精品解析：河南省周口市商水县大武乡二中等校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次质量测评卷 九年级数学 （满分∶120分 考试时间∶100分钟） 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是二次根式的形式，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握一般地，形如 （其中 是常数， ）叫做二次函数是解题的关键． 2. 抛物线，，的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答． 【详解】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1）， ∵||＜|1|＜|-3|， ∴抛物线开口最大． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大． 3. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴b＜0， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴与b＜0矛盾，B错误； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴与b＜0矛盾，C错误； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴a＜0，b＜0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想． 4. 如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，求出，，再利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：连接交于，如图所示： ∵正方形的边长为1， ∴，，，，B、C两点关于对称， ∴， ∴，， ∵ A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，B、C两点关于对称， ∴为抛物线顶点， ∴设抛物线表达式为， 把代入可得， 解得， ∴抛物线表达式为， 故选：B． 5. 已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象与轴的交点坐标是 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 当取1和3时，所得到的的值相同 D. 将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象 【答案】C 【解析】 【分析】把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D． 【详解】∵二次函数的图象与轴的交点坐标是， ∴A选项错误； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线， ∴当时，的值随值的增大而增大， ∴B选项错误； ∵当取和时，所得到的的值都是11， ∴C选项正确； ∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象， ∴D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键． 6. 已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量且a≠0），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最小值为9，则a的值为（　　） A. 1或﹣2 B. ﹣2 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＜0，然后由-2≤x≤1时，y的最小值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线 ∵当x≥2时，y随x的增大而减小， ∴a＜0， ∵-2≤x≤1时，y的最小值为9， ∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a-6=0， ∴a2+a-2=0， ∴a=1或a=-2 ∵a＜0， ∴a=-2 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是熟练掌握二次函数的对称轴，函数增减性和最值． 7. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 8. 如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤ 【详解】解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则 ∴ 故①正确； ∵二次函数的图象经过点， 则当时， 对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， 时， 即 故②不正确 对称轴为直线， ∴，即 故③正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点，则 即 故④错误； 对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， ，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上， 故⑤正确 故正确的是①③⑤ 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键． 9. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的增减性，最值计算，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意，得，根据抛物线的增减性，分类解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大，右侧，y随x的增大而减小， 当时，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， 故时,n取最大值，且， 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，得； 当时，对称轴直线在其范围内， 故n的最大值为6； 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，， 故； 综上所述， 故选：D． 10. 如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出当点落在AB上时，t的值，分或两种情形，分别求出S的解析式，可得结论． 【详解】解：如图1中，当点落在AB上时，取CN的中点T，连接MT． ，，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， 四边形CMPN是平行四边形， ， ， ， 如图2中，当时，过点M作于K，则， ． 如图3中，当时，， 观察图象可知，选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为____． 【答案】y＝x2+2x＋3 【解析】 【分析】把y＝x2﹣2x＋3配方得，把顶点向左平移2个单位长度即可得所求抛物线的解析式． 【详解】把y＝x2﹣2x＋3配方得，其顶点坐标为(1,2)，抛物线的顶点向左平移2个单位长度后为(-1,2)，所以所得抛物线的解析式为，即y＝x2+2x＋3 故答案为：y＝x2+2x＋3． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，抛物线的一般式化顶点式，关键抓住抛物线的顶点平移． 12. 若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，则抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意两个交点间的距离为2，对称轴为直线，可确定抛物线与x轴的两个交点，然后代入解析式求解即可得． 【详解】解：∵两个交点间的距离为2，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴两个交点的坐标为：，， 将两个点代入抛物线解析式可得：， 解得：， ∴解析式为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，得出抛物线与x轴的两个交点是解题关键． 13. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大． 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元， 则 ， 所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大， 故答案为11． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． 14. 如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（2023，m）为抛物线C1012的顶点，从而得到结果． 【详解】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）， ∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2）， ∴顶点坐标为（1，1）， ∴A1坐标为（2，0） ∵C2由C1旋转得到， ∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）； 照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）； C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）； C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）； … C1012顶点坐标为（2023，﹣1），A1012（2024，0）； ∴m=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 15. 如图1，已知等边△ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2所示，则△EFG的最小面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由图像可得，，根据等边三角形的性质可以求证，由得到，，作，，求得和的面积，得到与的关系式，求解即可． 【详解】解：由函数图像可得， ∵为等边三角形 ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，则，， 作，，如下图： 在中，，，∴，， ∴， 同理可得， ，开口向上 当时，有最小值，为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解． 三、解答题(共75分) 16. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，且与点P同时出发．设的面积为S，动点移动的时间为t． （1）当时，则S的值为　 　； （2）求S关于t的函数解析式； （3）t为何值时，S的值最大？ 【答案】（1）8 （2） （3）当时，S的值最大 【解析】 【分析】（1）先求出，，的长，由三角形面积公式可求解； （2）由题意知，，根据可得答案； （3）把（1）中求得的解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得． 【小问1详解】 解：当时，则，， ∴， ∴（平方毫米）， 【小问2详解】 ∵动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴，则有最大值， ∴当时，S的值最大． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，二次函数的应用，根据题意得出，是结合三角形面积公式列出函数解析式的关键． 17. 如图，用一段长36米的篱笆，围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【答案】（1）S=-2x2+36x（0＜x＜18）； （2）当x=9米时，S有最大值，最大值为162平方米． 【解析】 【分析】（1）设AB边的长为x米，则BC=36-2x，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：∵AB边的长为x米， ∴BC边的长为（36-2x）米， 由题意，得S=AB•BC=x（36-2x）=-2x2+36x， x>0，36-2x>0， 即0＜x＜18， ∴S与x之间的函数关系式为S=-2x2+36x（0＜x＜18）； 【小问2详解】 解：S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162， ∵a=-2＜0， ∴当x=9米时，S有最大值，最大值为162平方米． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 18. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的图像与x轴有两个交点，得到△＞0于是得到m的取值范围； （2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m的值，于是得到二次函数的解析式，再求出直线AB的解析式和对称轴方程x=1联立成方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴△=， ∴m＞﹣1； 故答案为：m＞﹣1； （2）∵二次函数的图像过点A（3，0）， ∴， ∴m=3， ∴二次函数的解析式为：， 令x=0，则y=3，∴B（0，3）， 设直线AB的解析式为：，∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为：x=1， ∴，解得：， ∴P（1，2）． 19. 世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元 （3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨元，每天销售量减少本，所以，然后利用销售单价不低于44元且不高于52元确定的范围； （2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，然后解方程后利用的范围确定销售单价； （3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时最大，从而计算出时对应的的值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元． 20. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【解析】 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 21. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式与直线的解析式； （2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，．（3）的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD=•（xD-xA）•PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可． （3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题． 【详解】解：（1）抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的解析式为， 解得，，或， 在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， 直线经过、， 设直线的解析式为， 则， 解得，， 直线的解析式为； （2）如图1中，过点作轴交于点．设，则． ， 的值最大值时，的面积最大， ， ， 时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，． （3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则， 设交轴于点，则， ， 直线的解析式为， ， 作点关于的对称点， 则直线的解析式为， 设交轴于点，则， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题． 22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）70米 【解析】 【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可． 【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'， ∵函数图象过点（0，30）和（1，35）， 则， 解得， ∴y1与x之间的函数关系式为． （2）∵时，， ∵的图象是过原点的抛物线， ∴设， ∴点，在抛物线上． ∴，即， 解得， ∴． 答：与的函数关系式为． （3）设小钢球和无人机的高度差为米， 由得或. ①时， ， ∵，∴抛物线开口向下， 又∵， ∴当时，的最大值为； ②时， ， ∵，∴拋物线开口向上， 又∵对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值为70． ∵， ∴高度差的最大值为70米． 答：高度差的最大值为70米． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差． 23. 如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F． （1）求抛物线解析式； （2）求证：； （3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， 设直线AD的解析式为y=kx+a， 将A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得 ∴直线AD的解析式为y=-x+3， ∴E（1，2），G（1，0）， ∵∠EGO=90°， ∴ ∵OA=3，OB=，∠A0B=90°， ∴ ∴ ∴∠OAB=∠OEG， ∵∠OEG+∠EOG=90°， ∴∠OAB+∠EOG=90°， ∴∠AFO=90°， ∴OE⊥AB； （3）存在，点P 的横坐标为或±． 【解析】 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后再利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线AD的解析式为y=-x+3，进而得到点E的坐标为（1，2），运用三角函数定义可得即∠OAB=∠OEG=90°即可证得结论； （3）先求出直线CD解析式为y=3x+3，再根据以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似，分两种情况：①当△AOM ∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，从而得出OM//CD，进而得出直线OM的解析式为y=3x，再结合抛物线的解析式即可确定点P的横坐标；②当△AMO∽△ACD时，利用，求出AM，进而求得点M的坐标，求得直线AM的解析式，进而完成解答． 【详解】解：（1）∵直线分别交轴、轴于点A，B ∴A（3,0），B（0，）， ∵抛物线经过A（3，0），D（0，3）， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为； （2）略 （3）存在. ∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴C（-1，0）， ∴AC=3-（-1）=4， ∵OA=OD=3，∠AOD=90°， ∴， 设直线CD解析式为y=mx+n，则： ，解得 ∴直线CD解析式为y=3x+3， ①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示， ∴OM//CD， ∴直线OM的解析式为y=3x， ∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3， ∴3x=-x2+2x+3，解得：； ②当△AMO∽△ACD时，如图3所示， ∴ ∴， 过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°， ∵∠OAD=45°， ∴ ∴OG=OA-AG=3-2=1， ∴M（1，2）， 设直线OM解析式为y=m1x，将M（1，2）代入，得：m1=2， ∴直线OM解析式为y=2x， ∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 ∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±． 综上，点P的横坐标为或±． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象和性质、待定系数法求函数解析式、三角函数定义、相似三角形的判定和性质等知识点，考查知识点较多、综合性较强、难度较大，灵活运用待定系数法、相似三角形的判定和性质以及数形结合思想成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次质量测评卷 九年级数学 （满分∶120分 考试时间∶100分钟） 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线，，的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象与轴的交点坐标是 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 当取1和3时，所得到的的值相同 D. 将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象 6. 已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量且a≠0），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最小值为9，则a的值为（　　） A. 1或﹣2 B. ﹣2 C. 或 D. 7. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 9. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为____． 12. 若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，则抛物线的解析式为______． 13. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大． 14. 如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝_____． 15. 如图1，已知等边△ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2所示，则△EFG的最小面积为_________． 三、解答题(共75分) 16. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，且与点P同时出发．设的面积为S，动点移动的时间为t． （1）当时，则S的值为　 　； （2）求S关于t的函数解析式； （3）t为何值时，S的值最大？ 17. 如图，用一段长36米的篱笆，围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，有最大值？并求出最大值． 18. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 19. 世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 21. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式与直线的解析式； （2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 23. 如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F． （1）求抛物线解析式； （2）求证：； （3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $