精品解析：四川省乐山第一中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

四川省乐山第一中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 本试卷共4页，19小题，满分150分． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码枮贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加减法，可得答案. 【详解】. 故选：A. 2. 已知角终边上一点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，代入求值，即得答案. 【详解】由题意知角终边上一点坐标为，故， 故， 故， 故选：D 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算以及的坐标，根据向量平行的坐标运算公式代入计算可求出结果. 【详解】解：因为向量，所以， ， 若，则，即. 故选：B 4. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 5. 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，结合正余弦函数的性质比较大小，即可得答案. 【详解】由题意可得， ， 又， 由于，故，即， 故， 故选：C 6. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据辅助角公式得，，可得，进而可得. 【详解】， 设，则， 则当时，取得最大值，故， 故， 故选：A 7. 如图，在中，与CE的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【详解】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，的最大负零点在区间上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，令，得，由求解即可. 【详解】解：由题意可得， 令， 则， 则， 又因为的最大负零点在区间上，且， 即时，， 解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设为非零向量，若，则 B. 若，则或 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律即可判断A；根据模的定义及向量共线的概念即可判断B；根据数量积的运算法则即可判断C；根据向量线性运算及重心的性质即可判断D． 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，表示是的2倍，或表示与共线，且是的2倍，故B错； 对于C，，， 所以与不一定相等，故C错误； 对于D，如图，设为的中点，点为的重心， 则，即，所以，故D正确； 故选：AD． 10. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，利用向量模长公式计算得到，；C选项，由向量数量积公式得到不一定相等；D选项，由向量数量积运算法则，和差化积公式计算出，D正确. 【详解】A选项，，， 故，A正确； B选项，， 故 ， ， 故 ， 由于，故，B正确； C选项，， ， 因为不一定相等，故不一定相等，C错误； D选项，由和差化积可得 ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：和差化积公式：， ， ， 积化和差公式：， ， ， . 11. 已知函数（，）的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的最小正周期为，则 B. 若，则函数的图象关于点对称 C. 若，且的最小值为，则 D. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据对称轴确定与的关系.根据周期，可确定的值，再结合求出的值，判断A的真假；根据的值，结合求出的值，进而可验证B的真假；根据的最小值为，可确定函数周期，进而求，判断C的真假；根据函数在给定区间上的单调性，可确定周期的取值范围，进而确定的取值范围，判断D的真假. 【详解】由函数的图象关于直线对称，知，解得. 对A选项：若函数的最小正周期为，则，. 又，所以，A正确； 对B选项：当时，， 又，所以，所以. 令，解得，令，得， 所以函数的图象关于点对称，B正确； 对C选项：由三角函数的图象和性质，知，解得，所以. 又，所以，C错误； 对D选项：由函数在区间上单调递增，得， 又，解得. 又时，与矛盾，所以.D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形OAB圆心角为3rad，其面积为，则该扇形的周长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求出半径，进而得到弧长和周长. 【详解】由得：，解得：， 故，则扇形周长为. 故答案为：. 13. 若，，则_________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由可知，所以，则 ，由变形得：． 考点：三角恒等变换． 14. 如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，把向量用坐标表示，进而计算数量积并结合函数性质求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以，. 设，由，，， ，则①； 又，，，，即， 得，代入①式解得，所以 设，，则， , 所以点坐标为. 则. ， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量 （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模长的坐标运算求解； （2）根据题意可得，且与不共线，结合向量的坐标运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 因为，解得， 所以，故. 【小问2详解】 令，解得， 若与共线，则，解得， 因为与的夹角为锐角，则，且与不共线， 所以的取值范围为. 16. 如图，在菱形中，分别是边的中点，与交于点，设． （1）用表示； （2）求的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量加法的三角形法则，即可求出结果； （2）利用，分别求出，，再利用数量积的定义，即可求出结果. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 根据题意，由（1）可得， 在平行四边形中，，即为等边三角形，所以，则，即， 则 ， 因为， ， 所以. 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据正弦函数的单调性求解单调区间； （2）先根据已知条件求出和的值，再利用两角差的余弦公式来求的值. 【小问1详解】 . 由， 解得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 已知，则，所以. 因，所以. 所以. 所以 . 18. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. 【小问3详解】 由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 19. 若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值； （3）讨论在上零点的个数. 【答案】（1） （2） （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得函数的周期性以及对称轴，可得答案； （2）由函数变换可得新函数的解析式，根据余弦函数的奇偶性以及诱导公式，可得答案； （3）由函数解析式以及零点定义，建立方程，求得零点，分情况建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 由，得， 所以是周期为6的函数， 由，得， 所以是的一条对称轴， 因为函数为“函数”，所以， 是的一条对称轴，所以. 因为，所以， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 再将所得图象向左平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称， 所以，解得. 因为，所以时，取最小值，为. 【小问3详解】 由（1）知，. 令，得， 所以或， 解得或. 因为的最小正周期，所以时至多有2个零点. 若，则，此时在上零点的个数为2； 若，则，此时在上零点的个数为1； 当时，，此时在上零点的个数为0； 当时，此时，此时在上零点的个数为1. 综上，，则： 当时，在上零点的个数为0； 当或时，在上零点的个数为1； 当时，在上零点的个数为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省乐山第一中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 本试卷共4页，19小题，满分150分． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码枮贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知角终边上一点坐标为，则（ ） A B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，与CE的交点为，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，的最大负零点在区间上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设非零向量，若，则 B. 若，则或 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 10. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（，）的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的最小正周期为，则 B. 若，则函数的图象关于点对称 C. 若，且的最小值为，则 D. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形OAB的圆心角为3rad，其面积为，则该扇形的周长为______cm． 13. 若，，则_________ 14. 如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量 （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 16. 如图，在菱形中，分别是边的中点，与交于点，设． （1）用表示； （2）求余弦值． 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值． 18. 在中，内角对应边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求取值范围． 19. 若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值； （3）讨论在上零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$