精品解析：2025年辽宁省铁岭市开原市中考一模数学试题

2024－2025学年度下学期随堂练习 九年数学（一） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 2. 截至3月11日，电影《哪吒2》全球总票房突破146.95亿元，长沙万象城影院某天《哪吒2》的票房累计约120000元，数字120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 3. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接 ，根据菱形的性质可得，可得 是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴ 是等边三角形，则， ∵四边形 是菱形， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 4. 为参加全国冬季运动会，山西某运动俱乐部赛前预备在四位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（ ） 甲 乙 丙 丁 平均时间 50.1 51.3 50.1 50.1 方差 0.9 0.9 1.3 57.8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案． 【详解】解：由表可知从平均时间看，甲、丙、丁的成绩一样且好于乙， 从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定， ∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定， 故选：A． 5. 如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则与应满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据小明的体重与小明到跷跷板支点的距离之积等于爸爸的体重与小明爸爸到跷跷板支点的距离之积求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ 故选C． 6. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定方法． 根据平行线的判定分别判断即可． 【详解】解：A、，则，故不符合题意； B、，则，故符合题意； C、，则，故不符合题意； D、，则，故不符合题意； 故选：B 7. 如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式，由题意可得，延长交轴于点 ，证明，得出，即，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，延长交轴于点 ， 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 8. 如图，已知的半径为5，弦 与弦 位于圆心O的异侧，，，在 上取点E，连结并延长交 于点F．若，则 的长为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接， ，根据，可得，即可得到，进而求得、的长度，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，作于点N， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 9. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为人，车数为辆，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人，车数为辆， 由题意得，， 故选：． 10. 如图，三角形纸片 中，，，．沿过点 的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处；再折叠纸片，使点 与点 重合，若折痕与 的交点为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据折叠的性质得到，，，，得到，根据勾股定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由折叠可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 12. 一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥体的表面积．根据题意可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3，先求出圆锥的母线长，即可求出物体的表面积． 【详解】解：∵物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆， ∴可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴这个物体的表面积为． 故答案为： 13. 如图所示，电路图上有三个开关和一个小灯泡，现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，由图可知，任意闭合其中一个开关时，只有闭合C开关，小灯泡发光，根据概率公式可得答案． 【详解】解：任意闭合其中一个开关，有三种等可能的情况，其中只有闭合C开关，小灯泡发光， 因此小灯泡发光的概率为， 故答案为：． 14. 如图，将绕直角顶点 顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，先由将绕直角顶点 顺时针旋转，得，得，，则，因为，所以，故，即可作答． 【详解】解：∵将绕直角顶点 顺时针旋转，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 故答案为：． 15. 如图，在四边形 中，，，点E为的中点，连接，若，，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质、等角对等边、勾股定理，延长、 交于点 ，证明，得出，证明，得出，求出，，，由勾股定理得出，结合题意得出，计算出，即可得解． 【详解】解：如图：延长、 交于点 ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，验算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算加减即可得解； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：： ． 17. 环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． （1）在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； （2）如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 【答案】（1）小明答对了17道题 （2）他至少需要答对24道题 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设小明答对x道题，根据题意列方程求解即可； （2）设他需要答对道题，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设小明答对x道题， 由题意得：， 解得：， 答：小明答对了17道题． 【小问2详解】 解：设他需要答对道题， ，解得：， 为正整数， ， 答：他至少需要答对24道题． 18. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：总溶液4瓶，其中碱性溶液2瓶（氢氧化钠和氢氧化钙），酚酞变红需溶液碱性， 故结果变红的概率是； 【小问2详解】 解：溶液标记为A（盐酸，酸性）、B（硝酸钾，中性）、C（氢氧化钠，碱性）、D（氢氧化钙，碱性），小明和小亮各选1瓶不同溶液，所有等可能结果列表如下： 小明 小亮 A B C D A —— B —— C —— D —— 总共有12种等可能结果， 变红溶液为C和D，不变色溶液为A和B， 一瓶变红一瓶不变色的结果有：，共8种。 ∴概率为． 19. 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中 为一折线）． （1）当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； （2）设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） 【答案】（1） （2）第5个月的销售收入最多，最多为3375万元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为． ∵图象过两点， ，解得 ∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设销售收入为万元， ①当时，， ，当时，（万元）． ②当时，， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，（万元）． ，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 如图是某款篮球架抽象后的示意图．已知于点，底座的长为米，斜拉支架米，臂展支架米，篮板高米，点在支架上，篮板底部支架，于点 ，支架与所成的角． （1）求竖直支架 的长度； （2）求篮板底部点 到地面的距离（结果保留位小数）．（参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练根据题意作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）延长交于点，过点 作，垂足为，先在中利用三角函数求出，即可求出，证明四边形为矩形，得出，利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：， 是直角三角形， 由勾股定理得（米）； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，过点 作，垂足为， 在中，米，， （米）， （米）， ∵，， ∴， ，，， 四边形为矩形， ， （米）， 即篮板底部点 到地面BC的距离约为米． 21. 如图， 内接于， 是的直径， 是上的一点，平分，，垂足为 ， 与 相交于点 ． （1）求证： 是的切线； （2）当的半径为，时，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵为的半径， ∴ 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据得出，角平分线的定义得出，等量代换得出，进而得出，即，即可得证； （2）连接 ，得，则，进而证明，得出，解，得出，则，进而根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 ，得， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ 是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接 ， ，在纸片绕点 旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线的延长线上时，延长交 于点 ，求 的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【解析】 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接 ，延长交 于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接 ，延长交 于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当 与 重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当 在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交 于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 23. 【发现问题】 数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题． 例：如图1，在 中，点D是线段AC上一点，连接BD，若． 求证：． 证明：， ，，． 小强同学经过分析，思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中发现了一些规律． 【提出问题】 如图2，点恰好与点重合，边在轴上，若点 的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点A的位置发生变化；小强同学通过描点、观察，提出猜想：按此方式描出的若干个点A都在某二次函数图象上． 【分析、解决问题】 （1）当时，若，所对应的点 的坐标为______． （2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想． 【深度思考】 （3）点 的坐标为，当时， 的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点A与点B重合时，依然满足） 【答案】（1）点A的坐标为或； （2）按此方式描出的若干个点 都在二次函数的图象上， 证明：设点， 则点，，， 依题意可知： ， 由【发现问题】可知：， ， ， 按此方式描出的若干个点A都在二次函数的图象上． （3）的值为或1 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的性质，坐标与图形，二次函数的应用等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质进行分类讨论是解题关键． （1）设点A坐标为，根据题意得出当A在点B右侧时， 得到，利用发现问题中的结论代入即可得出结果；当A在点B左侧时， 得到，利用发现问题中的结论代入即可得出结果； （2）设点A坐标为，则点，，，根据即可列出函数解析式； （3）根据题意得出，，，根据得到 ，得出对称轴为直线，然后分情况分析：①当时；②当时；③当时；④当时；分别求解即可． 【详解】解：（1）设点A坐标为， 当A在点B右侧时， ，则， ∵，， ∴ ，即， ∴； 当A在点B左侧时， ，则， ∵，， ∴ ，即， ∴， ∴点A的坐标为或． 故答案为：或 （2）略 （3） 点， 则点，，， 依题意可知：， 有【发现问题】可知：， ， ， ，则 ，抛物线开口向上，对称轴为直线． ①当时，，， ， ， 解得：； ②当时，，， ， ， 解得： （不符合，舍去）， （不符合，舍去）； ③当时，，， ， ， 解得：（不符合，舍去），（不符合，舍去）； ④当时，，， ， ， 解得：； 综合①②③④可知，的值为或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度下学期随堂练习 九年数学（一） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 截至3月11日，电影《哪吒2》全球总票房突破146.95亿元，长沙万象城影院某天《哪吒2》的票房累计约120000元，数字120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 为参加全国冬季运动会，山西某运动俱乐部赛前预备在四位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（ ） 甲 乙 丙 丁 平均时间 50.1 51.3 50.1 50.1 方差 0.9 0.9 1.3 57.8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则 与 应满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，入射光线遇到平面镜（ 轴）上的点 后，反射光线交 轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的半径为5，弦 与弦 位于圆心O的异侧， ，，在 上取点E，连结并延长交 于点F．若，则 的长为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 9. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空 辆车；若 个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为 人，车数为 辆，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点 的直线将纸片折叠，使点 落在边上的点处；再折叠纸片，使点 与点重合，若折痕与 的交点为 ，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______________________． 12. 一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为________． 13. 如图所示，电路图上有三个开关和一个小灯泡，现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率为___________． 14. 如图，将绕直角顶点 顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为________． 15. 如图，在四边形 中，，，点E为的中点，连接 ，若，，，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，验算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． （1）在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； （2）如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 18. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 19. 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第 （ 为整数）个月每台的销售价格为 （单位：元）， 与 的函数关系如图所示（图中为一折线）． （1）当时，求每台的销售价格 与 之间的函数关系式； （2）设该产品2022年第 个月的销售数量为 （单位：万台），m与 的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格 销售数量） 20. 如图是某款篮球架抽象后的示意图．已知于点 ，底座的长为米，斜拉支架米，臂展支架米，篮板高米，点 在支架上，篮板底部支架，于点 ，支架与 所成的角． （1）求竖直支架 的长度； （2）求篮板底部点 到地面的距离（结果保留 位小数）．（参考数据：，，） 21. 如图，内接于， 是的直径，是上的一点，平分，，垂足为 ， 与 相交于点 ． （1）求证： 是的切线； （2）当的半径为，时，求 的长． 22. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接 ， ，在纸片绕点 旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点 旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交 于点 ，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点 旋转过程中，试探究 ，， 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 23. 【发现问题】 数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题． 例：如图1，在中，点D是线段AC上一点，连接BD，若． 求证：． 证明： ， ，， ． 小强同学经过分析，思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中发现了一些规律． 【提出问题】 如图2，点 恰好与点重合，边在 轴上，若点的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点A的位置发生变化；小强同学通过描点、观察，提出猜想：按此方式描出的若干个点A都在某二次函数图象上． 【分析、解决问题】 （1）当时，若，所对应的点 的坐标为______． （2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想． 【深度思考】 （3）点 的坐标为，当时， 的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点A与点B重合时，依然满足） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $