精品解析： 浙江省杭州市西湖区公益中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区公益中学八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的常数项为（ ） A. B. 0 C. 6 D. 8 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A. B. C. D. 6. 在皖文中学组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，九年级参赛的25名同学的成绩情况（满分100分）如统计图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 7. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 8. 数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是（ ） A 张 B. 王 C. 李 D. 陈 9. 一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根； ④若，则一元二次方程两个不相等的实数根； 其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ②③ D. ①② 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x取值范围是_______． 12. 用配方法将方程变形为，则________． 13. 已知，化简的结果为______． 14. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则y的取值范围是______． 16. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为．其中正确的是______．（写出所有正确说法的序号） 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 （1）根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； （2）求甲、乙测试成绩的方差； （3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 20. 双流空港花田需要绿化的面积为，施工队在绿化了后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米？ （2）该项绿化工程中，如图有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，此时花圃的面积刚好为45米，求此时花圃的长和宽． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）当时，求的值． 22. 某服装店销售某品牌衬衫，该衬衫每件的进价是100元，若每件售价140元，平均每天可售出20件，为了扩大销售量增加盈利，该服装店决定降价出售．市场调查反映，若售价每降低1元，每天可多售出2件衬衫．设该衬衫每件售价元（），每天的销售量为件． （1）求关于的函数解析式； （2）当每件售价多少元时，每天销售利润达到1200元？ 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）； （3）如果此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，已知第三边长为5，求k的取值范围． 24. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动． （1）经过多少秒后，的面积为？ （2）线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． （3）若点P从点A出发，沿射线方向以的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线方向以的速度移动，经过多少秒后的面积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区公益中学八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，不是最简最简二次根式，故A不符合题意； B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意； C、原式＝，不是最简最简二次根式，故C不符合题意； D、是最简最简二次根式，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 关于的一元二次方程的常数项为（ ） A. B. 0 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的常数项，熟练掌握常数项的定义是解题的关键．先将一元二次方程转化成一般式，根据常数项既不含的项即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程化为一般式为： 常数项为， 故选A． 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使方程为一元二次方程，则二次项系数不能为0，所以令二次项系数不为0即可． 【详解】解：由题知：m+1≠0，则m≠-1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的性质，二次项系数不为0，掌握这个知识点是解题的关键． 4. 化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，先根据二次根式有意义的条件判断，再利用二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由知， 则原式， 故选：D． 5. 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用"增长后的量=增长前的量×（1+增长率）"，如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程． 【详解】设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2=280． 故选B． 【点睛】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 6. 在皖文中学组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，九年级参赛的25名同学的成绩情况（满分100分）如统计图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：98出现的次数最多，故众数为98， 第13位数据为96，故中位数为96； 故选B． 7. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 8. 数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是（ ） A. 张 B. 王 C. 李 D. 陈 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 根据配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 【详解】解：， 移项得：，故小张正确； 方程左右两边同时除以2可得：，故小王错误； 故小王负责式子出现错误； 故选：B． 9. 一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未被覆盖部分的面积，即可得出关于，的方程组，利用②①可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出值，进而可得出的值，再利用矩形的面积公式求出按图③放置时未被覆盖的两个小矩形的面积和即可得出结论． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 依题意，得：， ②①，得：， ③． 将③代入②，得：， 整理，得：， 解得：，（舍去）， ． 按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程两个不相等的实数根； 其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】由是方程的一个根得到，只有时由，则可对①进行判断；由方程有两个不相等的实根得到，则可判断，于是可对②进行判断；计算出根的判别式，再利用求根公式解方程可对③进行判断；利用计算根的判别式得到，则根据根的判别式的意义可对④进行判断． 【详解】解：①若是方程一个根，则，当时，，所以①错误； ②若方程有两个不相等的实根，则， 因为方程的根的判别式， 所以方程必有两个不相等的实根，所以②正确； ③若时，则，则， ， 解得，，所以③正确； ④若，则，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，且， ∴且， 故答案为：且． 12. 用配方法将方程变形为，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 13. 已知，化简的结果为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，由可得，再利用完全平方公式和求解可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 14. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的求值，一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键． 把变形为，然后利用根与系数的关系求得，，，最后代入到中，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为a与β． ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则y的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，熟知对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根是解题的关键．先根据一元二次方程根的判别式得到，再根据一元二次方程解的定义求出，进而推出，由此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 此方程的一个实数根为b， ， ， ， ， ，即 ， 故答案为： 16. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为．其中正确的是______．（写出所有正确说法的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出，，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得：，， ∵， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴，， ∴，故②正确； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是倍根方程， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，关于倍根方程的说法正确的为：①②③④． 故答案是：①②③④ 【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘法，然后合并同类二次根式即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 . 解：. . . . ∴原方程的解为，． 【小问2详解】 解：，，． ． ∴． ∴原方程的解为，． 19. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 （1）根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； （2）求甲、乙测试成绩的方差； （3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【答案】（1）8，8，8，10 （2）2， （3）推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数、中位数、众数、方差等知识点，掌握方差的定义是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义即可解答． 【小问1详解】 解：甲的平均成绩是（环）， 乙的平均成绩是（环）， 甲成绩的中位数是（环）， 乙成绩的众数是10环． 故答案为：8，8，8，10． 【小问2详解】 解：； ． 【小问3详解】 解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 20. 双流空港花田需要绿化的面积为，施工队在绿化了后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米？ （2）该项绿化工程中，如图有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，此时花圃的面积刚好为45米，求此时花圃的长和宽． 【答案】（1）2000平方米；（2）花圃长为9米，宽为5米． 【解析】 【分析】（1）利用原工作时间-现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可； （2）根据花圃面积是45平方米列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：设原计划每天完成平方米， ∴， 解得（平方米）， 经检验，是原方程的解， 故该绿化工程原计划每天完成2000平方米． （2）由题意得：设花圃的宽为米， 则， ∴，化简得：， 解得：，． 又∵时，， ∴不符合题意，舍去， ∴宽为5米，长为9米． 答：花圃长为9米，宽为5米． 【点睛】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解分式方程时一定要检验，找准等量关系是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）当时，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式． （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （2）将代入原方程，由根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 的取值范围为且； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， ，是关于x的方程的两个实数根， ，， 22. 某服装店销售某品牌衬衫，该衬衫每件的进价是100元，若每件售价140元，平均每天可售出20件，为了扩大销售量增加盈利，该服装店决定降价出售．市场调查反映，若售价每降低1元，每天可多售出2件衬衫．设该衬衫每件售价元（），每天的销售量为件． （1）求关于的函数解析式； （2）当每件售价多少元时，每天销售利润达到1200元？ 【答案】（1） （2）当每件售价为120元时，每天销售利润达到1200元 【解析】 【分析】（1）根据售价每降低1元，每天可多售出2件衬衫，列出函数关系式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 由题意，得：， 整理，得：， 解得：； ∵要扩大销售量， ∴售价应定为120元， ∴当每件售价为120元时，每天销售利润达到1200元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出函数关系式以及一元二次方程，是解题的关键． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）； （3）如果此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，已知第三边长为5，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）2和 （3） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式组，解题的关键是掌握根的判别式． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，结合偶次方的非负性，可得出，进而可证出此方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解原方程即可； （3）根据三角形的三边关系，可列出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【小问1详解】 解：证明： ， 此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：解：， ， ，， 此方程的两个根分别为2和； 【小问3详解】 解：此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长， 三角形的两条边长为2，， 又此三角形的第三条边长为5， ， 解得： 答：k的取值范围为 24. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动． （1）经过多少秒后，的面积为？ （2）线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． （3）若点P从点A出发，沿射线方向以的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线方向以的速度移动，经过多少秒后的面积为？ 【答案】（1）2或4 （2）线段不能将分成面积相等的两部分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可； （2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答； （3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：设经过秒后，的面积为． 根据题意得：， ∴， ∴，解得，， 故经过2秒或4秒后，的面积为； 【小问2详解】 解∶ 设经过t秒后，线段将分成面积相等的两部分． ∵， ∴，即． ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等两部分． 【小问3详解】 解：设y秒后，的面积为； 分三种情况： ①点P在线段上，点Q在线段上，如图所示， 依题意得： ， 即， 解得， 经检验， 不符合题意，舍去， ； ②点P在线段上，点Q在射线上，如图所示， 依题意得：， 即， 解得， 经检验，符合题意； ③点P在射线上，点Q在射线上，如图所示， 依题意得：， 即， 解得， 经检验，不符合题意，舍去， ， 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积等于． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了一元二次方程的应用和几何动点问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$