精品解析：2025年浙江省衢州市柯城区、龙游县、江山市中考一模数学卷

2025年江山、龙游、柯城三地初中毕业生适应性考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷有三大题，24小题，共6页．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号填写在“答题纸”相应位置上，不要漏写． 3．全卷全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．选择题的答案必须用2B铅笔按答题卡上正确的填涂标示规范填涂；填空题、解答题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上．本次考试不允许使用计算器． 参考公式：二次函数（a，b，c是常数，）的图象的顶点坐标是． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 5 2. 计算：（ ） A. B. 3a C. D. 3 3. 如图，点O是正方形网格中的格点，点P，，，，是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点，则点P关于直线m的对称点是（ ） A. B. C. D. 4. 某高速路段上的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的九辆机动车速度，数据如下（单位：千米/时）：100，96，86，77，96，93，108，96，95．这组数据的中位数是（ ） A. 96.5 B. 96 C. 95.5 D. 94.5 5. 如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 8. 如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 9. 已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 12. 如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是____． 13. 不等式的解是__________． 14. 如图，直线与相切于点C，点A在上，于点B．若，，则的半径为__________． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是__________． 16. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若． （1）比较线段大小： __________．（填写“”“”“”） （2）的值等于__________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共72分．请务必写出解答过程） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． （1）求证：． （2）当时，求与的度数和． 20. 某校在新学期之初举办了一场以“环保”为主题的综合实践知识竞赛，并把随机抽取的若干八年级学生的竞赛成绩进行整理，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 组别 成绩（分） 频数 A 2 B a C 14 D b E 10 （1）写出a，b的值，并补全频数直方图． （2）求扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数． （3）该校八年级共有480人，根据统计信息，估计该校八年级学生的竞赛成绩在D组的人数． 21. 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形中，，，用尺规作图作，的角平分线．下面是两位同学的对话： 小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法． 小柯 我想到了新方法：如图所示，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线；同理，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线． 依据小柯的“新方法”解答下列问题． （1）说明是的角平分线的理由． （2）若，垂足为O，当，时，求的长． 22. 某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示． （1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长． （2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离． 23. 对于二次函数． （1）若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 24. 如图1，在中，，是的外接圆，点D是的中点，连接交于点E． （1）求的度数． （2）如图2，过点A作，连接，若，． ①若，求． ②连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江山、龙游、柯城三地初中毕业生适应性考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷有三大题，24小题，共6页．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号填写在“答题纸”相应位置上，不要漏写． 3．全卷全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．选择题的答案必须用2B铅笔按答题卡上正确的填涂标示规范填涂；填空题、解答题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上．本次考试不允许使用计算器． 参考公式：二次函数（a，b，c是常数，）的图象的顶点坐标是． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小，掌握有理数比较大小的方法是关键． 根据零大于负数，正数大于零，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴最小的数是， 故选：A ． 2. 计算：（ ） A. B. 3a C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同分母的分式的减法，分母不变，分子相减，即可得出结果． 【详解】解：； 故选C． 3. 如图，点O是正方形网格中的格点，点P，，，，是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点，则点P关于直线m的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的性质解题的关键． 由网格线可知直线，由垂径定理可得直线平分线段，即可确定点P关于直线m的对称点是点． 【详解】解：由网格线可知直线， ∵直线经过圆心， ∴直线平分线段， ∴点P关于直线m的对称点是点， 故选：D． 4. 某高速路段上的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的九辆机动车速度，数据如下（单位：千米/时）：100，96，86，77，96，93，108，96，95．这组数据的中位数是（ ） A. 96.5 B. 96 C. 95.5 D. 94.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数． 【详解】解：从小到大排列：77，86，93，95，96， 96，96，100，108， ∵9个数中排在中间的数是96， ∴这组数据的中位数是96． 故选B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据位似关系得到，得到相似比再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵线段与线段是位似图形，位似中心为点O．点，的坐标分别为，． ∴，，与x轴平行， ∵， ∴， ∴相似比为， ∵点， ∴点的对应点A的坐标是，即 故选：A． 6. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式因式分解是关键． 运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：，  故选：D ． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 8. 如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质以及解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及锐角三角函数的应用是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质得出，再结合等腰三角形的性质解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，依据题意，由点，，都在反比例函数的图象上，从而，，，结合a是一个正数和反比例函数的性质可得结论． 【详解】解：由题意，∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵a是一个正数， ∴，，， 又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴． 故选：A． 10. 如图，在矩形 中，点E是对角线上一点，过点E作分别交 于F， 于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．作于M，作于N，根据证明得，然后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：作于M，作于N， ∴． ∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 故选B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得： ， 解得． 12. 如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案． 【详解】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°， 故转动一次，指针落在白色区域的概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键． 13. 不等式的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，先去分母再去括号移项合并，最后系数化为1，即可解不等式． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1，， 故答案为：． 14. 如图，直线 与 相切于点C，点A在 上，于点B．若，，则 的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质和勾股定理、矩形的性质与判定，熟记圆的切线性质是解题的关键． 连接、 ，过点A作于点D，判断出四边形 为矩形，即可得出，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、 ，过点A作于点D， ∵直线 与 相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形 为矩形， ∴，， 设 的半径为x，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∴ 的半径为， 故答案为：． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 将解代入原方程组即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：5． 16. 如图，正方形 由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若． （1）比较线段大小： __________．（填写“”“”“”） （2）的值等于__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及对顶角相等得出，再结合等角的余角相等即可求解； （2）设，，则，，然后利用勾股定理即可得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵四边形 是正方形， ∴， 设，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，余角的性质，等腰三角形的性质和判定以及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定以及勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17~21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共72分．请务必写出解答过程） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂，立方根的计算，掌握实数的混合运算法则是关键． 先算负指数幂，立方根，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和整式乘法运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 19. 如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． （1）求证：． （2）当时，求与的度数和． 【答案】（1） 证明：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）证明为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 20. 某校在新学期之初举办了一场以“环保”为主题的综合实践知识竞赛，并把随机抽取的若干八年级学生的竞赛成绩进行整理，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 组别 成绩（分） 频数 A 2 B a C 14 D b E 10 （1）写出a，b的值，并补全频数直方图． （2）求扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数． （3）该校八年级共有480人，根据统计信息，估计该校八年级学生的竞赛成绩在D组的人数． 【答案】（1），补全条形统计图如下： （2） （3）192人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、样本估计总体，解题的关键是从频数分布表和扇形统计图中获取关键信息． （1）根据E组频数及所占百分数求出班级的总人数，进而可求出a、b；根据求出的a、b补全即可； （2）先求出本次调查中A组的占比，再与360°相乘，即可作答； （3）本次调查中八年级中分数在D组的占比与480相乘，即可作答． 【小问1详解】 解：班级总人数为：， ∴ ， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：， ∴A组对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计八年级中分数在D组的人数为192人． 21. 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形中，，，用尺规作图作，的角平分线．下面是两位同学的对话： 小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法． 小柯 我想到了新方法：如图所示，以 为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线；同理，以 为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线． 依据小柯的“新方法”解答下列问题． （1）说明是的角平分线的理由． （2）若，垂足为O，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、平行四边形的性质、圆的基本性质． （1）根据作图的方法可知，根据等边对等角可知，根据平行四边形的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，所以可知平分； （2）先根据已知证明，可得，由此证明四边形为平行四边形，进而得出，，由，即可解题． 【小问1详解】 解：以D为圆心，DA长为半径画弧，交于点E， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ，即平分， 【小问2详解】 ∵ ∴，即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴，， ∴， ∴ 22. 某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示． （1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长． （2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离． 【答案】（1）甲机器人速度5（米/秒），乙机器人速度3.5（米/秒），甲机器人表演的时长4秒； （2）当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，熟练掌握函数图象，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据图象得出甲乙机器人的路程和时间，然后计算即可； （2）结合图象分为甲机器人表演前、表演时、到达终点时三种情况，分别计算即可． 【小问1详解】 解：甲机器人速度：（米/秒）， 乙机器人速度：（米/秒）， （秒）， ∴甲、乙两款机器人各自的慢跑速度分别为5米/秒和3.5米/秒，甲机器人表演的时长为4秒． 【小问2详解】 当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0， 当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，， 当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时， 乙机器人的函数表达式：， 甲机器人的函数表达式：（）， 当时，得， 当，， 所以， 答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米． 23. 对于二次函数． （1）若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 【答案】（1）①， 当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过； ② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值． （1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是； （2）由，得到，因为，所以，解得． 【小问1详解】 解：①略 ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴； 【小问2详解】 解：当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即． 24. 如图1，在中，， 是的外接圆，点D是的中点，连接交于点E． （1）求的度数． （2）如图2，过点A作，连接，若，． ①若，求． ②连接，求的长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据直径得到的度数为，中点得到的度数为，圆周角定理求出的度数即可； （2）①根据，设，则，根据，求出的值，导角得到，进而求出的长，证明为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果； ②分和两种情况，画出图形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 是的外接圆， ∴为直径， ∴的度数为， ∵D是的中点， ∴， ∴的度数为， ∴； 【小问2详解】 ①由（1）可知：， ∴， 设，则， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 在中，， ∴； ②当时， 过点O作，由①可知：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，； 当＞时，过点O作 ∵， ∴， 设， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $