精品解析：江苏省连云港市灌云县西片2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次教学质量检测 九年级数学试卷 一．选择题（共9小题） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，以点为圆心，4为半径作圆，下列说法中，正确的是( ) A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 点在圆内 4. 若为锐角，且，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 小张参加了某公司的招聘考试，考试分面试和笔试(成绩均按百分制)，面试占，笔试占，小张的面试和笔试成绩分别为分和分，则小张的综合成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（ ） A. B. 6 C. D. 4 7. 如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s后，速度越来越快 ③小球抛出3s时速度为0 ④小球的高度时， 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 二．填空题（共8小题） 9. 甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差．统计如下表： 选手 甲 乙 丙 平均数 3 3 3 方差 0.26 0.15 0.32 则射击成绩最稳定的选手是_____（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个） 10. 若是方程的一个实数根，则的值为_______. 11. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点是线段上靠近点的一个黄金分割点，若，则的长为______．（结果保留根号） 12. 如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． 13. 如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段与相交于点P，则的正弦值为 _______． 14. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则的面积为______． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是______． 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰色大球代表碳原子，白色小球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______ 三．解答题（共11小题） 17. 若一元二次方程的右边被墨水污染▊． （1）若方程的一个解为时，求“▊”的值； （2）若“▊”表示，求． 18. 我校为提高学生的安全意识，组织八、九年级学生开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 中位数 8 众数 9 方差 （1）根据以上信息可以求出：___________，___________，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是___________（填“八年级”或“九年级”）； （3）已知该校八年级有1000人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 19. 如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． （1）求证：与相切； （2）若，，试求的长． 20. 小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负． （1）若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为 ； （2）求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率． 21. 已知，如图，在中，，用直尺和圆规在线段上找一点M，使得；（不写作法，保留作图痕迹） 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限画出，使它与位似，且相似比为，并写出点A的对应点的坐标． （2）在（1）的条件下，若点在边上，则点P位似后的对应点的坐标为_____． 23. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 24. 某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 25. 如图是某款篮球架抽象后的示意图．已知于点，底座的长为米，斜拉支架米，臂展支架米，篮板高米，点在支架上，篮板底部支架，于点，支架与所成的角． （1）求竖直支架的长度； （2）求篮板底部点到地面的距离（结果保留位小数）．（参考数据：，，） 26. 如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为5米，宽为10米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在抛物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”的长度之和的最大值． 27. 下面是两位同学设计的“尺规作矩形”的作图过程： 题目：如图①，已知线段，.求作：矩形.（要求：尺规作图） 甲同学作法如图②：①过点A作的垂线；②过点C作的垂线，交于点D； 乙同学作法如图③：①作线段的垂直平分线交于点O；②连接并延长，在延长线上截取；③连接，. （1）依据甲同学的作法，得到矩形的依据是：______； （2）请依据乙同学的作法，说明四边形是矩形； （3）若，，点P是上一动点，从C向D运动，速度为；点Q是上一动点，从C向B运动，速度为；两动点同时出发，直接写出当，满足什么关系时，与相似. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次教学质量检测 九年级数学试卷 一．选择题（共9小题） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意； B、中为分式，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中为分式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2. 某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】千米米厘米， ∴地图上的距离与实际的距离之比是， 故选：． 【点睛】此题考查了比例尺，解题的关键是正确理解比例尺的定义． 3. 如图，在矩形中，，以点为圆心，4为半径作圆，下列说法中，正确的是( ) A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 点在圆内 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与直线的三种位置关系，根据题意确定点与圆心之间的距离是解题的关键．根据点与直线的三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在圆内进行判断． 【详解】解：因为，，， 所以点在圆内； 因为在矩形中，，， 如图，连接 所以，，， 所以点在圆外； 因为，，， 所以点在圆上． 故选：A． 4. 若为锐角，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，求特殊角三角函数值，根据的正弦值得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 小张参加了某公司的招聘考试，考试分面试和笔试(成绩均按百分制)，面试占，笔试占，小张的面试和笔试成绩分别为分和分，则小张的综合成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数公式计算即可求解，掌握加权平均数公式是解题的关键． 【详解】解：， ∴小张的综合成绩为分， 故选：． 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案． 【详解】解：一元二次方程没有实数根， 只有选项B符合要求， 故选：B． 7. 如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率，首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果， 然后求得李师傅恰好从E出口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由树状图可知所有可能的结果有6种，李师傅恰好从E出口驶出的结果有2种， 则李师傅恰好从E出口驶出的概率为， 故选：B． 8. 物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s后，速度越来越快 ③小球抛出3s时速度为0 ④小球的高度时， 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：， 把代入得，解得， ∴函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， ∴小球的高度时，或，故④错误； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意 二．填空题（共8小题） 9. 甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差．统计如下表： 选手 甲 乙 丙 平均数 3 3 3 方差 0.26 0.15 0.32 则射击成绩最稳定的选手是_____（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了利用方差来判断数据的波动性，解题的关键是理解方差的意义． 平均数相等，方差越小成绩越稳定． 【详解】解：， 即：乙的方差甲的方差丙的方差， ∴乙的方差最小，成绩最稳定， 故答案为：乙． 10. 若是方程的一个实数根，则的值为_______. 【答案】4055 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴． 故答案为：4055． 11. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点是线段上靠近点的一个黄金分割点，若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的计算，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为： ． 12. 如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得为的直径，即，所以，设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到方程即可求得． 【详解】解：连接，如图， ， 为的直径，即， ， 设该圆锥的底面圆的半径为， ∴， 解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 13. 如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段与相交于点P，则的正弦值为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求正弦，勾股定理，平行线的性质， 作，交格点于点E，F，连接，再根据勾股定理得，可知，然后根据平行线的性质得，最后根据正弦的定义得出答案. 【详解】解：如图所示，过点C作，交格点于点E，F，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴. ∵， ∴， 即. 故答案为：. 14. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是求出点、点和点的坐标．根据抛物线，可以求得点、点和点的坐标，然后即可得到和的长度，最后计算的面积即可． 【详解】解：抛物线， 当时，；当时，或， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 故答案为：8． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据函数图象，对称轴，可得二次函数与轴的另一个交点，再利用抛物线与轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系，即可． 【详解】解：由函数图象可得，二次函数与轴的交点为，对称轴为：， ∴， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴当或时，， ∴一元二次方程的解为：，． 故答案为：，． 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰色大球代表碳原子，白色小球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______ 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 观察前面三幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可． 【详解】解：图①有个个氢原子， 图②有个氢原子， 图③有个氢原子， ……， 以此类推，可知图n中有个氢原子， 第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：个； 故答案为：26． 三．解答题（共11小题） 17. 若一元二次方程的右边被墨水污染▊． （1）若方程的一个解为时，求“▊”的值； （2）若“▊”表示，求． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解，解一元二次方程的方法． （1）把代入，解出▊，即可； （2）根据题意，可得方程为，解出方程，即可． 【小问1详解】 解：把代入， ∴， ∴“▊”的值为． 【小问2详解】 解：由题意得，方程为， ∴， ∵， ∴， ∴，． 18. 我校为提高学生的安全意识，组织八、九年级学生开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 中位数 8 众数 9 方差 （1）根据以上信息可以求出：___________，___________，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是___________（填“八年级”或“九年级”）； （3）已知该校八年级有1000人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）9，10 （2）八年级 （3）1296人 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级B中，可以确定的值，根据所占百分比最大的数据是众数，可以确定的值；根据题意得到八年级等级C人数后补全条形图即可． （2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答． （3）用分别用八、九年级的人数乘以各自的优秀率，然后相加即可得到答案． 【小问1详解】 解：八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 八年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级B中， 故八年级中位数， 由扇形图可知：即等级A所占比例最多， 九年级众数， 由题可知：八年级等级C人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：，； 【小问2详解】 解：八、九年级平均分相同，而八年级中位数大于九年级中位数，八年级方差小于九年级方差， 八年级成绩更好，更稳定； 故答案为：八年级； 【小问3详解】 解：八年级优秀人数为人． 九年级优秀人数为人． ∴两个年级优秀学生总人数为人． 19. 如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． （1）求证：与相切； （2）若，，试求的长． 