拓视野 探究空间几何体上两点间最短路径问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦空间几何体表面两点间最短路径问题，通过圆柱、圆锥、长方体等实例导入，衔接几何体展开图知识，构建“化折为直”“化曲为直”的思维支架，帮助学生掌握空间问题转化为平面问题的方法。 其亮点在于结合蚂蚁爬行、圆锥展开圆心角计算等实例，通过推理分析和模型构建，培养学生的空间观念与几何直观。采用问题驱动与分层练习（A级基础、B级综合、C级拓展），学生能提升转化能力，教师可直接用于课堂教学与分层辅导。

拓 视 野　探究空间几何体上两点间最短路径问题 计算空间几何体上两点间路径最短问题时，一般转化为平面几何方法 求解，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直” 来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状. 一、旋转体表面上两点间的最短路径问题 【例1】　（1）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧 的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（　B　） A. 2 B. 2 B C. 3 D. 2 数学·必修第二册 解析：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得AC＝2，BC＝ ×16＝4，所以AB＝ ＝2 .所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为2 .故选B. 数学·必修第二册 （2）如图，圆锥的母线AB长为2，底面圆的半径为r，若一只蚂蚁从 圆锥的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则其爬行的最短 路线长为 ，则圆锥的底面圆的半径为（　A　） A. 1 B. 2 C. 3 D. A 数学·必修第二册 解析：如图为半圆锥的侧面展开图，连接 BD1，则BD1的长为蚂蚁爬行的最短路线长， 设展开图的扇形的圆心角为α，根据题意得 BD1＝ ，AD1＝1，AB＝2，在△ABD1中， AB2＋A ＝B ，所以∠D1AB＝ ，所以扇 形弧长l＝ ×2＝π，所以圆锥底面圆的周长 为2l＝2π，即2πr＝2π，得r＝1.故选A. 数学·必修第二册 二、多面体表面上两点间的最短问题 【例2】　如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小 虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路 程是 ⁠. 3 数学·必修第二册 解析：根据题意，将长方体的长、宽、高所在相邻两个面按照三种不同的方式展开，如图①②③.结合长方体的三种展开图，求得AC1的长分别是3 ， ，2 ，所以最小值是3 .故小虫爬行的最短路程是3 . 数学·必修第二册 【迁移应用】 1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝3，AB＝BC＝1，AC＝ ， E是棱BB1上的一点，则△A1CE的周长的最小值为（　　） A. ＋3 B. ＋2 C. ＋ D. ＋ 数学·必修第二册 解析：　由题意得A1C＝ ＝ ，将三棱柱的侧面BCC1B1展开至平面ABB1A1内，如图所示，当A1，E，C三点共线时，△A1CE的周长最小，此时A1E＋CE＝ ＝ ，即△A1CE的周长的最小值为 ＋ ，故选C. 数学·必修第二册 2. 现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为30 cm，底面半径为10 cm，从 底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到 A点，则所用金色彩线的最短长度为 cm. 30 数学·必修第二册 解析：如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为AA'，因为圆锥形 礼品盒，其母线长l＝30 cm，底面半径为r＝10 cm，设∠ASA'＝ α，所以 ＝2πr＝αl，即α＝ ，所以在等腰三角形ASA'中，取 AA'的中点B，则△ABS为直角三角形，且∠ASB＝60°，AS＝30 cm，所以AB＝AS· sin ∠ASB＝30× ＝15 （cm），所以AA'＝ 2AB＝30 （cm）. 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 解析：　设球的半径为R，则4πR2＝ πR3，所以R＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 2. 已知圆柱OO'的母线长l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO'的 底面半径r＝（　　） A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 解析：　圆柱OO'的侧面积为2πrl＝8πr（cm2），两底面面积之 和为2×πr2＝2πr2（cm2），所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝ －7（舍去），所以圆柱的底面半径为3 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积 为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 解析：　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由侧面 积S＝π（r＋3r）×3＝84π，解得r＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 4. 若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是（　　） A. 24π B. 24 C. 3 π D. 3 解析：　设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周 长为2πr＝6π，得r＝3，所以h＝ ＝ .由圆锥的体积公 式可得V＝ πr2h＝3 π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 5. （2024·中山月考）一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部 分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图①放置 容器时，液面以上空余部分的高为h1，如图②放置容器时，液面以 上空余部分的高为h2，则 ＝（　　） A. B. （ ）2 C. （ ）3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　在图①中，液面以上空余部分的体积为π h1；在图② 中，液面以上空余部分的体积为π h2.因为π h1＝π h2，所以 ＝（ ）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 6. （多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的 直径2R相等，下列结论正确的是（　　） A. 圆柱的侧面积为2πR2 B. 圆锥的侧面积为2πR2 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆锥的表面积最小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　∵圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等， ∴圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的侧面积S ＝πR· ＝ πR2，故B错误；圆柱的侧面积S＝ 2πR×2R＝4πR2，球的表面积S球＝4πR2，∴圆柱的侧面积与球的 表面积相等，故C正确；圆柱的表面积S圆柱＝2πR×2R＋2πR2＝ 6πR2，圆锥的表面积S圆锥＝πR· ＋πR2＝（ ＋ 1）πR2，球的表面积为S球＝4πR2，∴圆锥的表面积最小，故D正 确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 7. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ⁠. 解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝πr2＝π，S侧＝ 2πr·h＝4π，所以S表＝2S底＋S侧＝6π. 6π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 8. 已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆 锥的高为6，则此圆台的体积为 ⁠. 解析：圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则 ＝ ，解得h＝ 2，所以圆台的体积V＝ π（22＋2×3＋32）×2＝ π. π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 9. 设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高 均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若 ＝ ，则 ＝ ⁠. ​ 解析：∵棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，∴V1＝ a3，S1＝6a2.∵底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为 V2，S2，∴V2＝ r·πr2＝ ，S2＝πrl＝ πr2，∵ ＝ ， ∴ ＝ ，解得a＝r，∴ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 10. 如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB， AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周. （1）求阴影部分形成的几何体的表面积； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解：由题意知所求旋转体的表面 由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面， S半球＝ ×4π×22＝8π， S圆台侧＝π×（2＋5） × ＝35π， S圆台下底＝π×52＝25π. 故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）求阴影部分形成的几何体的体积. 解：V圆台＝ ×[π×22＋ ＋π×52]×4 ＝52π，V半球＝ π×23× ＝ π， 故所求几何体的体积为V圆台－V半球＝ 52π－ π＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 11. （2024·汕尾月考）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式， 多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的 建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截 面）是底边长为2 m，顶角为 的等腰三角形，则该圆锥的体积 约为（　　） A. 2π m3 B. 3π m3 C. 4π m3 D. 6π m3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 解析：　因为轴截面是顶角为∠APC＝ 的等腰三角形，所以 ∠PAO＝ ，在Rt△APO中，依题意，该圆形攒尖的底面圆的半 径AO＝r＝ m，高PO＝h＝rtan ＝3 m，则V＝ πr2h＝ π×3×3＝3π（m3），所以该圆锥的体积约为3π m3.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 12. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的 直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ⁠. 解析：设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝ πR2·2R＝ πR3，V球＝ πR3，故V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶ πR3∶ πR3＝3∶1∶2. 3∶1∶2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 13. 把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为 ，表面积等于 ⁠ ⁠. 20 cm 224π cm2 解析：设圆锥的母线长为l cm，如图，以S为圆心，SA为半径的 圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl，根据圆锥在 平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝ 2.5×8πl，∴l＝20（cm）.圆锥的表面积S＝ S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π（cm2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 14. 如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长 AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到 点A，求： （1）绳子的最短长度； 解：如图所示，将侧面展开，绳子的最 短长度为侧面展开图中AM的长度， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 设OB＝l，∠AOA'＝θ， 则θ·l＝2π×5，θ·（l＋20）＝2π×10， 解得θ＝ ，l＝20（cm）. ∴OA＝40（cm），OM＝30（cm）. ∴AM＝ ＝50（cm）. 即绳子的最短长度为50 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离. 解：如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交 弧BB'于点P， 则PQ即为所求的最短距离. ∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24（cm）. 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4（cm），即上 底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 15. 将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱（如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则截得棱柱的体积的最大值为 ⁠. 解析：∵长方形的一条边长为x，对角线长为2，∴另一条边长为 ，则截得的棱柱的体积V＝x ×1＝ ＝ （0＜x＜2），∴当x2＝2，即x＝ 时，Vmax ＝2，即截得棱柱体积的最大值为2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 16. 某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12 m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建 一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是 新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m （底面直径不变）. （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； 解：方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体 积V1＝ Sh＝ ×π×（ ）2×4＝ π（m3）. 方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝ Sh＝ ×π×（ ）2×8＝ π＝96π（m3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； 解：方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m， 则圆锥的母线长l1＝ ＝4 （m）， 则仓库的表面积S1＝π×8×4 ＋π×82＝（32 π＋ 64π）m2. 方案二：仓库的高变成8 m， 则圆锥的母线长l2＝ ＝10（m）， 则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π（m2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 （3）选用哪个方案建造仓库更经济些？ 解：由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种方案所建的仓库的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二建造仓库更经济些. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册 $