第四章因式分解同步练习 2024—2025学年浙教版数学七年级下册

第四章因式分解同步练习浙教版2024—2025学年七年级下册 一、选择题 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x（x+1）＝x2+x C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 2．把9mn+6mn2分解因式，应提取的公因式是（　　） A．3m B．mn C．3mn D．mn2 3．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　） A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．﹣x2﹣y2 B．x2﹣5y2 C．x2+4y2 D．﹣x2+y2 5．如果a﹣b＝3，ab＝7，那么a2b﹣ab2的值是（　　） A．﹣21 B．﹣10 C．21 D．10 6．把多项式﹣7ab﹣14abx+49aby分解因式，提公因式﹣7ab后，另一个因式是（　　） A．1+2x﹣7y B．1﹣2x﹣7y C．﹣1+2x+2y D．﹣1﹣2x+7y 7．把多项式m2（a﹣3）+m（3﹣a）分解因式等于（　　） A．（a﹣3）（m2+m） B．（a﹣3）（m2﹣m） C．m（a﹣3）（m﹣1） D．m（a﹣3）（m+1） 8．把多项式x2+ax﹣2分解因式，结果是（x+1）（x+b），则a，b的值为（　　） A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2 9．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．已知a＝2024x+2021，b＝2024x+2022，c＝2024x+2023，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．若△ABC三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 12．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC的形状为（　　） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 13．若m﹣n＝﹣2，且m+n＝5，则m2﹣n2＝　 ． 14．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　 　． 15．将多项式（a﹣3）2﹣（2a﹣6）因式分解的结果是 　 　． 16．分解因式：（a+1）2﹣2a﹣2＝　 　． 17．分解因式x（x﹣2）+（2﹣x）的结果是　 　． 18．若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　 　． 三、解答题 19．将下列各式分解因式： ①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）； ②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9． 20．分解因式： （1）x（x﹣y）+y（y﹣x）； （2）5a2b﹣10ab2+5b3． 21．因式分解： （1）15a2b4+5a2b2； （2）﹣2a4+4a2﹣2； （3）25（a+3b）2（x+y）+9（3a﹣b）2（﹣x﹣y）． 22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　； （2）分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2023的结果是 　 　； （3）利用（2）中结论计算：5+52+53+…+52023． 23．因式分解： （1）（a+4）（a﹣1）﹣3a； （2）27x2y﹣36xy2+12y3． 24．先阅读下面材料，再解决问题： 已知x2+bx+c＝0．在求关于x的代数式的值时，可将x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c．就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知x2+2x﹣4＝0，求代数式x2（x+4）的值． 解：∵x2+2x﹣4＝0， ∴x2＝﹣2x+4． ∴原式＝（﹣2x+4）（x+4）＝﹣2x2﹣8x+4x+16＝﹣2x2﹣4x+16＝﹣2（﹣2x+4）﹣4x+16＝4x﹣8﹣4x+16＝8． ∴x2（x+4）＝8． 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若x2+x﹣15＝0，则代数式（x+4）（x﹣3）的值为 　 　． （2）若x2+5x+1＝0，则代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为 　 　． （3）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3+12x2+8x+3的值． 25．阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解： （1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝　 　，A＝0； （2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值； （3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值． 26．已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 第四章因式分解同步练习浙教版2024—2025学年七年级下册 一、选择题 1．【解答】解：A、是因式分解，符合题意； B、是整式的乘法，不符合题意； C、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意； 故选：A． 2．【解答】解：公因式是3mn，把9mn+6mn2分解因式，应提取的公因式是3mn， 故选：C． 3．【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）． 故选：A． 4．【解答】解：A、﹣x2﹣y2不能用平方差公式分解因式； B、x2﹣5y2不能用平方差公式分解因式； C、x2+4y2不能用平方差公式分解因式； D、﹣x2+y2＝y2﹣x2是y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式； 故选：D． 5．【解答】解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝7×3＝21， 故选：C． 6．【解答】解：﹣7ab﹣14abx+49aby ＝﹣7ab（1+2x﹣7y）． 故选：A． 7．【解答】解：原式＝m2（a﹣3）﹣m（a﹣3） ＝m（a﹣3）（m﹣1）， 故选：C． 8．【解答】解：x2+ax﹣2＝（x+1）（x+b）＝x2+（1+b）x+b， 所以a＝1+b，b＝﹣2， 解得a＝﹣1，b＝﹣2． 故选：D． 9．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc， ∴（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b）， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0． ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a+b＞c， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， 即△ABC的是等腰三角形． 故选：A． 10．【解答】解：∵a＝2024x+2021，b＝2024x+2022，c＝2024x+2023， ∴a﹣b＝2024x+2021﹣2024x﹣2022＝﹣1，b﹣c＝2024x+2022﹣2024x﹣2023＝﹣1，a﹣c＝2024x+2021﹣2024x﹣2023＝﹣2， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3， 故选：D． 11．【解答】解：依题意， 由a2﹣b2﹣ac+bc＝0， 可得（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）c＝0， 所以（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， 因为a，b，c为△ABC三边， 所以a+b＞c， 所以a+b﹣c＞0， 所以只能a﹣b＝0， 所以a＝b，可以判断△ABC的形状， 所以△ABC为等腰三角形， 故选：C． 12．【解答】解：∵a2+b2+c2＝ab+ac+bc， ∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC的形状为等边三角形． 故选：B． 二、填空题 13．【解答】解：∵m﹣n＝﹣2，且m+n＝5， ∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝﹣2×5＝﹣10， 故答案为：﹣10． 14．【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1， ∴x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝1×10 ＝10． 15．【解答】解：（a﹣3）2﹣（2a﹣6） ＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3） ＝（a﹣3）（a﹣3﹣2） ＝（a﹣3）（a﹣5）． 故答案为：（a﹣3）（a﹣5）． 16．【解答】解：原式＝（a+1）2﹣2（a+1） ＝（a+1）（a+1﹣2） ＝（a+1）（a﹣1）， 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 17．【解答】解：x（x﹣2）+（2﹣x） ＝x（x﹣2）﹣（x﹣2） ＝（x﹣2）（x﹣1）． 故答案为：（x﹣2）（x﹣1）． 18．【解答】解：∵x2+x＝1， ∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4； 故答案为：4． 三、解答题 19．【解答】解：①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2﹣16） ＝（x﹣1）（x+4）（x﹣4）； ②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9 ＝（m﹣n）2+6（m﹣n）+9 ＝（m﹣n+3）2． 20．【解答】解：（1）原式＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y） ＝（x﹣y）（x﹣y） ＝（x﹣y）2； （2）原式＝5b（a2﹣2ab+b2） ＝5b（a﹣b）2． 21．【解答】解：（1）15a2b4+5a2b2 ＝5a2b2（3b2+1）； （2）﹣2a4+4a2﹣2 ＝﹣2（a4﹣2a2+1） ＝﹣2（a2﹣1）2 ＝﹣2（a+1）2（a﹣1）2； （3）25（a+3b）2（x+y）+9（3a﹣b）2（﹣x﹣y） ＝25（a+3b）2（x+y）﹣9（3a﹣b）2（x+y） ＝（x+y）[25（a+3b）2﹣9（3a﹣b）2] ＝（x+y）[5（a+3b）+3（3a﹣b）][5（a+3b）﹣3（3a﹣b）] ＝（x+y）（14a+12b）（18b﹣4a） ＝4（x+y）（7a+6b）（9b﹣2a）． 22．【解答】解：（1）由题干计算步骤可得分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）原式＝（1+x）[1+x+x（x+1）+…+x（x+1）2022] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+…+x（x+1）2021] … ＝（1+x）2024， 故答案为：（1+x）2024； （3）原式＝×4（5+52+53+…+52023） ＝×（4×5+4×52+4×53+…+4×52023） ＝×（1+4+4×5+4×52+4×53+…+4×52023）﹣ ＝﹣ ＝． 23．【解答】解：（1）（a+4）（a﹣1）﹣3a ＝a2﹣a+4a﹣4﹣3a ＝a2﹣4 ＝（a+2）（a﹣2）； （2）27x2y﹣36xy2+12y3 ＝3y（9x2﹣12xy+4y2） ＝3y（3x﹣2y）2． 24．【解答】解：（1）（x+4）（x﹣3）＝x2+x﹣12， ∵x2+x﹣15＝0， ∴x2＝15﹣x， ∴x2+x﹣12＝15﹣x+x﹣12＝15﹣12＝3， ∴代数式（x+4）（x﹣3）的值为3． 故答案为：3； （2）∵x2+5x+1＝0， ∴x2＝﹣5x﹣1 x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1） ＝x（﹣5x﹣1+5x）+x2+6x﹣7 ＝﹣x+（﹣5x﹣1）+6x﹣7 ＝﹣6x+6x﹣7﹣1 ＝﹣8， ∴代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为﹣8． 故答案为：﹣8； （3）∵x2+2x﹣1＝0， ∴x2＝1﹣2x， 2x4+8x3+12x2+8x+3 ＝2（1﹣2x）2+8x（1﹣2x）+12x2+8x+3 ＝2（1﹣4x+4x2）+8x﹣16x2+12x2+8x+3 ＝2﹣8x+8x2+8x﹣16x2+12x2+8x+3 ＝5+4x2+8x ＝5+4（1﹣2x）+8x ＝5+4﹣8x+8x ＝9， ∴2x4+8x3+12x2+8x+3的值为9． 25．【解答】解：（1）由题意，得，当x+m＝0时，A＝0， ∴x＝﹣m时，a＝0， 故答案为：﹣m； （2）由题意得x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式， ∴x﹣2能整除x2+kx﹣14， ∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0， ∴x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0， 解得：k＝5； （3）由题意得x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式， ∴x+2，x﹣1能整除4x3+ax2﹣7x+b， ∴x+2＝0，x﹣1＝0， 当x+2＝0时即x＝﹣2时，4x3+ax2﹣7x+b＝0， ∴4a+b＝18①， 当x﹣1＝0即x＝1时，4x3+ax2﹣7x+b＝0， ∴a+b＝3②， ①﹣②得3a＝15， 解得：a＝5， ∴b＝﹣2． 26．【解答】由a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0， 得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$