长： 100分钟 一、选择题：本大题共10小题，共30.0分. 1. 函数在区间上的平均变化率等于（　 ） A. B. C. D. 8 2. 已知曲线上一点，则点处切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 函数单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是函数的大致图象，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 9. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 10. 某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ） A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300 二、填空题：本大题共5小题，共15.0分. 11. 用数字0，1，2，3，4可组成 __________ 个无重复数字的偶数三位数. 12. 在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 13. 函数在区间上的最大值为________． 14. 已知函数，则的解集为__________. 15. 已知函数 若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是________________. 三、解答题：本大题共5小题，共55.0分. 16. 一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球 （1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ （2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？ 17. 从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.（以下问题均用数字作答） （1）甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法? （2）甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间（可以不相邻）有多少种排法? （3）甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法? 18. 已知函数． （1）求函数单调区间； （2）求零点个数． （3）在区间上有两个零点，求m的范围？ 19. 已知函数，曲线在处的切线经过点 （1）求； （2）若，判断的单调性： （3）当时，，求的取值范围． 20. 已知函数， （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$