精品解析：2025年广东省清远市连州市中考数学一模试卷

2025年广东省清远市连州市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数定义，理解相反数的定义是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C ． 2. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键． 根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的法则判断即可 【详解】A、不是同类项不能合并，故错误 B、，故正确 C、，故错误 D、，故错误 故选：B 【点睛】本题考查合并同类型、同底数幂的乘法、除法法则、幂的乘方，熟练掌握法则是关键 4. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率；根据概率公式可直接求解． 【详解】解：∵现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山， ∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”的概率为． 故选：A． 5. 如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面观察几何体所得到的图形，据此求解即可． 【详解】解：从上面观察题图，可以得到一个正方形和一个圆，且正方形的中心与圆心重合，正方形的边长大于圆的直径． 故选B． 6. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角度、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质结合等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 由于二次函数的图像的开口向上，对称轴为直线，然后根据点和点离对称轴的远近可判断与的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的图像的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图像的开口向上， ， ∴点离对称轴的距离比点要远， ， 故选：A． 8. 如图，四边形内接于，点C是的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理的应用，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，于是． 【详解】解：∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据折叠的性质列式，解之可得答案． 本题考查了长方形，折叠．解决问题的关键是熟练掌握长方形的性质，折叠的性质，设未知数数构建方程． 【详解】设，则, 由折叠知，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 12. 据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到13420000人，13420000这个数用科学记数法表示为____ ． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．据此即可求解． 【详解】解：13420000＝1.342×107． 故答案为：1.342×107． 13. 某个函数具有性质：当时，y随x的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式：____ ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了函数的性质，掌握所学的反比例函数、一次函数或二次函数的性质是解题的关键；根据函数的性质写出一个反比例函数、一次函数或二次函数即可． 【详解】解：根据题意有：． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 不等式组的解集为_____ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 由得：， 由得： ， 解得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 15. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫C可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为___ ．（结果精确到1cm，参考数据：） 【答案】##86厘米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出适当的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键；作于H，作地面于P，利用三角函数求出即可． 【详解】解：如图，作于H，作地面于P， 由题知，， ∴， ∴坐垫C离地面高度约为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先根据算术平方根的定义，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义，特殊锐角三角函数值将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则，性质及公式是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【小问1详解】 解：如下直线l即为所求． 【小问2详解】 连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 【答案】每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为，根据数量、总金额与单价的关系，找到等量关系，列分式方程求解，并检验作答． 【详解】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为元． 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合实际， ∴． 答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图①是A， B两款新能源汽车在2023 年 6月到12月期间月销量（单位： 辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是_______． ①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势； ②2023年6月到12月，A 款汽车的月平均销量高于 B 款汽车： ③2023年6月到12月，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车： ④2023年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定． （2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出 B 款汽车的平均得分． （3）由图①可以看出，2023年6月~12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A 款汽车的厂家提出一条改进建议． 【答案】（1）①③④ （2）分 （3）生产A 款汽车的厂家要提高舒适程度和售后服务． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和折线统计图，从图中获取正确信息是解题的关键． （1）由折线统计图逐项分析即可； （2）求加权平均数即可； （3）根据A 款汽车和B款汽车各项得分情况对比提出建议即可． 【小问1详解】 解：①由折线统计图可知，2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；故①正确； ②2023年6月到12月，A 款汽车的月平均销量稳定，但不高于 B 款汽车的月平均销量：故②不正确； ③2023年6月到12月，A 款汽车和B汽车月销量中位数都是在9月份，由图可知，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车：故③正确； ④2023年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，故④正确． 故选：①③④ 【小问2详解】 B 款汽车的平均得分为（分）， 答：B 款汽车的平均得分为分． 【小问3详解】 由条形统计图可知，生产A 款汽车的厂家要提高舒适程度和售后服务． 20. 如图，是的直径，点、在上，，点线段的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、正弦等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的判定是解题关键． （1）连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，根据定理代换可得，从而可得，最后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设的半径长为，则，，再根据正弦的定义可得，据此即可得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ∴， 由圆周角定理得：， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， 设的半径长为，则， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，， ∴，即， 解得：， ∴的半径长为4． 21. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计纸盒 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。 问题解决 任务1 初步探究：折一个底面积为无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由 【答案】任务1：剪掉的正方形的边长为． 任务2：当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 【解析】 【分析】任务1：假设剪掉的正方形的边长为，根据长方形盒子的底面积为，得方程，解所列方程并检验可得； 任务2：侧面积有最大值，设剪掉的正方形边长为，盒子的侧面积为，利用长方形盒子的侧面积为：得出即可． 【详解】解：任务1：设剪掉的正方形的边长为， 则，即， 解得（不合题意，舍去），， 答：剪掉的正方形的边长为． 任务2：侧面积有最大值． 理由如下： 设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与函数关系为：， 即， 即， ∴时，． 即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程和函数关系式是解决问题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点P是线段的黄金分割点，设，，求黄金比x的值．（精确到0.001，参考数据：，，，） （2）如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点D是线段的黄金分割点． （3）如图③，点E是正方形的边的中点，以点E为圆心以长为半径画弧，交射线于点F，过点F作交射线于点G．若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质： （1）根据黄金比的定义列方程，解方程即可； （2）先通过等角对等边证明，再证，根据相似三角形对应边成比例可得，等量代换后得，即可证明点D是线段的黄金分割点； （3）设，则，，根据勾股定理求出，进而可得，再证四边形是矩形，根据列方程，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，． 解得，（舍），． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点D是线段的黄金分割点． 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形，点E是边的中点， ∴设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形矩形， ∴ ∴， 解得， ∴的长为． 23. （1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程； （2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； （3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一次函数与反比例函数的综合问题，一次函数与二次函数的综合， （1）直接根据角角边证明三角形全等即可； （2）先求出A，C坐标，再得出点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P，求出直线的解析式，再与二次函数解析式联立，解方程即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴， ∴ ∵，， ∴ （2）∵， ∴当时，，当时，，， ∴，， 由（1）可知：， ∴，， ∴，点B的坐标为 把代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为： （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P， ∴， 由（2）可知，， ∴设直线的解析式为， ∴，∴， ∴ ∴， 解得：，（不合题意，舍去） 当时，， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广东省清远市连州市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 剪纸艺术是中国最古老民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，则与的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，点C是的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 10. 如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 27的立方根为_____． 12. 据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到13420000人，13420000这个数用科学记数法表示为____ ． 13. 某个函数具有性质：当时，y随x的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式：____ ． 14. 不等式组的解集为_____ ． 15. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫C可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为___ ．（结果精确到1cm，参考数据：） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作图中，连接，若，求的长． 18. 为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图①是A， B两款新能源汽车在2023 年 6月到12月期间月销量（单位： 辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是_______． ①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势； ②2023年6月到12月，A 款汽车的月平均销量高于 B 款汽车： ③2023年6月到12月，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车： ④2023年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定． （2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出 B 款汽车的平均得分． （3）由图①可以看出，2023年6月~12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A 款汽车的厂家提出一条改进建议． 20. 如图，是直径，点、在上，，点线段的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计纸盒 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。 问题解决 任务1 初步探究：折一个底面积为无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点P是线段的黄金分割点，设，，求黄金比x的值．（精确到0.001，参考数据：，，，） （2）如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点D是线段的黄金分割点． （3）如图③，点E是正方形的边的中点，以点E为圆心以长为半径画弧，交射线于点F，过点F作交射线于点G．若，请直接写出的长． 23. （1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程； （2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； （3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$