4.1 因式分解的意义同步练习2024-2025学年浙教版数学七年级下册

4.1 因式分解的意义 一．基础巩固（共15小题） 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 B． C．a（a+1）＝a2+a D．9x2﹣25y2＝（3x﹣5y）（3x+5y） 2．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 3．若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 4．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x（a+b）＝ax+bx B． C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x 5．对于下列两个自左向右的变形： 甲：6x2y＝2x•3xy； 乙：x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1； 其中说法正确的是（　　） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 6．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（　　） A．﹣18 B．2 C．10 D．12 7．下列多项式能进行因式分解的是（　　） A．﹣x2﹣y2 B．﹣x2﹣2xy+y2 C．x2﹣2xy+y2 D．﹣x+y2 8．若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（　　） A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2 9．若x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6 10．已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（　　） A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6 11．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝　 　． 12．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 13．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　 　，从右向左的变形是　 　 14．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有　 　.（填序号） ①a（x+y）＝ax+ay； ②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）； ③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2； ④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t． 15．把一个多项式化成　 　的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因式与　 　互为逆变形过程． 二．能力提升（共2小题） 16．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 17．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 三．拓展探究（共1小题） 18．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得，解得，∴． 解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取， 20，故． （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 因式分解的意义 一．基础巩固（共15小题） 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 B． C．a（a+1）＝a2+a D．9x2﹣25y2＝（3x﹣5y）（3x+5y） 【分析】将一个多项式化成几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【解答】解：4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1中，等号右边不是积的形式，他不熟因式分解，则A不符合题意； a2b2不是多项式，无法因式分解，则B不符合题意； a（a+1）＝a2+a是乘法运算，不是因式分解，则C不符合题意； 9x2﹣25y2＝（3x﹣5y）（3x+5y）符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 2．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【解答】解：①2a﹣4＝2（a﹣2），属于因式分解； ②3x2+3xy＝3x（x+y），属于因式分解； 所以①和②都是因式分解． 故选：A． 3．若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【分析】先把等式的右边化为x2﹣2x﹣15的形式，再求出m的值即可． 【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15， ∴m＝﹣2． 故选：A． 4．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x（a+b）＝ax+bx B． C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x 【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可． 【解答】解：A．x（a+b）＝ax+bx，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．等式的左边不是一个多项式，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意； D．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意． 故选：C． 5．对于下列两个自左向右的变形： 甲：6x2y＝2x•3xy； 乙：x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1； 其中说法正确的是（　　） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【分析】利用因式分解的定义求求解． 【解答】解：因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式， 故甲和乙都是错误的， 故选：B． 6．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（　　） A．﹣18 B．2 C．10 D．12 【分析】设另一个因式为x+m，则x2+7x+n＝（x+m）（x+5），根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【解答】解：设另一个因式为x+m， 则x2+7x+n＝（x+m）（x+5）， 而（x+m）（x+5）＝x2+（5+m）x+5m， 所以5+m＝7， 解得：m＝2， n＝5×2＝10， 故选：C． 7．下列多项式能进行因式分解的是（　　） A．﹣x2﹣y2 B．﹣x2﹣2xy+y2 C．x2﹣2xy+y2 D．﹣x+y2 【分析】利用平方差公式和完全平方公式逐项判断即可． 【解答】解：A．﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），故本选项不符合题意； B．﹣x2﹣2xy+y2＝﹣（x2+2xy﹣y2），故本选项不符合题意； C．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，故本选项不符合题意； D．﹣x+y2不能进行因式分解，故本选项符合题意． 故选：C． 8．若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（　　） A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2 【分析】将分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出m与n的值． 【解答】解：根据题意得：x2+mx﹣18＝（x﹣9）（x+n）＝x2+（n﹣9）x﹣9n， ∴m＝n﹣9，﹣18＝﹣9n， 解得：m＝﹣7，n＝2． 故选：B． 9．若x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6 【分析】根据多项式乘以多项式法则求出（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，求出m、n的值，再求出mn即可． 【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6， ∵x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式， ∴m＝1，n＝﹣6， ∴mn＝1×（﹣6）＝﹣6， 故选：C． 10．已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（　　） A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6 【分析】首先把2（x﹣3）（x+1），利用整式的乘法计算得出结果，与多项式ax2+bx+c的每一项相对应，求出a、b、c的数值即可． 【解答】解：2（x﹣3）（x+1） ＝2（x2﹣2x﹣3） ＝2x2﹣4x﹣6， ax2+bx+c＝2x2﹣4x﹣6 所以a＝2，b＝﹣4，c＝﹣6． 故选：D． 11．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝　6　． 【分析】本题可先将（x+2）（x+3）化简，得出一个二次多项式，再根据对应项系数相等可得c的值． 【解答】解：（x+2）（x+3）， ＝x2+2x+3x+6， ＝x2+5x+6， 又x2+5x+6＝（x+2）（x+3）， 所以c＝6． 12．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　． 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 13．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　整式乘法　，从右向左的变形是　因式分解　 【分析】根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解． 【解答】解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2， 从左向右的变形是两个整式相乘，故是整式乘法； 从右向左的变形是因式分解， 故答案为：整式乘法、因式分解． 14．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有　②③　.（填序号） ①a（x+y）＝ax+ay； ②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）； ③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2； ④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t． 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：①a（x+y）＝ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解， ②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），等式从左边到右边的变形属于因式分解， ③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解， ④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解， 即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③， 故答案为：②③． 15．把一个多项式化成　几个整式的积　的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因式与　整式乘法　互为逆变形过程． 【分析】根据分解因式的意义进行作答即可． 【解答】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式； 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆，二者是一个式子的不同表现形式． 故答案为：几个整式的积，整式乘法． 二．能力提升（共2小题） 16．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 【解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 17．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 【分析】设另一个因式为x+a，根据多项式乘以多项式法则得出（x+3）（x+a）＝x2+（3+a）x+3a，即可求出a、m． 【解答】解：设另一个因式为x+a， 则（x+3）（x+a）＝x2+（3+a）x+3a， ∵x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a）， ∴3+a＝﹣4，3a＝m， ∴a＝﹣7，m＝﹣21， 即另一个因式为x﹣7，m＝﹣21． 三．拓展探究（共1小题） 18．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得，解得，∴． 解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取， 20，故． （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． 【分析】设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值． 【解答】解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①， 取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②， 由①、②解得m＝﹣5，n＝20． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$