8.5.4 空间几何体的截面问题 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5.4空间几何体的截面问题 教学目标 1、能够利用四个基本事实，三个推论画出空间几何体的截面； 教学重难点 1、教学重点：基本事实和推理的应用； 2、教学难点：利用基本事实和推理画截面。 2、了解几种画截面的方式方法. 知识回顾 1、线线平行的判定方法 三角形中位线；平行四边形对边；分线段成比例（相似）；同位角、内错角相等，同旁内角互补；平行于同一条直线的两直线平行；棱柱侧棱；向量共线；线面平行的性质；面面平行的性质； 2、线面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 3、线面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行 4、面面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 5、面面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 2025/4/7 截 面 定 义 　　用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面， 与几何体表面的交集（交线） 叫做截线， 与几何体棱的交集（交点） 叫做截点. 如图：截面 BNB1M 如图：截线 BM 如图：截点 B，M 2025/4/7 　1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BB1的中点, 画出过A1,C1,P三点的截面. 解：因为此三点在几何体的棱上， 且两两在一个平面内， 直接连接A1P，A1C1，C1P 就得到截面A1C1P. 2025/4/7 通性通法 　　若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借 助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线 在这个平面内”，直接连线作截面. 2025/4/7 2、(多选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F,G,H分别为棱A1C1,B1C1,BC,AC上的点,过E,F,G,H四点作截面， 则截面的形状可以为（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 解析:截面图如图所示, 因为ABC-A1B1C1为直三棱柱， 则平面A1B1C1∥平面ABC， 截面过平面A1B1C1、平面ABC， 则交线EF∥HG， 当FG不与B1B平行时， 此时截得的EH不平行于FG， 四边形EFGH为梯形； 当FG∥B1B时， 此时截得的EH∥FG， FG⊥EF， 当EH≠EF时， 四边形EFGH为矩形； 当EH＝EF时， 四边形EFGH为正方形. 故A、C、D正确. 2025/4/7 3、在长方体ABCD-A'B'C'D'中，点P是棱BB'的中点， 画出过点A'，D'，P三点的截面. 解：连接 A'P，D'P 因为平面 ADD'A'∥平面BCC'B'， 所以只要过P作A'D'的平行线即可. 取CC'的中点Q， 连接PQ， 则A'D'∥PQ. 连接D'Q 即得截面A'PQD'. Q 2025/4/7 通性通法 　　若截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行,可以借助于两个性质： ①如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行； ②如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行,利用平行线法作截面. 2025/4/7 4、 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,CC1的 中点，则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为（　　 ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 E F 2025/4/7 5、 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为 时，线段AP的长为（　　） A. B. 1 C. D. 解析:如图,连接BD,A1D, 过点P作BD,A1D的平行线, 分别交棱AB,AA1于点Q,R, 连接QR. 因为BD∥B1D1, 所以PQ∥B1D1, 因为B1D1⊂平面B1D1C, PQ⊄平面B1D1C, 所以PQ∥平面B1D1C. 因为A1D∥B1C, 所以PR∥B1C. 因为B1C⊂平面B1D1C, PR⊄平面B1D1C, 所以PR∥平面B1D1C. 又PQ∩PR＝P, PQ,PR⊂平面PQR， 所以平面PQR∥平面B1D1C, 则平面PQR为截面,易知 △PQR是等边三角形, 则 PQ2· ＝ ， 解得PQ＝2， 所以AP＝ PQ＝ . 故选D. P Q R 2025/4/7 6、 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,M是A1B1的中点,点N在棱CC1上,且CN＝2NC1.作出过点D,M,N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面,写出作法. 解：如图所示， 连接DN并延长交D1C1的延长线于点E， 连接ME交B1C1于点F， 交D1A1的延长线于点H， 连接DH交AA1于点Q， 连接QM，FN， 所以五边形DQMFN即为所求截面. E F H Q 2025/4/7 通性通法 　　若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助 于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线 在这个平面内”，利用延长线法作截面. 2025/4/7 7、已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA中点，过C，D，M的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面为α.若α与棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置. 解：延长DC交AB的延长线于E， 连接ME交PB于F，连接FC， 如图，四边形MFCD为截面α. 在△ADE中， BC∥AD，由 ＝ ， 则C为DE中点，B为AE中点， 过M作MN∥AB交PB于N， 则MN＝ AB＝1， ∴△MNF∽△EBF， ∴ ＝ ＝ ， ∴BF＝2NF， 即BF＝ BP， ∴F为棱PB上 靠近点B位置 的三等分点. E F N 2025/4/7 小结 截面的概念 01 利用相关性质做几何体的截面 02 2025/4/7 作业 练习册P263，1-10必做 感谢积极思考协作的你 2025/4/7 $$