精品解析：河北省廊坊市2024-2025学年高一下学期3月夯基考试数学试卷（A）

2024~2025学年第二学期高一3月夯基考 数学（A卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章~第七章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合交集的定义，将集合中元素代入不等式验证求解. 【详解】集合，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以. 故选：C 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 5. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，所以. 故选：A 6. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】由，得，而，， 由余弦定理得（米）. 故选：C 7. 如图，某八角楼空窗边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义，即投影向量的意义计算即得. 【详解】 如图过点作直线，交于点， 因，又， 则，而即在直线上投影的数量， 要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大， 由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大. 因，由对称性知，， 在中，，因，解得， 则，故的最大值为. 故选：B. 8. 已知，，且，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据函数单调性分析出，代入求解即可. 【详解】令，则在定义域上单调递增. 则，， 所以，则有，故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的相关概念，可得答案. 【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误； 相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确； 当时，向量不一定共线，故C错误. 故选：BD. 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项. 【详解】因为，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦化简判断A；利用余弦定理推理判断B；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理得，即， 则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由，得，则是的最大内角， 又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确； 对于C，由，及余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，则，即，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义，利用投影向量的公式，可得答案. 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知，则值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算法则求出，将化为，再利用齐次式弦化切即可求得答案. 【详解】， . 故答案为：. 14. 在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用表示向量，再利用共线向量定理的推论求得；利用表示向量，再利用数量积的运算律求得. 【详解】在中，由，得，则， 令，又D是的中点，则， 而共线，因此，解得，所以； ，于是，所以. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，的面积为，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值； （2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高. 【小问1详解】 由和余弦定理， 可得：， 化简得，则得， 故； 【小问2详解】 由可得， 由（1）已得，解得， 由余弦定理， ，解得， 设边上的高边上的高为， 则由，解得， 故边上的高为. 17. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数，设出的解析式，利用给定的解集求出参数得解析式. （2）由（1）的结论，等价变形不等式，分离参数，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值即可求解. 【小问1详解】 由，得，则， 由二次函数满足，设， 不等式，即， 依题意，是方程的二实根，且， 于是，解得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 不等式， 依题意，不等式对任意的恒成立， 而，，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. 【小问3详解】 由图可得， ， ， 由，则. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可； （2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得； （3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得. 【小问1详解】 因， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点. 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第二学期高一3月夯基考 数学（A卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章~第七章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________． 13. 已知，则的值为________． 14. 在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，的面积为，求边上的高． 17. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． （1）求的解析式； （2）若关于x不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求长； （3）求的取值范围． 19. 定义：若非零向量，函数解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$