精品解析：云南省玉溪市峨山县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

峨山县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试卷 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出与后，结合向量共线的坐标运算即可得. 【详解】由，，则，， 由与共线，则有， 化简得，即. 故选：A. 2. 已知某比赛在这4支队伍之间进行，且队伍有一名主力队员缺席，导致队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则这2支队伍都进入前3名的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有符合题意的排名情况，再选出这2支队伍都进入前3名的所有情况，即可得出结果. 【详解】根据题意，由于队伍无缘前2名， 所以这4支队伍按排名先后的情况有： ，共12种， 其中这2支队伍排在前3位的情况有： ，共8种， 故所求概率. 故选：C 3. 下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案. 【详解】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 4. 根据复数的几何意义，复数都可以表示为，其中为的模，称为的辐角.已知，则的辐角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将复数化为，根据辐角的定义可得结果. 【详解】， ， 的辐角为. 故选：C. 5. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算新定义化简不等式得一元二次不等式，解之即得. 【详解】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 6. 下列叙述正确的是(　　) A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 钝角是第二象限角 C. 第二象限角比第一象限角大 D. 不相等的角终边一定不同 【答案】B 【解析】 【分析】利用象限角、钝角、终边相同的角的概念逐一判断即可. 【详解】∵直角不属于任何一个象限，故A 不正确； 钝角属于是第二象限角,故B正确； 由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故 C不正确； 由于20°与360°+20°不相等，但终边相同，故D不正确. 故选B 【点睛】本题考查象限角、象限界角、终边相同的角的概念，综合应用举反例、排除等手段，选出正确的答案． 7. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值1比较的大小关系，再结合幂函数单调性比较的大小关系. 【详解】因为在定义域内单调递减，则，即； 又因为在定义域内单调递增，则，即； ，且在内单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：C. 8. 在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（ ） A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果. 【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于， 与所成角的为，大于， 与所成角的余弦值为，角大于， 与所成角的正切值为，小于， 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足； 依此类推，当点在上运动时， 都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个. 故选： 【点睛】方法点睛： 利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满足要求的点. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 起点相同的单位向量，终点必相同； B. 已知向量，则四边形ABCD为平行四边形； C. 若，则； D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论. 【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误； 四边形ABCD中，，则,但是无法得出，故四边形ABCD不一定为平行四边形，B选项错误； 当时，满足，但不能得到，C选项错误； 由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确. 故选：ABC 10. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦函数的周期公式计算可得； 【详解】解: 的最小正周期为； 的最小正周期为； 的最小正周期为；因为的最小正周期为，所以的最小正周期为. 故选：BC. 11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 若， 则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A，根据中心对称即可求值，知B正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C，结合已知单调区间得出范围后判断D. 【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以， 所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误； 对于B，因为，所以的图像关于点对称， 所以，故B正确； 对于C，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，因为，所以， 又，所以，所以， 即满足条件的有且仅有1个，故C正确； 对于D，由题意可知为单调递减区间的子集， 所以，其中，解得，， 当时，，当时，， 故的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件等式，利用基本不等式求的最小值. 【详解】正实数满足，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知为锐角，且，．求的值__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式可求得的值，利用两角差的正切公式可求得的值，进而利用同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】因为，的为锐角，且， 所以，可得， 所以， 可得，又，解得（负值已舍去）． 故答案为：． 14. 已知函数，若函数在区间上恰有4052个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为_________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，根据二次函数零点可得：原题意等价于在区间上恰有4052个零点，结合正弦函数分析求解. 【详解】由题意， 令，，可得，， 记的两零点为、， 则，不妨设， 且，则，，， 可知（舍去），， 原题意等价于在区间上恰有4052个零点， 可知在和（k为正整数）内不同根的个数均为2k， 所以或； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法化把函数在内的零点转化为在内的零点问题，进而求解的可能取值. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若正数x，y满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用基本不等式即可直接求解； （2）利用乘1法，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由结合基本不等式可得： ， 又x，y为正数，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由可得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 16. （1）已知函数，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】(1)利用换元法即可求出结果； (2)利用“待定系数”，先根据已知条件，设出含待定系数的解析式，再根据题意求出系数即可. 【详解】（1）设，可得， 则， 故． （2）因为，可设， 则，解得，因此，． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）若函数在存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：对于函数 ， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称轴的方程为. 【小问2详解】 解：因为函数在存在零点， 即方程在上有解， 当时，可得，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 18. 某电商为了解第一季度用户的网购次数，统计发现在第一季度内网购次数在间的有2千万用户，在这2千万户中随机抽取2000户统计分析他们的网购次数，将数据整理后，分为6组，画出频率分布直方图（如图所示），由于人员失误，导致第一组和第二组的数据丢失，只知道第二组频率是第一组的2倍. （1）试估计在抽取的2000户中第一季度网购次数不超过100次的户数； （2）估计这2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数（结果精确到小数点后1位）； （3）该电商已经用分层抽样的方法在和这两组用户中共选择了9户.现从这9户中随机抽取6户，求在这抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数. 【答案】（1）80； （2）平均数和中位数分别为121.8次和121.3次； （3）64. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1，求出，再求出指定范围的频数. （2）利用频率分布直方图估计平均数和中位数. （3）利用分层抽样求出第一、二组中抽取的户数，再利用组合计数问题列式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 由第二组频率是第一组的2倍，得，解得， 因此第一季度网购次数不超过100次的频率为，户数为. 【小问2详解】 由（1）知，从第一组到第六组的频率依次是， 样本平均数， 第一组到第三组的频率和为，第一组到第四组的频率和为， 因此样本数据的中位数，则，解得， 由此估计2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数分别为121.8次和121.3次. 【小问3详解】 抽取的9户中，在的户数为，在的户数为6， 从9户中随机抽取6户，有种抽法，其中在的户数为3的抽法数为， 所以抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数为. 19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） ∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面. （2） ∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，， ∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 峨山县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试卷 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某比赛在这4支队伍之间进行，且队伍有一名主力队员缺席，导致队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则这2支队伍都进入前3名的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ①② 4. 根据复数的几何意义，复数都可以表示为，其中为的模，称为的辐角.已知，则的辐角为（ ） A. B. C. D. 5. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 下列叙述正确的是(　　) A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 钝角是第二象限角 C. 第二象限角比第一象限角大 D. 不相等的角终边一定不同 7. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（ ） A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 起点相同的单位向量，终点必相同； B. 已知向量，则四边形ABCD为平行四边形； C. 若，则； D. 若，则 10. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 若， 则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则的取值范围是 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 13. 已知为锐角，且，．求的值__________． 14. 已知函数，若函数在区间上恰有4052个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为_________． 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若正数x，y满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 16. （1）已知函数，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）若函数在存在零点，求实数的取值范围. 18. 某电商为了解第一季度用户的网购次数，统计发现在第一季度内网购次数在间的有2千万用户，在这2千万户中随机抽取2000户统计分析他们的网购次数，将数据整理后，分为6组，画出频率分布直方图（如图所示），由于人员失误，导致第一组和第二组的数据丢失，只知道第二组频率是第一组的2倍. （1）试估计在抽取的2000户中第一季度网购次数不超过100次的户数； （2）估计这2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数（结果精确到小数点后1位）； （3）该电商已经用分层抽样的方法在和这两组用户中共选择了9户.现从这9户中随机抽取6户，求在这抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数. 19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $