精品解析：2025年辽宁省沈阳市大东区中考数学零模试卷

2025年辽宁省沈阳市大东区中考数学零模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A B. 0 C. D. 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 据统计，2024年我国新能源汽车产量超过988万辆，其中988万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A B. C. D. 6. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 7. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 8. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 9. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 《孙子算经》是我国古代著名数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算（+）（﹣）的结果为__________． 12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 13. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为_____． 14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 15. 如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为促进新质生产力发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 18. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图中A所对应的圆心角的度数； （2）直接补全条形统计图； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆； （4）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点．研学后，学校从九年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10生的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好（填“甲”或“乙”）． 19. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 20. 如图，在小明家所住的高楼的正西方有一座小山坡，坡面与水平面的夹角为，在B点处测得楼顶D的仰角，在山顶C处测得楼顶D的仰角为，B和C的水平距离为300米（注：例如点B、点D的水平距离为；A，B，C，D在同一平面内，参考数据：，）． （1）求坡面的长度（结果保留根号）？ （2）一天傍晚，小明从A出发去山顶C散步，已知小明从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她早上出发，请通过计算说明他在前能否到达山顶C处？ 21. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 22. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； （3）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 23. （1）用数学的眼光观察． 如图1，在矩形中，，，点P关于边的对称点Q在对角线上，连接，，，且，求的长． （2）用数学的思维思考． 如图2，在（1）的条件下，将沿着射线方向平移得到，当点P的对应点平移到边上时，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图3，在（1）的条件下，将绕点C逆时针旋转一个角，得到，在旋转过程中，设所在直线与直线交于点M，与直线交于点，当时，求出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省沈阳市大东区中考数学零模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是关键． 根据从正面看得到的图形是主视图，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，立体图形的主视图为：第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形． 故选：D． 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 4. 据统计，2024年我国新能源汽车产量超过988万辆，其中988万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：988万 故选：B 5. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 6. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 7. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意； 故选：C 9. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 10. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算（+）（﹣）的结果为__________． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】此题用平方差公式计算即可. 【详解】 12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 13. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点的情况有种， ∴甲、乙两人同时选择景点的概率为， 故答案为：． 14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 15. 如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】240 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理．过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为240． 故答案为：240． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、负整数指数幂及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算负整数指数幂和括号内的式子，再算乘法，然后算加法即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】（1）该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）需要更新设备费用为万元 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【小问1详解】 解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； 【小问2详解】 解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； 18. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图中A所对应的圆心角的度数； （2）直接补全条形统计图； （3）该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆； （4）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点．研学后，学校从九年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10生的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好（填“甲”或“乙”）． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）800名； （4）甲． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题． （1）用B的人数除以求得本次调查的学生总数，用乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圆心角的度数； （2）根据D组的人数，画出统计图即可； （3）用2000乘样本中D所占比例即可； （4）求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答． 【小问1详解】 解：总人数：人， A所对应的圆心角的度数为：； 【小问2详解】 解：组人数：；如图： 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校有800名学生想去海洋馆； 【小问4详解】 解：甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95， 平均数：， 众数：90； 中位数：， 则甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，则甲班的竞赛成绩更好． 故答案为：甲． 19. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】（1）y与x之间的关系式为； （2）该车的剩余电量占“满电量”的． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 20. 如图，在小明家所住的高楼的正西方有一座小山坡，坡面与水平面的夹角为，在B点处测得楼顶D的仰角，在山顶C处测得楼顶D的仰角为，B和C的水平距离为300米（注：例如点B、点D的水平距离为；A，B，C，D在同一平面内，参考数据：，）． （1）求坡面的长度（结果保留根号）？ （2）一天傍晚，小明从A出发去山顶C散步，已知小明从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她早上出发，请通过计算说明他在前能否到达山顶C处？ 【答案】（1）米； （2）能到达山顶C处，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作，垂足为E，在中，先利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过作，垂足为G，根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据平角定义求出，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点C作，垂足为E， 在中，，米， （米）， （米）， 坡面BC的长度为米； 【小问2详解】 解：若他出发，他在7：25前能到达山顶C处， 理由：如图：过作，垂足为G， 由题意得：， ， ， ， 在中，，米， （米）， ， ， 在中，（米）， 中，（米）， 小龙从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米， 小龙从A到B的需要的时间（分钟），从B沿着BC上山需要的时间（分钟）， 小龙从A出发去山顶C散步需要的时间（分钟）， ， 若她出发，他在前能到达山顶C处． 21. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； （3）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1）； （2）m的值为； （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据对称轴求得b，然后将点代入求得c的值即可； （2）先求出点平移后的坐标，然后代入函数解析求得m的值； （3）根据二次函数开口方向，对称轴分、、三种情况求函数的最值，再根据该二次函数的最大值与最小值的差为求n的范围即可． 【小问1详解】 解：已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线， ， ， 将点A的坐标代入得： ， ， 该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意，点平移后点的坐标为， 点平移后恰好落在抛物线上， ， 解得：舍去或， 即m的值为； 【小问3详解】 解：抛物线开口向下且对称轴为直线， 当时，分三种情况求最值： ①当时， 当时，， 当时，函数取得最小值， 此时最大值与最小值的差为符合题意， ②当时， 时，函数取得最小值， ， 不合题意，舍去； ③当时， 时，， 时，函数取得最小值， 该二次函数的最大值与最小值的差为， ， ∴ 解得，不合题意，舍去， 综上所述，n的取值范围为当 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 23. （1）用数学的眼光观察． 如图1，在矩形中，，，点P关于边的对称点Q在对角线上，连接，，，且，求的长． （2）用数学的思维思考． 如图2，在（1）的条件下，将沿着射线方向平移得到，当点P的对应点平移到边上时，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图3，在（1）的条件下，将绕点C逆时针旋转一个角，得到，在旋转过程中，设所在直线与直线交于点M，与直线交于点，当时，求出此时的长． 【答案】（1）CP的长是；（2）见解析；（3）AM的长为或． 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理计算，由三角函数列比例式即可求得CQ的长，最后由对称性即可得CP的长； （2）根据对称性和平移的性质得：，即可得结论； （3）分两种情况：①如图3，点N在CA的延长线上，②如图4，当点C在对角线AC上，根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：(1)如图1， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 点P关于边的对称点Q在对角线上， ； (2)证明：如图2，由对称得：， 由平移得：，， ，， ， ； (3)分两种情况： ①如图3，点N在的延长线上， 由旋转得：，，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图4，当点C在对角线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 综上，的长为或 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，轴对称的性质，旋转的性质，解直角三角形相关计算等知识，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $