精品解析：黑龙江省牡丹江市2024～2025学年下学期九年级综合练习数学 试题

2024－2025学年度第二学期九年级综合练习 数学 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共分三道大题，总分120分； 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，同底数幂除法计算，负整数指数幂，根据对应的计算法则分别计算出每个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下面几种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可，熟练掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴两侧部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转度后与自身重合是解决此题的关键． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体最少有（ ） A. 9个 B. 8个 C. 7个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二的个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，第二层最少有2个小正方体，则组成这个几何体的小正方体至少为个． 故选：C． 4. 为丰富初中生假期生活，学校组织学生参加“社会实践、环境调查、职业体验”三种活动，小丽和小莹从中随机选择一个活动参加，两人恰好选择同一活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握用列表法或树状图法求解的方法是关键． 画树状图展示所有等可能的结果数，找出两人恰好选择同一活动的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“社会实践、环境调查、职业体验” 三种活动） 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一活动的结果数为3， 所以两人恰好选择同一活动的概率=． 故选B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式以及一元二次方程成立的条件，由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，且，即且， 解得，且， 故选：B． 6. 点在上，，，则的半径为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，度所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，可构造辅助线用垂径定理以及角度关系解答本题．先得出，求出，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，并作，如下图所示： ∵ ∴（同弧所对的圆心角是圆周角的二倍） 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 则， 解得 故选：D 7. 九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解的应用，设购买了x本笔记本，y支的签字笔，可得，再利用二元一次方程的正整数解解题即可． 【详解】解：购买了x本笔记本，y支的签字笔， 则， 即． ∴，，，， ∴购买方案有4种； 故选：A 8. 如图，反比例函数的图象经过两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为（ ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式，通过解析式求出交点的坐标，再利用相似三角形的判定与性质得，则可求出点纵坐标，进而求出相关三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：将代入得， ， 反比例函数的解析式为， 将代入得， ， ∴点坐标为， 假设直线的解析式为，将两点坐标代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 连接，如图， ， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ， ∴点纵坐标为4， ∴， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合，反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各函数的性质，并会通过坐标求出三角形的面积． 9. 如图，在边长为的正方形中，分别是边的中点，连接，分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是构造辅助线，求出所需边． 连接并延长交于点，连接，证明出，利用勾股定理求出所需的边长，最后利用三角形中位线定理即可求出结果． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ∵ 四边形 是正方形， ，，， ∵ ， 分别是边， 的中点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∵ 点 ， 分别是， 的中点， ， 故选：D． 10. 如图，，，，点分别在上，为等边三角形，交于，下列结论：①，②，③，④若，则．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，根据等边三角形性质得出，，求出，判断①正确；过点C作于点M，证明四边形为矩形，得出，，证明，，得出，判断②正确；根据，而，证明，，得出，说明，与不一定垂直，判定③错误；证明，，得出，证明，四边形为正方形，连接，交于点H，根据正方形性质得出，，证明，得出，证明，，证明，判断④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，故①正确； 过点C作于点M，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不一定垂直，故③错误； ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点H，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为等边三角形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④； 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活80000000人．将80000000这个数用科学记数法可表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：80000000=． 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式的分母不能为0． 利用二次根式和分式有意义的条件即可解答此题． 【详解】解：根据二次根式和分式的意义可得， ， 解得，， 故答案为：． 13. 在矩形中，对角线与交于点，请添加一个条件：______使得矩形是正方形．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，解题的关键是掌握：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：． 理由：∵四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 一组数据，，，，中，唯一的众数是，这组数据的方差是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义、平均数与方差的计算公式．先根据众数的定义求出的值，再求出这组数据的平均数，然后根据方差公式计算即可． 【详解】解：由众数的定义得：， 这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为． 故答案为：． 15. 关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集求参数，解题的关键是表示出各不等式的解集，再根据不等式组的解集求得参数．表示出各不等式的解集后，再根据口诀“同小取小”得出的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得，， 故答案为：． 16. 若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数， ∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个． 故答案为：3． 17. 将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm． 【答案】2 【解析】 【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长cm， ∴这个圆锥底面圆的半径cm， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解． 18. 如图，矩形中，，，分别是边上的动点，为的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作点D关于的对称点P，连接，，即可得到最小值为长，然后过点F作，设，即可得到，求出，，然后根据勾股定理求出的长，再根据二次函数的最值解题即可． 【详解】解：作点D关于的对称点P，连接，， 则， ∴，即最小值为长， 过点F作，设， 则为矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∴，， ∴， 当时，随x的增大而减小， ∴ 当时，最小为，即的最小值为， 故答案为：． 19. 如图，在边长为4的菱形中，，点M为的中点，连接，将菱形翻折，使点A的对应点落在上，折痕交于点N，则线段的长为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点M作,交于点F，解直角三角形得出的长，再根据勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点M作,交于点F， ∵在边长为4的菱形中，， ， ， ， ，点M为的中点， ∴， ∴，， ∴， 将菱形翻折，使点A的对应点落在上， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解含有角的直角三角形，菱形的性质，勾股定理，正确画出辅助线是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点坐标规律探究，求一次函数的自变量和函数值，解题的关键是读懂题意，得到的横坐标为．根据题意得到的横坐标为，即可得到点的横坐标． 【详解】解：由题意可得， ，，，，，，…， 可得的横坐标为 ， 点的横坐标为：， 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是关键． 根据分式加减乘除法则，先化简分式，再化简后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′． （1）在正方形网格中，画出△AB′C′； （2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积． 【答案】 （1）如图所示：△AB′C′即为所求 （2）π． 【解析】 【分析】（1）分别作出点、绕点按顺时针方向旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）根据扇形的面积公式列式计算可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB= =5， ∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：=π 【点睛】本题主要考查作图以及旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式． 23. 如图，抛物线与交轴于点，点，与轴交于点，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质； （1）把点A和B的坐标代入解析式求出b，c的值即可解题； （2）先求出点C的坐标，即可得到，然后分为点P在直线的上方和点P在直线的下方两种，设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，进而求出直线的解析式， 再联立直线和抛物线解析式求出交点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：把点A和B的坐标代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴， 当点P在直线的上方时，设直线交x轴于点D， 则， ∴， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴点P的坐标为； 当点P在直线的下方时，设直线交x轴于点D， 则， ∴， ∴点D的坐标为， 同理直线的解析式为， 解方程组得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 24. 为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A．乒乓球；B．排球；C．篮球；D．跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图表． 问卷情况统计表 运动项目 人数 A．乒乓球 B．排球 10 C．篮球 80 D．跳绳 70 （1）本次调查的样本容量是__________，统计表中__________； （2）在扇形统计图中，“B”对应的圆心角的度数是__________； （3）若该校共有2350名学生，请你估计该校最喜欢“A．乒乓球”的学生人数． 【答案】（1）200，40 （2）； （3）470人． 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表和扇形统计图相结合，解题的关键是从统计表和统计图中获取数量和数量之间的关系． （1）利用部分的实际数值除以其所占比例即可求出样本容量，进而可求出； （2）利用乘其所占比例即可求出对应圆心角度数； （3）用总人数乘其所占比例即可求出结果． 【小问1详解】 解：样本容量为：， ， 故答案为：200，40； 【小问2详解】 解：“B”对应的圆心角的度数， 故答案为：； 【小问3详解】 解：估计该校最喜欢“A．乒乓球”的学生人数为（人） 所以，估计该校最喜欢“A．乒乓球”的学生人数为470人． 25. 甲车从A地匀速驶向相距360的地，乙车比甲车晚出发20从地驶往A地，途中在地休息了20，然后比之前提高了45的速度行驶，在甲车到达地后，又过了40乙才到达A地．甲，乙两车距地的路程（）与甲车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）直接写出甲车的速度和的值； （2）求乙车从地到A地的路程（）与甲车行驶时间（）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）直接写出乙车出发多长时间，两车相距55 ． 【答案】（1）90km/h，； （2）； （3）乙车出发或小时两车相距55km． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数关系式，一元一次方程与一次函数， 对于（1），根据图像可得答案； 对于（2），先求出乙车从B地到C的速度，可得乙车从C地到A的速度，再将点B的坐标代入直线的关系式可得答案； 对于（3），根据题意可知甲车行驶的函数关系式，乙车在段的函数关系式，再分两种情况：当相遇前两车相距55时，当相遇后两车相距55时，两种情况列出方程，求出解，然后判断是否符合题意，可得答案. 【小问1详解】 解：根据图象可知甲车从A地用了4小时行驶到了B地，所以甲车的速度是（），； 【小问2详解】 解：由，可知点， ∴乙车从B地到C的速度为， ∴乙车从C地到A的速度为（），点B的坐标为，即， 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， 所以函数关系式为； 【小问3详解】 解：乙车出发或小时两车相距55. 根据题意可知甲车行驶的函数关系式为； 乙车在段过点，其函数关系式为； 分两种情况：当相遇前两车相距55时，， 解得； 当相遇后两车相距55时，， 解得. 设点D的横坐标为t，则点E的横坐标为，根据题意，得 ， 解得， 由，符合题意. 则. 所以乙车出发或小时两车相距55. 26. 在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随点的位置变化而变化，连接． 推理证明： （）当点在菱形内部或边上时，如图①，求证：；写出图①的证明过程； 探究问题： （）当点在菱形外部时，如图②，图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需证明； 拓展思考： （）在（）和（）的条件下，若，，则的长为__________． 图① 图② 图③ 【答案】 （）证明：连接，交于， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （）图②中，；图③中，；（）或 【解析】 【分析】（）连接，交于，可证，得到，即得，由可得，即可求证； （）如图②，连接，同理（）可证，得，即得，由可得即可求解；如图③，连接，同理可求解； （）由已知可得点在线段上，再根据图①和图②解答即可求解． 【详解】（）略 （）如图②，，理由如下： 连接， 同理（）可证， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图③，，理由如下： 连接， 同理（）可证， ∴， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴点在线段上， 如图①，当点在菱形内部或边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在菱形外部时，如图②， 同理可得， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 某商场购进甲、乙两种手机共50部．已知购进一部甲种手机比购进一部乙种手机进价少0.3万元，用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍．请解答下列问题： （1）甲、乙两种手机每部进价各是多少元？ （2）若商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，商场有哪几种购进方案？ （3）在（2）的条件下，若甲种手机每部售价1100元，乙种每部手机售价4300元，甲、乙两种手机各有一部样机按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这50部手机获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上手机共2部．请直接写出该商场购进这50部手机中，甲、乙两种手机各几部． 【答案】（1）甲种手机进价为每部1000元，乙种手机进价为每部4000元； （2）有3种进货方案：①甲种手机31部，乙种手机19部；②甲种手机32部，乙种手机18部；③甲种手机33部，乙种手机17部； （3）购进甲种手机32部，乙种手机18部． 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程和不等式组是解题的关键： （1）设甲种手机的进价为每部万元，根据用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进甲种手机部，根据商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，列出不等式组进行求解即可； （3）根据（2）种方案，逐一进行计算，判断即可． 【小问1详解】 解：设甲种手机的进价为每部万元，则乙种手机的进价为每部万元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 万元元，万元元； 答：甲种手机进价为每部1000元，乙种手机进价为每部4000元； 【小问2详解】 设购进甲种手机部，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴； 故有3种进货方案：①甲种手机31部，乙种手机19部；②甲种手机32部，乙种手机18部；③甲种手机33部，乙种手机17部； 【小问3详解】 ①购买甲种手机31台，购买乙种手机19台， （元），不符合题意，舍去； ②购买甲种手机32台，购买乙种手机18台， （元），符合题意； ③购买甲种手机33台，购买乙种手机17台， （元），不符合题意，舍去． 综上所述，购买甲种手机32台，购买乙种手机18台． 28. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，顶点在轴正半轴上，且点的横，纵坐标是方程的两个实数根（横坐标大于纵坐标），将菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，点，，的对应点分别为，，． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒，的面积为，求与的关系式； （3）为直线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当点在上时，；当点在上时，； （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）先解出方程，，，则有，所以，再由菱形的性质得，，从而求出点的坐标； （）分两种情况：当点在上时，即，过作轴于点，则，当点在上时，即，过作轴于点，过作轴于点； （）先求出解析式，解析式，设，，再分当以为对角线的平行四边形，当以为对角线的平行四边形，当以为对角线的平行四边形三种情况分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标； 【小问2详解】 解：如图，当点在上时，即，过作轴于点，则， 由（）得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形绕原点逆时针旋转得到菱形， ∴， ∴的纵坐标与的横坐标值相同， ∴， ∴； 如图，当点在上时，即，过作轴于点，过作轴于点， 则， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：由上得：，，， ∴，，， 设解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴解析式为，解析式为， 设，， 如图，当以为对角线的平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当以为对角线的平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当以为对角线的平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期九年级综合练习 数学 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共分三道大题，总分120分； 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面几种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体最少有（ ） A. 9个 B. 8个 C. 7个 D. 6个 4. 为丰富初中生假期生活，学校组织学生参加“社会实践、环境调查、职业体验”三种活动，小丽和小莹从中随机选择一个活动参加，两人恰好选择同一活动的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 点在上，，，则的半径为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7. 九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 8. 如图，反比例函数的图象经过两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为（ ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 9. 如图，在边长为的正方形中，分别是边的中点，连接，分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，，，，点分别在上，为等边三角形，交于，下列结论：①，②，③，④若，则．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活80000000人．将80000000这个数用科学记数法可表示为_____． 12. 函数中自变量x的取值范围是________． 13. 在矩形中，对角线与交于点，请添加一个条件：______使得矩形是正方形．（只写一个） 14. 一组数据，，，，中，唯一的众数是，这组数据的方差是________． 15. 关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 16. 若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有________个． 17. 将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm． 18. 如图，矩形中，，，分别是边上的动点，为的中点，连接，则的最小值为________． 19. 如图，在边长为4的菱形中，，点M为的中点，连接，将菱形翻折，使点A的对应点落在上，折痕交于点N，则线段的长为__________________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为__________． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′． （1）在正方形网格中，画出△AB′C′； （2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积． 23. 如图，抛物线与交轴于点，点，与轴交于点，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且，请直接写出点的坐标． 24. 为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A．乒乓球；B．排球；C．篮球；D．跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图表． 问卷情况统计表 运动项目 人数 A．乒乓球 B．排球 10 C．篮球 80 D．跳绳 70 （1）本次调查的样本容量是__________，统计表中__________； （2）在扇形统计图中，“B”对应的圆心角的度数是__________； （3）若该校共有2350名学生，请你估计该校最喜欢“A．乒乓球”的学生人数． 25. 甲车从A地匀速驶向相距360的地，乙车比甲车晚出发20从地驶往A地，途中在地休息了20，然后比之前提高了45的速度行驶，在甲车到达地后，又过了40乙才到达A地．甲，乙两车距地的路程（）与甲车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）直接写出甲车的速度和的值； （2）求乙车从地到A地的路程（）与甲车行驶时间（）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）直接写出乙车出发多长时间，两车相距55 ． 26. 在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随点的位置变化而变化，连接． 推理证明： （）当点在菱形内部或边上时，如图①，求证：；写出图①的证明过程； 探究问题： （）当点在菱形外部时，如图②，图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需证明； 拓展思考： （）在（）和（）的条件下，若，，则的长为__________． 图① 图② 图③ 27. 某商场购进甲、乙两种手机共50部．已知购进一部甲种手机比购进一部乙种手机进价少0.3万元，用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍．请解答下列问题： （1）甲、乙两种手机每部进价各是多少元？ （2）若商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，商场有哪几种购进方案？ （3）在（2）的条件下，若甲种手机每部售价1100元，乙种每部手机售价4300元，甲、乙两种手机各有一部样机按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这50部手机获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上手机共2部．请直接写出该商场购进这50部手机中，甲、乙两种手机各几部． 28. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，顶点在轴正半轴上，且点的横，纵坐标是方程的两个实数根（横坐标大于纵坐标），将菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，点，，的对应点分别为，，． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒，的面积为，求与的关系式； （3）为直线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $