第26章　反比例函数——反比例函数与三垂直 同步练习　2024-2025学年人教版九年级数学下册

反比例函数与三垂直 一、 知识梳理 如图9-1和图9-2所示, 点 B, C, E在同一直线上, AC=CD, AC⊥CD, ∠B=∠E=90°, 则有△ABC≌△CED, 像这样的图形被称为“三垂直”全等模型. 模型构造三步走： ①作一个等腰直角即AC=CD, AC⊥CD; ②作一条过直角顶点的直线l，即过点 C作直线BE； ③过直角的两个锐角顶点向直线l作垂线，即过点 A，D作 于点B, DE⊥BE于点E. 【例1】如图9-3所示，正方形ACBE的边长是 点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上,BO=2,ED⊥x轴于点 D,ED 的中点 F 在反比例函数 的图象上， 则k= . 解： ∵正方形ACBE 的边长是 ∵∠CBE=90°, ∴∠OBC+∠EBD=90°. ∵∠OBC+∠OCB=90°, ∴∠OCB=∠EBD. 在△OBC和△DEB中, ∴△OBC≌△DEB (AAS) . ∴BD=OC=1, DE=OB=2. ∴OD=3. ∴点 E的坐标为 (3, 2) . ∵点F是ED的中点， ∴点 F的坐标为 (3, 1) . ∵点 F 在反比例函数 的图象上， ∴k=3×1=3. 【例2】如图9-4所示，点A，B分别在反比例函数 与 (x>0) 的图象上, 且 则k= . 解: 过点 A 作AC⊥y轴于点C, 过点 B 作BD⊥y轴于点 D, 如图9-5所示. ∵AC⊥y轴, BD⊥y轴, OA⊥OB, ∵∠OAC+∠AOC=90°, ∴∠AOC=∠OBD. ∴△AOC∽△OBD. ∵反比例函数 在第四象限有图象， ∴k<0. 解得k=-8. 二、分层练习 1.如图9-6所示，点B 为反比例函数 图象上的一点，点A 为x轴负半轴上的一点，连接AB，将线段AB绕点A 逆时针旋转 点 B 的对应点为点C.若点 C恰好也在反比例函数 的图象上，点B，C的纵坐标分别为4和1，则k= . 2. 如图9-7所示, ∠AOB=90°, 且OA, OB分别与反比例函数 和 的图象相交于点 A，B，则 的值为( ). 3. 如图9-8所示, 在Rt△AOB中, ∠AOB=90°, 顶点 A, B分别在反比例函数 与 的图象上，则 的值为 4.如图9-9所示，已知点 A 是反比例函数 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长，交另一分支于点 B， 以AB为边作等边 点C在第四象限，且点C的位置随着点A 的运动在不断变化，但点C始终在反比例函数 的图象上运动，则k 的值为 . 5. 如图9-10 所示, 在等腰Rt△ABC中, 且点B 的坐标为 (1,0),点C 的坐标为 (0,2),反比例函数 的图象经过点A, 则k= . 6.如图9-11所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (-1，0)，点B的坐标为 (0,2),将△ABO沿直线AB 翻折后得到△ABC.若反比例函数 (x<0) 的图象经过点C, 则k= . 7.如图9—12所示，反比例函数 的图象经过正方形ABCD 的顶点 C，D.若正方形的边长为4，则k的值为 . 8. 如图9--13所示, 在矩形OACB中, 点A 的坐标为 (3, a), 点 B 的坐标为(b，2)，点C在y轴的正半轴上.若反比例函数 的图象经过点A, 则m的值为 . 9.如图9-14所示，线段AB交x轴于点C，且点C为AB 的中点，点B在反比例函数 的图象上，点A 在反比例函数 的图象上, 连接OA, OB. 若△AOB的面积为3, 则k= . 1. 解: 如图14所示, 过点C作CE⊥x轴于点E, 过点B作BF⊥x轴于点F. ∵CE⊥x轴, BF⊥x轴, ∴∠AEC=∠BFA=90°. ∴∠BAF+∠ABF=90°. ∵由旋转的性质可知, AB=AC, ∠BAC=90°, ∴∠CAE+∠BAF=90°. ∴∠ABF=∠CAE. ∴△ABF≌△CAE (AAS) . ∴AF=CE, BF=AE. ∵点 B，C的纵坐标分别为4 和1， ∴CE=1, BF=4. ∴AF=1, AE=4. 设点 B的坐标为 (x, 4), 则点C的坐标为 (x-5, 1) . ∵点 B，C在反比例函数 的图象上， ∴4x=x-5,解得 ∴点 B 的坐标为 2. 解: 如图15 所示, 过点A, B分别作AM⊥x轴于点 M, BN⊥x轴于点 N. ∵点 A 在反比例函数 的图象上， ∵点 B 在反比例函数 的图象上， ∵∠AOB=90°, ∴△BON∽△OAM. 即 ∵在 Rt△AOB中, 设OB=2m, 则 故选 B. 3.解: 如图16所示, 过点 A作AC⊥x轴于点C, 过点B作BD⊥x轴于点D, 则∠BDO=∠ACO=90°. ∵顶点 A，B分别在反比例函数 与 的图象上， ∵∠AOB=90°, ∴△BDO∽△OCA. 即 4. 解: 连接OC, 如图17所示, 过点A作AE⊥y轴于点E, 过点C作( 轴于点 F. ∵反比例函数 关于原点对称， ∴点 A 与点 B 关于原点对称. ∴OA=OB. 又∵△ABC是等边三角形， ∴OC⊥AB, ∠BAC=60°. 即 ∵AE⊥y轴, CF⊥y轴, OC⊥AB, ∴∠AEO=∠OFC, ∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF. ∴△AEO∽△OFC. 设点 A 的坐标为 (a, b) . ∵点 A位于第一象限， ∴AE=a, OE=b. ∵点 A在反比例函数 的图象上， ∴ab=1. 设点C的坐标为(x, y) . ∵点C位于第四象限， ∴FC=x, OF=-y. ∴FC·OF=x· (-y) =-xy=3. ∴xy=-3. ∵点 C在反比例函数 的图象上， ∴k= xy=-3. 5. 解: 过点 A 作AH⊥x轴于点 H, 过点 C 作( 于点G， 如图18所示， 则有∠AHB=∠CGA=90°. ∵∠AHB=90°, ∴∠ABH+∠BAH=90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAH+∠CAG=90°. 又∵AB=AC, ∴△ABH≌△CAG (AAS) . ∴AH=CG, BH=AG. 设BH=m. ∵点 B 的坐标为 (1, 0), 点C的坐标为 (0, 2), ∴OB=1, OC=2. ∴CG=OB+BH=1+m. ∵GH=OC, 即1+m+m=2, 解得 ∴点A的坐标为 ∵点 A 在反比例函数 的图象上， 6.解:如图19 所示,过点C作CD⊥x轴于点D,过点 B 作 轴且与DC 的延长线相交于点 E. 由折叠可知, AO=AC=1, BO=BC=2. ∵∠E=∠CDA=∠ACB=90°, ∴∠ECB+∠EBC=90°, ∠ECB+∠ACD=90°. ∴∠EBC=∠ACD. ∴△ACD∽△CBE. 设CD=m, 则BE=2m, CE=2-m, AD=2m-1. ∵在 Rt△ACD中, 由勾股定理得( 即 1², 解得 (舍去), ∴点 C 的坐标为 ∵点 C 在反比例函数 的图象上， 7. 解: 如图20所示, 作CE⊥x轴于点E, DF⊥y轴于点F, 设点 A 的坐标为 (0, m), 点 B 的坐标为 (n, 0) . ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=BA, ∠ABC=90°. ∴∠ABO+∠CBE=90°. ∵∠ABO+∠OAB=90°, ∴∠CBE=∠OAB. ∵∠AOB=∠BEC, ∴△AOB≌△BEC (AAS) . ∴OA=BE=m, OB=CE=n. ∴点 C的坐标为 (m+n, n) . ∵同理可证, △AOB≌△DFA (AAS) . ∴OA=DF=m, OB=AF=n. ∴点 D 的坐标为 (m, m+n) . ∵反比例函数 经过正方形ABCD的顶点C，D， ∴ (m+n) n=m (m+n), 即m=n. 即 解得 ∴点 C的坐标为 8.解:如图21所示,过点A作AE⊥y轴于点E,过点 B作 轴于点F. ∵AE⊥y轴, BF⊥y轴, ∴∠AEC=∠BFO=90°. ∵四边形OACB为矩形， ∴AC=BO, AC∥OB. ∴∠ACE=∠BOF. ∴△ACE≌△BOF (AAS) . ∴CE=OF, AE=BF. ∴点 A 的坐标为 (3, a), 点 B的坐标为 (b, 2) . ∴CE=OF=2, AE=BF=3, OC=a+2. a²,.. ,解得 ∴点 A 的坐标为 ∵反比例函数 的图象经过点 A， 会当凌绝顶，一览众山小 9. 解: 如图22所示, 作 BD⊥x轴于点D, AE⊥x轴于点E. ∵点 B 在反比例函数 的图象上，点A 在反比例函数 的图象上， ∵点 C为AB 的中点, ∴BC=AC. 在△BCD和△ACE中, ∴△BCD≌△ACE (AAS) . ∴S△BDC=S△ACE. ∴S△BOD+S△AOE=S△AOB =3, 即 解得|k|=5. ∵k<0, ∴k=-5 学科网（北京）股份有限公司 $$