【答案】（1） 证明： 如图，作  于点 ， ， 平分  交  于点 ，  于点 ， ，  是  的半径，，  点  在  上，  是  的半径，且 ，  与  相切． （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形的综合，角平分线性质，圆的切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程解决实际问题等知识点，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）作  于点，根据角平分线性质得 ，得点 在  上，即得  与  相切； （2）根据勾股定理求得，表示出，根据切线性质定理表示出所需要的边，根据勾股定理列出关于 的方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，，， ， ， ，  是  的半径，且 ，  是  的切线， ， ， ， ， ， ， ，  的长为 3． 20. 小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负． （1）若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为 ； （2）求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式、列表法或树状图法求概率； （1）若小亮出“A”牌获胜，则小明需要亮出“B”牌，根据概率公式可得答案； （2）画出相应的树状图，由树状图可得：一共有16种等可能的情况，其中各出一次牌能分出胜负的有8种情况，然后根据概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：若小亮出“A”牌获胜，则小明需要亮出“B”牌， ∵小明亮出的牌有4种等可能性， ∴小明亮出“B”牌的概率为，即小亮获胜的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得：一共有16种等可能的情况，其中各出一次牌能分出胜负的有8种情况，分别为 、、、、，、、， 故小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率为． 21. 已知，如图，在中，，用直尺和圆规在线段上找一点M，使得；（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解，如图即为所作． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定，尺规作图，正确进行转化是解题的关键． 由勾股定理得，而，故，根据线段垂直平分线的判定可得点M为线段垂直平分线与交点． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限画出，使它与位似，且相似比为，并写出点A的对应点的坐标． （2）在（1）的条件下，若点在边上，则点P位似后的对应点的坐标为_____． 【答案】（1） 根据图形可得； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． （2）根据位似图形的性质，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意的点P位似后的对应点的坐标为， 故答案为：． 23. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，AP＝cm或20cm 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可； （2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，AP：AB＝AQ：AC， ∵AP＝4x，AQ＝30－3x， ∴， 解得：x＝； 【小问2详解】 解：∵BA＝BC ∴， ①当△APQ∽△CQB时，有， 即：， 解得：， ∴（cm）， ②当△APQ∽△CBQ时，有， 即：， 解得：x＝5或x＝－10（舍去）， ∴PA＝4x＝20（cm）， 综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24. 某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元 （2）29元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的2倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． 【小问1详解】 解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． 【小问2详解】 解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要促进书籍的销量， ∴， 答：每本书籍的售价为29元． 25. 如图是某款篮球架抽象后的示意图．已知于点，底座的长为米，斜拉支架米，臂展支架米，篮板高米，点在支架上，篮板底部支架，于点，支架与所成的角． （1）求竖直支架的长度； （2）求篮板底部点到地面的距离（结果保留位小数）．（参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练根据题意作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）延长交于点，过点作，垂足为，先在中利用三角函数求出，即可求出，证明四边形为矩形，得出，利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：， 是直角三角形， 由勾股定理得（米）； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，过点作，垂足为， 在中，米，， （米）， （米）， ∵，， ∴， ，，， 四边形为矩形， ， （米）， 即篮板底部点到地面BC的距离约为米． 26. 如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为5米，宽为10米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在抛物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”的长度之和的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质，读懂题意，找到关键点坐标，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． （1）根据题意，知道抛物线的顶点坐标是，设抛物线的表达式为，由抛物线的图象过，由待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）设，则，，，得到三根“光带”的长度之和为，由二次函数图象与性质求出最值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 设抛物线的表达式为， 抛物线的图象过， ，解得， 该抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的函数表达式， 抛物线的对称轴为， 设，则，，， 三根“光带”的长度之和为 ， ， 三根“光带”的长度之和有最大值为米． 27. 下面是两位同学设计的“尺规作矩形”的作图过程： 题目：如图①，已知线段，.求作：矩形.（要求：尺规作图） 甲同学作法如图②：①过点A作的垂线；②过点C作的垂线，交于点D； 乙同学作法如图③：①作线段的垂直平分线交于点O；②连接并延长，在延长线上截取；③连接，. （1）依据甲同学的作法，得到矩形的依据是：______； （2）请依据乙同学的作法，说明四边形是矩形； （3）若，，点P是上一动点，从C向D运动，速度为；点Q是上一动点，从C向B运动，速度为；两动点同时出发，直接写出当，满足什么关系时，与相似. 【答案】（1）有三个角为直角的四边形为矩形 （2） 解：作线段的垂直平分线交于点， ，连接并延长，在延长线上截取， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、相似三角形的判定、线段垂直平分线的性质等： （1）根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （3）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 有三个角是直角的四边形是矩形； 故答案为：有三个角是直角的四边形是矩形 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当或时，和相似，理由如下： 设运动时间为， ∵两动点同时出发， ∴， 如图，当时，， ∵，， ∴， ∴，即， 如图，当时，， ∴， ∴， 综上所述，当或时，和相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $