精品解析：四川省广安市2025年高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试全真模拟试卷数学(一)

2025年高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试全真模拟试卷 数学（一） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 2023年1月，国家统计局发布我国全社会研发经费总投入30870亿元，首次突破3万亿元，较2022年增长，高于“十四五”规划全社会研发经费投入年均增长以上的目标．将数据30870亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法-表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数．据此即可求解． 【详解】解：30870亿， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据同底数幂的乘法可以判断A；根据合并同类项的方法可以判断B；根据完全平方公式可以判断C；根据平方差公式可以判断D． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，，，下列哪个条件不能判定≌　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等结合已知把四项逐个加入试验即可看出． 【详解】解：A、符合ASA，可以判定三角形全等； B、符合SAS，可以判定三角形全等； D、符合SAS，可以判定三角形全等； C、，，若添加C、满足SSA时不能判定三角形全等的，C选项是错误的． 故选C． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 5. 某学校举行唱歌比赛，最终有名学生进入决赛，这名学生的评分分别是，，，，，，，，，．则这组评分的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，熟练掌握众数的概念是解题关键． 根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案． 【详解】解：∵这组数据中出现三次，出现次数最多， ∴众数是， 故选：． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，是假命题，不合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，是假命题，不合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，是假命题，不合题意； D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 8. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，下列结论：①对称轴是直线；②；③二次函数的图象经过点，，若，则；④y有最大值，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据当时，x的取值范围是，可知开口向下以及对称轴为直线，进而得到，离对称轴越远函数值越小，，由此即可判断①②④；进而得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵对于二次函数，当时，x的取值范围是， ∴二次函数开口向下，且二次函数对称轴为直线，故①正确； ∴，，故②错误； ∴离对称轴越远函数值越小，， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴， ∴或， ∴或，故③错误； ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值，即，故④正确； 综上分析可知，正确的是①④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系等等，正确判断出二次函数的开口方向和对称轴是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键． 10. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，由图象所在的象限得到关于k的不等式是解题的关键．由一次函数不经过第三象限可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，正方形的面积为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形四边形．若，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换，利用位似的性质得面积比等于相似比的平方即可求解，解题的关键是理解题意，灵活运用位似的性质． 【详解】解：∵， ∴正方形的面积四边形的面积， ∵正方形的面积为， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 12. x＝______时，两分式与的值相等． 【答案】-8 【解析】 【详解】试题解析：首先根据题意列出关于x的分式方程，然后求出分式方程的解得出答案.根据题意可得：，等式两边同时乘以(x-4)(x-1)可得：4(x-1)=3(x-4)，解得：x=-8，经检验：x=-8是原方程的解. 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是BC的中点，以D为圆心，DC长为半径作弧，交DA于点E；再以A为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点F，则FC的长为_____． 【答案】（3﹣）． 【解析】 【分析】根据D是BC的中点，可得CD＝1，根据勾股定理可得AD＝，再由作图过程可得，DE＝DC＝1，AE＝AF＝﹣1，进而可求出FC的长． 【详解】∵D是BC的中点， ∴CD＝BC＝1， 在Rt△ADC中，∠ACD＝90°，AC＝2，CD＝1， 根据勾股定理，得 AD＝， 根据作图过程可知： DE＝DC＝1， ∴AE＝AF＝AD﹣DE＝﹣1， ∴FC＝AC﹣AF＝2﹣（﹣1）＝3﹣． 故答案为：（3﹣）． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握理解作图过程． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组． （1）根据绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值解答即可； （2）分别解出两个不等式，再写出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 15. 整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此某校教务处就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查．设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正的情况．选项：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果进行整理，并绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题． （1）求a，b的值及“常常”所对应扇形的圆心角度数； （2）请你补全条形统计图； （3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两名学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图法求出所选两名学生恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率． 【答案】（1）， （2）补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合运用，画树状图或列表法求概率，求圆周角的度数等，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用选择B选项的人数除以其所占的百分比即可得出总人数，再用选择A，D的人数除以总人数即可求出的值，用“常常”对应的百分比乘以即可求出其对应扇形的圆心角度数；（2）先求出“常常”的人数，再补画条形统计图即可； （3）根据题意，画树状图可得共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，再根据概率的公式计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴参与调查的人数为200人， ∴， ∵， ∴“常常”所对应扇形的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：人， ∴“常常”所对应的人数为60人， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种， ∴所选两位同学恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率是． 16. 第31届世界大学生夏季运动会在成都开展．大运会“火炬塔”（如图①）位于东安湖体育公园中心片区．某中学九年级数学兴趣小组开展了测量“火炬塔”高度的实践活动．如图②，“火炬塔”垂直于地面，点B，C，D在同一水平线上，通过实际测量，测得，，．求“火炬塔”的高度．（结果精确到）．参考数据：，，） 【答案】“火炬塔”的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，解直角三角形求出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 答：“火炬塔”的高度约为． 17. 如图，点C在以为直径的上，的半径为3，，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F． （1）求证：为的切线； （2）若直线与交于点G，连接，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接．如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，先根据垂径定理，利用得到，再证明，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）过点C作于点H，利用勾股定理求出、，利用面积法求出，证明，推出，由此求出、，再根据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点H， ∵是直径，的半径为3， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 18. [定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”． （1）已知，矩形中，点的坐标分别为：①②；③，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号） （2）如图1，已知点）是反比例函数的“伴随矩形”的顶点，求直线的函数解析式； （3）若反比例函数的“伴随矩形”如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． 【答案】（1）①③ （2） （3） 证明：∵在反比例函数上， 设，，则，， 设直线的解析式为， 则， ∴， 即， ∴直线过原点． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数图像上点的坐标的特征可得答案； （2）根据矩形的性质和反比例函数图像上点的坐标的特征可得，，从而得出点D的坐标，再利用待定系数法可得直线BD的解析式； （3）设，，则，，利用待定系数法求出直线的解析式可得答案． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴满足同一个反比例函数， ②∵， ∴， ∴不满足同一个反比例函数， ③∵， ∴， ∴满足同一个反比例函数， ∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③， 故答案为：①③； 【小问2详解】 ∵的反比例函数的“伴随矩形”的顶点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则，∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图像上点的坐标的特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，理解“伴随矩形”满足的两个条件是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，等式的性质，整体代入思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 先由得，再通过，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 20. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______． 【答案】20 【解析】 【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：， 则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 则菱形的边长为， 故菱形的周长为5×4=20， 故答案为20 【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键． 21. “赵爽弦图”是我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的一种验证勾股定理的图形．如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边长与短直角边长之比为．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在阴影区域的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比． 【详解】解：设两直角边分别是3x，x，则斜边即大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形的面积为，小正方形的面积为， 针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 22. 如图，在矩形中，，E，G分别为和的中点，连接，将沿着翻折得到，连接并延长交的延长线于点H．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，翻折，过作于，交于，先证明四边形为矩形，得到，，设，则，，再由矩形和翻折得到，得到，代入后得到，再根据列方程求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：过作于，交于， ∵矩形中，， ∴，， ∵E，G分别为和的中点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 设，则，， ∵将沿着翻折得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 23. 如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 连接，证明是等腰直角三角形，则有，，求出，然后证明点是外接圆的上的一个动点，故有当点共线时，的长最小，则的面积最小，过点作于点，则四边形是矩形，则有，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴在中，， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴点是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点， 当点共线时，的长最小，则的面积最小， 当点共线时，， ∴， ∴是等边三角形，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小面积为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某果园原计划种100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵． （1）如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ （2）应种多少棵桃树，桃子的产量才会达到最大值？求出这个最大值． 【答案】（1）应多种20棵桃树 （2）应种200棵桃树，桃子的产量才会达到最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用； （1）设多种x棵树，根据产量增加，列方程求解即可； （2）多种x棵桃树，桃子的产量为y，，当时，随的增大而增大，得到当时，最大，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设多种x棵树，则 ， 整理，得：， ， 解得，， ∵多种的桃树不能超过100棵，即，， ∴不合题意，故舍去， ∴， 答：应多种20棵桃树； 【小问2详解】 解：多种x棵桃树，桃子的产量为y，则 ， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴多种100课桃树，即应种200棵桃树，桃子的产量才会达到最大值，最大值为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，抛物线过点，． （1）直接写出点的坐标，并求出抛物线所对应的函数解析式． （2）点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．点，的速度均为每秒个单位长度，运动时间为． 如图，过点作交于点，过点作于点，交抛物线于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，求当为何值时，的面积为． 如图，连接，过作于点，在点，运动的过程中，是否存在某个，使得？若存在，请直接写出相应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），抛物线的解析式为； （2）；或时，． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，矩形的性质，解直角三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由于四边形为矩形，所以点与点纵坐标相同，点与点横坐标相同；即可得出点坐标，坐标分别代入即可求出函数解析式； （）由点关于抛物线对称轴的对称点为和，可求点坐标为 ，由三角函数可求证在同一直线直线上，进而根据三角形面积求法求解即可； 取中点，连接，可知，求出，然后根据坐标求出长根据 ，列出方程即可求出. 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵点，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 将，两点坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴，， ∴， ∴三点在同一直线上， ∴ ∴， ∴， 解得或(舍)， 即当时，的面积为； 如图，取中点，连接，过点，作， 则，，， ∴ ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵， ∴， 整理得： ∴， ∴或， 故或时，． 26. 【了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 （1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值； （2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式． 【答案】（1）； （2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形． 理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM． ∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠DCM＝∠DMC＝45°， ∵∠CDM＝∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠BDM， ∵AD＝DB，CD＝DM， ∴△ADC≌△BDM（SAS）， ∴AC＝BM， ∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2， ∴CM2+CB2＝BM2， ∴∠BCM＝90°， ∴∠DCB＝45°， ∴∠DAB+∠DCB＝90°， ∴四边形ABCD是对余四边形． （3）u＝（0＜t＜4）． 【解析】 【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin∠CAD的值． （2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形． （3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题． 【详解】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F． ∵AC＝AB， ∴BE＝CE＝3， 在Rt△AEB中，AE＝， ∵CF⊥AD， ∴∠D+∠FCD＝90°， ∵∠B+∠D＝90°， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB∽△DFC， ∴， ∴， ∴CF＝， ∴sin∠CAD＝． （2）略 （3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H． ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2）， ∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， ∵四边形ABCD是对余四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝45°， ∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°， ∴∠ADC+∠AEC＝180°， ∴A，D，C，E四点共圆， ∴∠ACE＝∠ADE， ∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°， ∴∠EAB＝∠ACE， ∴∠EAB＝∠ADB， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴， ∴ ∴u＝， 设D（x，t）， 由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2， ∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2， 整理得（x+1）2＝4t﹣t2， 在Rt△ADH中，AD＝， ∴u＝＝（0＜t＜4）， 即u＝（0＜t＜4）． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试全真模拟试卷 数学（一） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年1月，国家统计局发布我国全社会研发经费总投入30870亿元，首次突破3万亿元，较2022年增长，高于“十四五”规划全社会研发经费投入年均增长以上的目标．将数据30870亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，下列哪个条件不能判定≌　　 A. B. C. D. 5. 某学校举行唱歌比赛，最终有名学生进入决赛，这名学生的评分分别是，，，，，，，，，．则这组评分的众数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时，x的取值范围是，下列结论：①对称轴是直线；②；③二次函数的图象经过点，，若，则；④y有最大值，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：_________． 10. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围为_______ 11. 如图，正方形的面积为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形四边形．若，则四边形的面积为______． 12. x＝______时，两分式与的值相等． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是BC的中点，以D为圆心，DC长为半径作弧，交DA于点E；再以A为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点F，则FC的长为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此某校教务处就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查．设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正的情况．选项：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果进行整理，并绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题． （1）求a，b的值及“常常”所对应扇形的圆心角度数； （2）请你补全条形统计图； （3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两名学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图法求出所选两名学生恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率． 16. 第31届世界大学生夏季运动会在成都开展．大运会“火炬塔”（如图①）位于东安湖体育公园中心片区．某中学九年级数学兴趣小组开展了测量“火炬塔”高度的实践活动．如图②，“火炬塔”垂直于地面，点B，C，D在同一水平线上，通过实际测量，测得，，．求“火炬塔”的高度．（结果精确到）．参考数据：，，） 17. 如图，点C在以为直径的上，的半径为3，，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F． （1）求证：为的切线； （2）若直线与交于点G，连接，求的面积． 18. [定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”． （1）已知，矩形中，点的坐标分别为：①②；③，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号） （2）如图1，已知点）是反比例函数的“伴随矩形”的顶点，求直线的函数解析式； （3）若反比例函数的“伴随矩形”如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则的值是_______． 20. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______． 21. “赵爽弦图”是我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的一种验证勾股定理的图形．如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边长与短直角边长之比为．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在阴影区域的概率为_______． 22. 如图，在矩形中，，E，G分别为和的中点，连接，将沿着翻折得到，连接并延长交的延长线于点H．则_______． 23. 如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某果园原计划种100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵． （1）如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ （2）应种多少棵桃树，桃子的产量才会达到最大值？求出这个最大值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，抛物线过点，． （1）直接写出点的坐标，并求出抛物线所对应的函数解析式． （2）点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．点，的速度均为每秒个单位长度，运动时间为． 如图，过点作交于点，过点作于点，交抛物线于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，求当为何值时，的面积为． 如图，连接，过作于点，在点，运动的过程中，是否存在某个，使得？若存在，请直接写出相应的值；若不存在，请说明理由． 26. 【了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 （1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值； （2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $