精品解析：广东省广州市越秀区华侨外国语学校2024-2025学年下学期九年级期中诊断性调研数学试题

2024学年下学期九年级期中诊断性调研 数学问卷 （时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（10×3=30分） 1. 下列化简，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示为一个几何体的三视图，那么这个几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下：，，，，，（单位：分），则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的众数是分 B. 这组数据的方差是 C. 这组数据的平均数是分 D. 这组数据的中位数是分 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 7. 已知如图，，于．则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知方程x2-x+2m=0有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. m-1 B. m+1 C. 1-m D. ±（m-1） 二、填空题（6×3=18分） 11. 举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运,它是迄今为止世界上最长的跨海大桥,全长约55000米.55000这个数用科学记数法可表示为____. 12. 点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于______． 13. 有A、B、C、D四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学绘制了扇形统计图（2），其中__________． 14. 用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为____________． 15. 如图，在中，，，，平分，交于点D，点E为上一点，且，点M为上一动点，则的最小值为______ 16. 如图，在矩形中，，，点在直线上，连接，     （1）当，则__________． （2）当最大时，__________． 三、解答题（共72分） 17. 解方程：． 18. 如图，点在线段上，，，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为．将向右平移个单位，得到（点平移后的对应点为）． （1）点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________； （2）在图中画出，并连接，； （3）求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）． 20. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； （2）已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 21. 下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率，并判断规则是否公平． 22. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，内接于，，直线l与相切于点C． （1）尺规作图：过点O作直线m，使得直线交劣弧于点D，交弦于点E，交直线l于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，①求证：；②若，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（），直线． （1）若抛物线与直线只有一个交点． ①求a与b之间的关系式； ②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、（），当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值； （2）若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围． 25. 如图，已知是等边三角形，，点D为的中点，点E，F分别为边上的动点（点E不与B，C重合），且． （1）当时，求出的长度 （2）当，探索与的数量关系，并证明； （3）若E，F分别为直线上的动点（点E不与B，C重合），求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年下学期九年级期中诊断性调研 数学问卷 （时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（10×3=30分） 1. 下列化简，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了化简多重符号，根据化简多重符号法则求解即可． 【详解】解：A．，选项A错误，不符合题意；        B．，选项B正确，符合题意； C．，选项C错误，不符合题意； D．，选项D错误，不符合题意． 故选：B． 2. 如图所示为一个几何体的三视图，那么这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，即可确定正确答案． 【详解】解：∵从三个方向看得到的图是： ∴这个立体图形是： 故选：D 【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，三视图分别为主视图、左视图、俯视图，是分别从几何体正面、左面和上面看所得到的平面图形，主要考查学生空间想象能力． 3. 某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下：，，，，，（单位：分），则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的众数是分 B. 这组数据的方差是 C. 这组数据的平均数是分 D. 这组数据的中位数是分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数和方差的定义分别计算即可． 【详解】解：这组数据从大到小排列为，，，，，， 分出现次数最多，则这组数据的众数是分，故A选项正确，不符合题意； 处于中间的两个数是，，则这组数据的中位数是分，故D选项错误，符合题意； 这组数据的平均数为，故C选项正确，不符合题意； 方差为 ，故B选项正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数和方差的定义． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，算术平方根的定义以及完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、（a3）2=a6，故本选项不合题意； B、a20•a21=a41，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、（a-2b）2=a2-4ab+4b2，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根，完全平方公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 5. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图所示： ， 故选：B． 6. 如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质：与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①的图象在一、二、三象限；②的图象在一、三、四象限；③的图象在一、二、四象限；④的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．由反比例函数的性质可判断k的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限． 【详解】解：由题意得：， ，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 7. 已知如图，，于．则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角性质得出，最后根据含角的直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是求出，熟记角所对的直角边等于斜边的一半． 8. 随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件， 依题意得：． 故选：A 9. 如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边长，再利用等边换边得到的周长． 【详解】是的内切圆, 、、 是的切线， 又切于点K， 、、、、， 的周长为： 设，，， 则、、， 解得， 的周长为：． 故选D． 【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是解题的关键． 10. 已知方程x2-x+2m=0有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. m-1 B. m+1 C. 1-m D. ±（m-1） 【答案】C 【解析】 【分析】关于x的方程x2-x+2m=0有两个实数根，即判别式△=b2-4ac≥0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围，代入即可得到结果． 【详解】解：∵x2-x+2m=0有两个实数根， ∴△=b2-4ac=8－8m≥0 ∴m≤1， ∴=|m-1|=1-m， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根（3）△＜0⇔方程没有实数根． 二、填空题（6×3=18分） 11. 举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运,它是迄今为止世界上最长的跨海大桥,全长约55000米.55000这个数用科学记数法可表示为____. 【答案】5.5× 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数；当原数绝对值大于或等于1而小于10时，n=0． 【详解】解：55000这个数用科学记数法可表示为5.5× 故答案为5.5×. 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值．把代入解析式得，用含m的式子表示出，找到最大值即可． 【详解】解：把代入，则， ∴， ∵ ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 13. 有A、B、C、D四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学绘制了扇形统计图（2），其中__________． 【答案】72 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．根据级的人数和总人数得出级所占的百分比，再乘以360度即可得出答案． 【详解】解：， 答：， 故答案为：72． 14. 用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式和圆的周长计算公式．根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为r，则， 所以， 所以圆的直径为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，平分，交于点D，点E为上一点，且，点M为上一动点，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】作点C关于的对称点，根据对称的性质得出点在上，且，，将转化为，即最小为，过点作，垂足为F，利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点， ∵平分， ∴直线和直线关于对称， 则点在上，且，， ∴， 当，，三点共线时，最小，最小为， 过点作，垂足为F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，两点之间线段最短，角平分线的定义． 16. 如图，在矩形中，，，点在直线上，连接，     （1）当，则__________． （2）当最大时，__________． 【答案】 ①. 或 ②. 18 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，分两种情况讨论：①当点在线段上时，根据矩形的性质和勾股定理求得，，即可求解；②当点在射线上时，根据矩形的性质和勾股定理求得，，即可求解，综合两种情况即可得到答案； （2）作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，先证明，继而，因此，故的最大值转化为的最大值，由，知点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，由，故当三点共线时，取得最大值为18，故，得到，由勾股定理得到和，即可求解． 【详解】（1）解：①当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当点在射线上时， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴； 综上可知， 或； （2）作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点O为中点， ∴， ∴由勾股定理得， ∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的最大值转化为的最大值， ∵， ∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当三点共线时，取得最大值为18， ∴， ∴， 在中，，即， 在中，， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造相似三角形是解决本题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则． 18. 如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为．将向右平移个单位，得到（点平移后的对应点为）． （1）点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________； （2）在图中画出，并连接，； （3）求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）． 【答案】（1），； （2） 如图所示：即为所求； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，求弧长，求周长，解题的关键是掌握平移前后对应点连线相等，弧长公式． （1）根据平移的性质，即可解答； （2）以点为圆心，为半径画弧，即可得出； （3）根据弧长公式求出，根据平移的性质得出，根据封闭图形的周长，即可求解． 【小问1详解】 ∵，所在圆的圆心为， ∴，所在圆的圆心坐标是． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴的半径为， ∴， ∵将向右平移个单位，得到， ∴，， ∴由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长． 故答案为：． 20. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； （2）已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 【答案】（1）或者 （2） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律问题、分式的化简和解一元二次方程的知识， （1）根据题意列出算式，再进一步得出一元二次方程，解方程即可； （2）根据A区、B区的计算结果列出分式，结合完全平方公式进行化简即可． 【小问1详解】 A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据区、区的代数式的值相等可得：， 整理得：， 解得：，， 即的值为或者； 【小问2详解】 设从初始状态按4次后， A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据题意有分式：， 化简结果为：． 21. 下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率，并判断规则是否公平． 【答案】小颖获胜的概率为，该游戏规则不公平 【解析】 【分析】本题考查的是通过列表法或画树状图游计算概率及熟练公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： 可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种；其和大于10的情况有3种， 小颖获胜的概率为； 小亮获胜的概率为， 显然， 故该游戏规则不公平． 22. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键． （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 23. 如图，内接于，，直线l与相切于点C． （1）尺规作图：过点O作直线m，使得直线交劣弧于点D，交弦于点E，交直线l于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，①求证：；②若，求的长． 【答案】（1） 如图所示： （2）①证明：如图，连接． 直线l与相切于点C， ， 是直径， ， ， 即， ， ； ② 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据尺规作平行线，即尺规作角等于已知角，作出图形即可； （2）①连接，利用切线的性质和圆周角定理，进行角度的转换，即可解答；②证明，利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：①略 ②， ， ， ， 直线是切线， ， ，， ， ∴， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（），直线． （1）若抛物线与直线只有一个交点． ①求a与b之间的关系式； ②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、（），当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值； （2）若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围． 【答案】（1）①；②1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与直线交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，二次函数的性质等；理解利用二次函数图象解一元二次方程的解法，掌握二次函数的性质，一元二次方程根的个数与判别式的关系是解题的关键． （1）①由题意得方程有相等实数根，根据即可求解；②把平移后的直线与抛物线联立得到方程，则，结合①得，则，再根据二次函数的性质得到，即，化简得到，即可求解； （2）由于抛物线与直线有两个交点，则化为方程有两个实根、，且满足，，即，而，则当时，，当时，，再根据对称轴即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有相等实数根， ∴， ∴， ∴； ②将直线向上平移t个单位， ， ， 整理得：， ， 由①得：， ， ， ， ∵， ， 当时，随x的增大而减小，， ， ， ∴ ∴， ， ∴ t取最小整数， ； 【小问2详解】 解：抛物线与直线有两个交点， 此方程有两个实根、，且满足，， ∴， ∵ 当时，， ∴ ∴ 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 25. 如图，已知是等边三角形，，点D为的中点，点E，F分别为边上的动点（点E不与B，C重合），且． （1）当时，求出的长度 （2）当，探索与的数量关系，并证明； （3）若E，F分别为直线上的动点（点E不与B，C重合），求的最大值． 【答案】（1） （2） ， 证明：延长至点M，使得，连接，延长至点，使得，连接， ∴， ∵， ∴，同理 ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点G，过点C作于J， ∴ 设，则， 同理可求 ∴ ∵ ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作于点，则，，则，解直角三角形可得，，再由勾股定理即可求解； （2）延长至点M，使得，连接，延长至点，使得，连接，证明，过点作于点G，过点C作于J，，设，则，同理可求，代入得到，即可求解； （3）分类讨论，利用解直角三角形表示出，根据作差结合取值范围判断与大小，再由根的判别式求最值，比较大小即可． 【小问1详解】 解：过点F作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，点F在点A下方时，如图： 过点D，F分别作于点， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴同理可得：，， ∴， ∴， ∴设， 整理得：， 则， 解得：， ∴的最大值， ∴的最大值为：， 当点E在线段上时，点F在点A上方时，记为，如图： ∵， ∴； 当点E在线段延长线上，点F在点A上方时，记为，连接，如图： 此时，则， 当点E在线段延长线上，点F在点A下方时，过点D，F分别作于点，如图： 同上：设，则， ∴， ∵ 综上所述，的最大值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点，难度较大，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $