8.3完全平方公式与平方差公式（第1课时 完全平方公式）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

8.3完全平方公式与平方差公式 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第8章 整式乘法与因式分解 第1课时 完全平方公式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点; （重点） 2.会运用公式进行运算；(难点) 情景导入 多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. (a + b)(m + n) = + bm am + an + bn 新知探究 (a + b)2 = _______________ (a － b)2 = _______________ a2 + 2ab + b2 a2 － 2ab + b2 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到. 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式. a b a b (a + b)2 a2 ab ab = + + (a + b)2 = a2 + 2ab +（ ） b2 观察 a b a b (a － b)2 a2 = － + (a － b)2 = a2 －（ ）+ b2 b2 2ab 例题讲解 例1 利用乘法公式计算： （1）(2x + y)2； （2）(3a －2b)2. 解 （1）(2x+y)2 = (2x)2 + 2·(2x)y + y2 (a+b )2 = a2 + 2 a b +b2 = 4x2 + 4xy + y2 运用公式计算，要先识别 a，b 在具体式子中分别表示什么. 利用乘法公式计算： （1）(2x + y)2； （2）(3a －2b)2. （2）(3a －2b)2 = (3a)2 －2·(3a)(2b) + (2b)2 (a－ b )2 = a2 － 2 a b + b2 = 9a2 －12ab + 4b2 例2 利用乘法公式计算：(－m－2n)2 . 解 (－m－2n)2 = [－(m + 2n)]2 = (m + 2n)2 = m2 + 4mn + 4n2 解 (－m－2n)2 = (－m)2－2·(－m)·2n + (2n)2 = m2 + 4mn + 4n2 看作一个整体，运用完全平方公式 (a－b)2 例题讲解 课堂练习 1. 利用乘法公式计算： （1）(3x + 1)2 ； （2）(a－3b)2 . 解 （1）(3x + 1)2 （2）(a－3b)2 = (3x)2 + 2·(3x)·1 + 12 = 9x2 + 6x + 1 = a2 － 2a·(3b) + (3b)2 = a2 － 6ab + 9b2 （3） ； （4）(－2x + 3y)2 . （3） （4）(－2x + 3y)2 = (－2x)2 +2·(－2x)·(3y)+(3y)2 = 4x2 －12xy + 9y2 2. 如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm 宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少 84 cm2，求原正方形的边长. 设原正方形的边长为 a cm. 3 3 （单位：cm） 小正方形的边长为 (a－6) cm. a2－ (a－6)2 = 84 2. 如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm 宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少 84 cm2，求原正方形的边长. a2 －(a－6)2 = 84 a2 －(a2－12a + 36) = 84 12a = 120 a = 10 3 3 （单位：cm） 答：原正方形的边长为10 cm. 分层练习 基础题 1.[2024·上海月考] 下列算式能用完全平方公式计算的是( ) B A. B. C. D. 2.下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 3.[2024·合肥月考] 若，则 的值为( ) A A. B. C. D. 4. [2024滁州校级期中] 计算 的结果为( ) C A. B. C. D. 16 5. [2024合肥瑶海区期末] 若， ，则 ( ) C A. B. C. D. 【点拨】因为， ，所以 . 17 6. 下列算式能用完全平方公式计算的是( ) B A. B. C. D. 7.[2024安庆外国语学校月考] 若是关于 的 完全平方式，则 _______. 或7 18 原式 . 8.计算： (1) ____________； (2) ______________； (3) ___________________________. 19 9.［知识初练］ 如图是利用割补法求图形面积的示意图， 则与之相对应的公式是_________________________. 20 10.如图①是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪 刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大 正方形，如图②所示，请直接写出，， 之间的等量关系：_________________________. 21 11.运用完全平方公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3）[2024无锡] . 原式 . 22 利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆成两个 数的和或差，拆分时主要有两种形式：一是将与整十、整百或整千接 近的数拆分成整十、整百或整千与相差的数的和或差；二是将带分数 拆分成整数与真分数的和或差. 23 12.先化简，再求值：，其中 . 【解】 . 当时,原式 . 24 13.利用完全平方公式进行简便计算: (1) ； 解：原式 . (2) . 解：原式 . 25 综合应用题 因为 ， 且, 是整数,所以 的值一定是4的倍数. 14.若，是整数，则 的值一定是( ) D A.正数 B.负数 C.非负数 D.4的倍数 式子和4分别是 和2的平方，可当作首尾两项， 根据完全平方公式可得中间项为，同时还应看到 加上或或 后也可分别构成一个整式的平方. 【变式题】 若二项式 加上一个单项式后可以写成一个整式的 平方，则这样的单项式共有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 27 15.［分类讨论思想］[2024·安庆月考] 若 是关于的完全平方式，则 的值为_______. 或7 16. 利用我们学过的知识，可以推导出下面 的等式： . （1）请你检验这个等式的正确性. 【解】 ，所以等式正确. 28 （2）若，， ，你能很快求出 的值吗？试求出这个值. 【解】能.当，， 时， 原式 . 29 17. 若,求 的值. 解：因为 ,所以 .所以， ，所以 ,.所以 . 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若,则 的值为____； 【点拨】原等式可化为 ,所以 ， . 所以.所以 . 30 （1）若,则 的值为____； 【点拨】原等式可化为 ,所以 ， . 所以.所以 . 31 （2）试说明：不论， 取什么值，多项式 的值 总是正数； 【解】 . 因为, ,所以 .所以不论， 取什么值，多项式 的值总是正数. 32 （3）已知,,是不等边三角形 的三边长，满足 ，且是三角形 的最大边长，则 的取值范围为__________. 【点拨】因为 ,所以 .所以 .所以， .所以, . 又因为三角形为不等边三角形且 是最大边长, 所以的取值范围为 . 33 18. 【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差 的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平 方和. 【验证】 如 ，10为偶数，请把10的 一半表示为两个正整数的平方和. 【解】10的一半为5， . 34 【探究】 设【发现】中的两个已知正整数为, ，请说明 【发现】中的结论正确. . 故两个已知正整数， 的和与其差的平方和一定是偶数，且 该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 35 19.[2024·台州期中] 数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种 纸片，种纸片是边长为的正方形， 种纸片是边长为的正方形， 种纸片是长为、宽为的长方形，并用 种纸片一张，种纸片一 张， 种纸片两张拼成如图②的大正方形. (1)观察图②，下列三个代数式：，， 之 间的等量关系为________________________； 36 (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要 种纸片1张，种纸片2张， 种纸片___张. 3 37 (3)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，则___， ____. 6 38 ②已知，求 的值. 解：令 ， 则， ， 因为 ， 所以，解得 ． 所以．所以 ． 39 【补充设问】 若，求 的值. 解：因为 ， 所以,所以 , 即,所以 . 40 创新拓展题 20.［运算能力］已知 ， . (1)填空： _____； ______；(均用含 的式子表示) (2)求的值；(用含 的式子表示) 解：因为 ， ，所以 ， 所以 . (2)求的值；(用含 的式子表示) 解：因为 ， ，所以 ， 所以 . 42 (3)试说明： . 由(2)知 . 因为 ， 所以 ， 所以 . 43 21.两个边长分别为和 的正方形按如图①所 示的方式放置，其未叠合部分（阴影）的面积为 ，若再在 图①中大正方形的左下角摆放一个边长为 的小正方形 （如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为 . 44 （1）用含,的代数式分别表示：________， _______________； 45 （2）若，，则 的值为____； 68 46 【点拨】 . 因为， ， 所以 . 47 （3）当 时，求出图③中阴影部分的面积（即 的值）. 48 【解】由题图③可得 ， ， 所以 . 因为 ，所以 . 49 课堂小结 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$