精品解析：2025年北京市延庆区九年级中考一模数学试卷

延庆区2025年初三年级统一练习 数学2025.4 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下面立体图形中，是圆柱的为（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 5. 不透明的盒子中装有黑、白、红小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到相同颜色的小球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 宇宙浩瀚无垠，它的宏伟与玄奇超乎人类想象．为更方便地计量太阳系中各天体间的距离，国际天文学联合会在1976年颁布了被称为“天文单位”（简写为A．U）的日地距离，并于2012年将其长度确定为149597870700米，可近似看作米．八大行星中，离太阳最远的海王星到太阳的平均距离为30天文单位，即米，则的值可近似为（ ） A. B. C. D. 7. 下面是“作的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； （3）作射线． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等两个三角形全等 8. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（ ）． A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：=______． 11. 方程解为______． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 13. 如图，□ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD交AD点E、F，已知AB＝3，AD＝5，则EF的长为________； 14. 如图，点A，B，C，D在上，，，则_________． 15. 某厂加工了个工件，质检员从中随机抽取个工件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下： 当一个工件的质量（单位：）满足为一等品，估计这个工件中一等品的个数是______． 16. 甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块______个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装______套系统． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22题5分，第23题6分，第24-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式值． 20. 如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 某图书馆计划用800元购买经典文学和科普读物两种书籍，经典文学每套50元，科普读物每套35元．若购买经典文学的数量比科普读物的数量多10套，判断能否恰好用完预算？若能，请求出所购买的经典文学和科普读物的套数，若不能，请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． （1）求n和k的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 如图，为的内接三角形，是的直径，D为中点，的延长线交于点E． （1）求证：； （2）连接交于点F，过点E作切线，交延长线于点Q，若，，求半径． 24. 3月22日是世界水日，世界水日的宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校为提倡节约用水，增强节约用水意识，在七、八年级开展了节约用水知识竞赛活动（百分制）．七、八年级各有200名学生参加了知识竞赛活动，为了解两个年级的竞赛答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息： a．七年级学生的成绩数据如下：（单位：分） 60 67 80 80 75 75 88 88 78 96 80 80 69 75 86 86 77 77 89 78 b．八年级学生成绩的频数分布直方图如下：（数据分成四组：，，，） 其中成绩在的数据如下：（单位：分） 81 81 81 82 83 84 85 86 87 89 c．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 79.2 79 m 八年级 80.3 n 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）______；______； （2）估计______年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多； （3）若成绩达到80分及以上为优秀，估计两个年级此次竞赛成绩优秀学生共有多少人？ 25. 某校九年级同学进行跨学科主题学习活动，利用所学知识研究某种化学试剂在A和B两种场景下的挥发情况，在实验过程中，当试剂挥发时间为x分钟时，场景A和场景B中剩余质量分别为克，克． 下面是数学小组在探究过程中记录的，与x的几组对应值： x（分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 20 7 … （克） 25 20 15 10 5 … （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象： （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当试剂挥发时间为14分钟时，场景A，场景B剩余质量的差约为______克（结果保留小数点后一位）； ②查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则______（填“”，“”或“=”）． 26. 平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求a的取值范围． 27. 已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点D在射线上，连接． （1）如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，当时，过点D作的垂线交射线于点E．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下规定：若外存在一点C，使得，则称点C是弦的“外联点”． （1）已知，点，． ①在点，，，中，点______是弦的“外联点”； ②已知点P是直线上一点，若P是弦的“外联点”，则点P的横坐标是______； （2）已知M，N是上任意两点，若直线上存在一点Q，使得点Q是弦的“外联点”，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延庆区2025年初三年级统一练习 数学2025.4 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下面立体图形中，是圆柱的为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查认识立体图形．圆柱是由上下两个平行且大小一样的圆面和一个侧面（曲面）组成的立体图形，直接根据圆柱体的几何特点解答即可． 【详解】解：根据圆柱的特点可知选项D中的图形是圆柱． 故选：D． 2. 如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，先利用等腰三角形的性质可得，然后再利用平行线的性质可得． 【详解】解：，， ， ， ， 故选C． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，由数轴可得，再逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，故A错误， ∴，，，故BC错误，D正确， 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故选：C． 5. 不透明的盒子中装有黑、白、红小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到相同颜色的小球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率，概率公式，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 画树状图展示所有等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的小球的结果数为， 两次摸到相同颜色的小球的概率是． 故选：． 6. 宇宙浩瀚无垠，它的宏伟与玄奇超乎人类想象．为更方便地计量太阳系中各天体间的距离，国际天文学联合会在1976年颁布了被称为“天文单位”（简写为A．U）的日地距离，并于2012年将其长度确定为149597870700米，可近似看作米．八大行星中，离太阳最远的海王星到太阳的平均距离为30天文单位，即米，则的值可近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法：将一个数表示为，其中为整数．根据科学记数法表示数的方法进行解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 7. 下面是“作的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； （3）作射线． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 由作图过程可知，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，， ， ， ∴判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 8. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边， 下列四个推断：①；②；③；④． 其中所有正确推断的序号是（ ）． A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题关键． 由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2， ∴，，即①、②正确； ∴ ，则：，,即③正确； ∴， ∴，即④错误； 综上，正确的有①②③． 故选B． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 10. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，，代入计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，□ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD交AD点E、F，已知AB＝3，AD＝5，则EF的长为________； 【答案】1 【解析】 【分析】先证∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝CD＝3，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， 则∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， 同理可证：DF＝CD＝3， ∴EF＝AE＋FD−AD＝3＋3−5＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明AE＝AB是解题的关键． 14. 如图，点A，B，C，D在上，，，则_________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内． 利用同弧上圆周角相等得到，然后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 某厂加工了个工件，质检员从中随机抽取个工件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下： 当一个工件的质量（单位：）满足为一等品，估计这个工件中一等品的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用样本估计总体，解题关键是熟练掌握用样本估计总体． 先计算出个工件中为一等品的频率，再乘以总数即可求解． 【详解】解：个工件中是一等品的有、、、、、、这个， 这个工件中一等品的个数是个． 故答案为：． 16. 甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目． ①甲在项目连续工作天能开发模块______个； ②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装______套系统． 【答案】 ①. ②. 196 【解析】 【分析】①由题意列出算式即可； ②由题意得甲在项目连续工作天最多能开发模块个，甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，每6天为一个循环，每6天组装套系统，最后两天分别计算开发两种不同系统，再列式计算即可． 【详解】解：①由题意可得：甲在项目连续工作天能开发模块个； ②一个科技系统需个模块和个模块， 天两模块同时开发出数量最多， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， 甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个， ∴每6天为一个循环，每6天组装套系统， ∵， ①每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个， ∴天最多能组装模块套系统． ②每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个， 天最多能组装模块套系统． ∵ ∴一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装196套系统． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22题5分，第23题6分，第24-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值，先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值以及化简二次根式，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组． 按去括号、移项和合并同类项、将系数化为的步骤解①式；再按去分母、移项和合并同类项、将系数化为的步骤解②式，综合即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得， ， ； 由②得， ， ． 不等式组的解集是． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】用表示分子，分母，后变形代入计算即可． 本题考查了已知式子的值，求分式的值，运用整体思想变形解答是解题的关键． 【详解】解： ∴原式． 20. 如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合直角三角形的性质，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，解答即可． 【小问1详解】 证明：， ． 即， 中，，D为中点， ． ，． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ∵菱形， ∴O为中点，． ∴是的中位线． ． 又， ． ∵在中，， ． ． ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的应用，平行四边形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 21. 某图书馆计划用800元购买经典文学和科普读物两种书籍，经典文学每套50元，科普读物每套35元．若购买经典文学的数量比科普读物的数量多10套，判断能否恰好用完预算？若能，请求出所购买的经典文学和科普读物的套数，若不能，请说明理由． 【答案】判断不能恰好用完预算．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，根据题意设购买经典文学x套，购买科普读物y套，列出二元一次方程，解得y不是正整数，不合题意，即可知不能恰好用完预算． 【详解】解：判断不能恰好用完预算．理由如下： 设购买经典文学x套，购买科普读物y套，假设恰好用完预算800元， 则 解得 此时y不是正整数，不合题意． 答：不能恰好用完预算． 22. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． （1）求n和k的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）n的值是1，k的值是2 （2） 【解析】 【分析】此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先利用反比例函数求出，得到，把代入求出； （2）在同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可． 【小问1详解】 解：由题意将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 解得： ∴n的值是1，k的值是2； 【小问2详解】 解：由（1）可知，函数即为函数， 当时，， 当过点时，，解得，即，如图： 当时，为，与平行， 如图， 根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时． 23. 如图，为的内接三角形，是的直径，D为中点，的延长线交于点E． （1）求证：； （2）连接交于点F，过点E作切线，交延长线于点Q，若，，求半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，D为中点，得到是的中位线，于是得到，根据的延长线交于点E，得到D，O，E三点共线，继而得到． （2）根据，证明三角形相似，设，，结合切线性质，平行线的性质，利用等角的余弦值相等，建立等式解答即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，D为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的延长线交于点E， ∴D，O，E三点共线， ∴． 【小问2详解】 解：， ，． ． ， ． ． 设，， ∵是的切线， ． ， ． ． ． ． 即的半径长是3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，切线性质，余弦函数的应用，熟练掌握切线性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 24. 3月22日是世界水日，世界水日的宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校为提倡节约用水，增强节约用水意识，在七、八年级开展了节约用水知识竞赛活动（百分制）．七、八年级各有200名学生参加了知识竞赛活动，为了解两个年级的竞赛答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息： a．七年级学生的成绩数据如下：（单位：分） 60 67 80 80 75 75 88 88 78 96 80 80 69 75 86 86 77 77 89 78 b．八年级学生成绩的频数分布直方图如下：（数据分成四组：，，，） 其中成绩在的数据如下：（单位：分） 81 81 81 82 83 84 85 86 87 89 c．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 79.2 79 m 八年级 80.3 n 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）______；______； （2）估计______年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多； （3）若成绩达到80分及以上为优秀，估计两个年级此次竞赛成绩优秀学生共有多少人？ 【答案】（1）， （2）八年级 （3）估计这两个年级此次成绩优秀学生共210人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）求出七年级成绩在平均分以上的人数有10人，占总数的，八年级成绩在平均分以上的有11人，占总数的，比较即可得解； （3）由样本估计总体的方法计算即可得解． 【小问1详解】 解：根据七年级成绩可得，出现次数最多的是，故， 由题意可得，八年级学生的成绩中第10、第11位分别是，，故； 【小问2详解】 解：由题意可得，七年级成绩在平均分以上的人数有10人，占总数的， 八年级成绩在平均分以上的有11人，占总数的， ∵， ∴估计八年级学生的成绩高于本年级平均分的人数更多； 【小问3详解】 解：由题意可得：（人）， 故估计这两个年级此次成绩优秀学生共210人． 25. 某校九年级同学进行跨学科主题学习活动，利用所学知识研究某种化学试剂在A和B两种场景下的挥发情况，在实验过程中，当试剂挥发时间为x分钟时，场景A和场景B中剩余质量分别为克，克． 下面是数学小组在探究过程中记录的，与x的几组对应值： x（分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 20 7 … （克） 25 20 15 10 5 … （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象： （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当试剂挥发时间为14分钟时，场景A，场景B剩余质量的差约为______克（结果保留小数点后一位）； ②查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则______（填“”，“”或“=”）． 【答案】（1）见解析 （2）①② 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）①通过分析，发现是x的二次函数，是x的一次函数，运动待定系数法确定函数的解析式，计算当时的函数值，再作差计算即可； ②根据克时，结合函数的解析式，分别计算出各自有效的时间分别为，，比较大小解答即可． 本题考查了描点法画图象，待定系数法求解析式，函数的性质，熟练掌握待定系数法，函数性质是解题的关键． 小问1详解】 解：根据描点法画图象，画图如下： 【小问2详解】 ①通过分析，发现是x的二次函数，是x的一次函数 设， 根据题意，得， 解得， 故； 设， 根据题意，得， 解得， 故； 当时，； 当时，， 故； 故答案为：； ②根据题意，当克时， ， 解得，（舍去）， ∵ ∴， 当克时， ， 解得， 故， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标公式，以及根据函数单调性结合点的位置来确定参数的取值范围． （1）将代入抛物线表达式，通过配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标； （2）先求出对应的函数值，再根据的正负性，结合二次函数单调性以及的条件确定的取值范围． 【小问1详解】 解：（1）当时，抛物线为 ∴抛物线的顶点坐标为直线． 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为，对于，，分两种情况 ①若，∵抛物线的对称轴为， ∴点在对称轴的右侧 ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时，y随x的增大而减小 ， ∴点N在对称轴右侧， ， ． ②若 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为 ， ， 即． 解不等式组得 综上所述，a的取值范围是或． 27. 已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点D在射线上，连接． （1）如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，当时，过点D作的垂线交射线于点E．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1），见解析 （2）与的数量关系是，见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的全等性质，补角的性质，等腰三角形的判定，等量代换解答即可． （2）作，且使，连接，．利用三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等量代换思想解答即可． 【小问1详解】 解：与的数量关系是． 证明：∵A，C，D共线， ． ， ． ∵线段绕点C旋转得到线段， ． ． 【小问2详解】 解：与的数量关系是． 证明：． ． ． 作，且使， 连接，． ∵， ． ． ． ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． ， ， 在和中， ， ， ， ∵在中，， ． ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等量代换，熟练掌握相关图形的性质和等量代换思想是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下规定：若外存在一点C，使得，则称点C是弦的“外联点”． （1）已知，点，． ①在点，，，中，点______是弦的“外联点”； ②已知点P是直线上一点，若P是弦的“外联点”，则点P的横坐标是______； （2）已知M，N是上任意两点，若直线上存在一点Q，使得点Q是弦的“外联点”，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）①过点A作轴，过点B作轴，两线交于点D，则四边形是正方形，得到，，，以点D为圆心，以为半径作，只需计算已知各点与点D的距离等于半径即可． ②作直线，交于点P，则点P为所求弦的“外联点”，过点P作轴于点F，则，，且，利用特殊角的三角函数解答即可． （2）根据前面的解答，不难发现，弦的“外联点”都在以点O为圆心，以为半径的圆上，作出函数的图象，由，得到直线与x轴的正半轴的夹角为，当于点O时，弦的“外联点”到直线的距离最大，作直线，分别与最外层圆交于点Q，，利用特殊角的三角函数，待定系数法中心对称性质解答即可． 【小问1详解】 解：①∵的半径为，点，， ∴， ∴点都是上的点，弦是的弦， 过点A作轴，过点B作轴，两线交于点D， 则四边形是正方形， ∴，，， 以点D为圆心，以为半径作， ∵， ∴点C一定在外的的优弧上， ∴， ∵点，，，， ∴， ， ， ， ∴，是弦的“外联点” 故答案为：，． ②作直线，交于点P，则点P为所求弦的“外联点”，过点P作轴于点F， 则， ∴， ∵， ∴， 故点P的横坐标是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据前面的解答，不难发现，弦的“外联点”都在以点O为圆心，以为半径的圆上， 作出函数的图象，由， 得到直线与x轴的正半轴的夹角为， 当于点O时，弦的“外联点”到直线的距离最大， 作直线，分别与最外层圆交于点Q，， 过点Q，，分别作，，分别交y轴于点P，点G， 过点Q作轴于点R， 根据题意，得， ∴，， ∴， 把点代入解析式，得， 解得， 根据中心对称性质，得， 把点代入解析式，得， 解得， 综上所述，点b的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数应用，待定系数法求解析式，两点间距离公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$