第16讲 一次函数压轴题（2个考点8个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题九 解答压轴题 第16讲 一次函数压轴题 （思维导图+2考点+8种题型） 考点一、一次函数与几何图形的压轴问题 题型01、一次函数与三角形 题型02、一次函数与四边形 题型03、一次函数与圆 考点二、一次函数常考压轴问题 题型01、一次函数中的分段函数问题 题型02、一次函数自定义问题 题型03、一次函数与图形面积 题型04、一次函数与角度问题 题型05、一次函数实际应用问题 考点一、一次函数与几何图形的压轴问题 题型01、一次函数与三角形的综合问题 1．（2023·浙江温州·三模）如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在一次函数的图象上，且点在第二象限，点在第四象限，一次函数图象交轴于点，交轴于点，．    (1)求证：． (2)求出点的坐标及的长． (3)点从匀速运动到时，点恰好从匀速运动到，记， ①求出关于的函数表达式． ②连结，点关于直线对称点为，连结．若直线与中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；②或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，通过证明，即可得到； （2）先求出点的坐标，可得，设，则，在由勾股定理可知，求出的值即可得到点的坐标，过作于点，根据可得到，由等腰直角三角形的性质可得； （3）①由等腰三角形的性质可得，，由题意可知，即，从而即可得到答案；②分两种情况：当时，；当时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：设， ， 当时，，当时，， ， ， ， 在，由勾股定理可知， 解得， ， 过作于点，    ，，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ∴； （3）解：①如图所示：    为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴； ②Ⅰ如图1，当时，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； Ⅱ如图2，当时，延长至点，      ∵由对称可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、对称的性质、平行的性质、勾股定理等知识，熟练在掌握三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、对称的性质、平行的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，且、满足 ． (1)求、两点的坐标； (2)如图2，点在线段上（不与端点、重合），点在线段上（不与端点、重合），连，过作的垂线交于，若 ，设点横坐标为，求点横坐标（用含的代数式表示）． (3)如图3，在（2）的条件下，连，点是中点，，交于点，连，若 ，求的长． 【答案】(1)， (2)点的横坐标为 (3) 【分析】（1）由条件可得，求出，的值，则，两点的坐标可求出； （2）过点作于点，证明，设，则，得出方程可求出，则点的横坐标可求出； （3）求出直线的解析式，由（2）可知，由可求出，则，则的长可求出． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， ，； （2）解：过点作于点， 点横坐标为，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 即点的横坐标为； （3）解：，， 设直线的解析式为， ， 解得． 直线的解析式为， 由（2）可得， ，， ，， ， ， ， 解得（负值舍去）， 点是中点，， 是的中点， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质、相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、待定系数法、两点间的距离等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． (1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线． (2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”． (3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查了点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，待定系数法，一次函数解析式与坐标轴的交点等知识． （1）分别作，，垂足为E，F，利用证明，得到即可证明直线是点A、B的一条等距线； （2）根据两点等距线的定义作图，连接中点与组成的直线或者过作的平行线即可； （3）由可得A、B两点到直线的距离相等，再分两类进行讨论，由待定系数求出直线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）证明：分别过A，B两点作，垂足分别为E，F． ， 是的中点， ， 在和中， ， ， 即直线是点A，B的一条等距线； （2）如图，直线就是所有的直线， （3）设直线的解析式为， ， ∴解得： ∴直线的解析式为． ， 两点到直线的距离相等， ∴或过中点， 如图，当时，可设直线的解析式为，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与坐标轴的交点为； ②当直线过中点时， ， ∴中点E的坐标为， ∴设直线的函数解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式为， ∴直线与坐标轴的交点为． 综上所述，满足条件的点P的坐标为． 4．（2025·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交点分别为点和点，与直线交于点，点是线段的中点，点分别是直线轴、轴上的动点． (1)求直线的解析式以及线段的长度． (2)求当周长最小时，使得的值最大的点的坐标． (3)如图，将沿直线翻折，得到点的对应点，再将绕点旋转，旋转过程中直线分别与直线，和直线，交于点和点，直线分别与直线和直线，交于点和点，是否存在点与四点中不同时在直线或直线上的两点组成的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）可先求出点C的坐标，用两点距离公式可求出线段的长度；用待定系数法求出直线的解析式； （2）如图1：作点关于的对称点，关于轴的对称点，连接，交于点，交轴于点，此时的周长最小；直线与轴交于点，此时的值最大，此时与重合； （3）①当是等腰直角三角形时，，此时F与O重合（如备用图②），作于点K，求出，进而可求出点E的坐标；②当是等腰直角三角形时，，此时此时H与O重合，设，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得点坐标为， ∴． 依题意可设， 将代入， 得，解得， ， 直线的解析式为，线段的长度为． （2）解：如图： 作点关于的对称点，关于轴的对称点，连接，交于点，交轴于点，此时的周长最小， 直线与轴交于点，此时的值最大，此时与重合， ． （3）解：当点或符合条件． ①是等腰直角三角形时，， 此时与重合（如备用图②），作于点K， 当时，， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 是的中点， ． ②是等腰直角三角形时，， 此时与重合（如备用图③）， ， ， 设， ∵ （负值舍去）， ， 当点或符合条件． 【点睛】本题考查了待定系数法，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，解直角三角形等知识，数形结合是解题的关键． 5．（2023·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点，构造，使得．    (1)当时，求直线的函数表达式． (2)当点C落在坐标轴上时，求的面积． (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或或或或． 【分析】（1）设直线的函数表达式为，然后把、两点的坐标代入即可求解； （2）分点在轴及轴上两种情况进行讨论，结合三角形相似，建立等量关系，分别求出两种情况时三角形的面积即可； （3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：当点在轴上时，设点的坐标为； 过作于点，则，，，    ， ， ， ， ， 解得：，， ，， ； 当点在轴上时，同理可求：    ，， ； 的面积为或； （3）解：①过点、作直线的垂线，与过点、作轴的平行线分别交于点、、，则四边形为矩形， ， ，， 由题意可得（相似比为．    ，，，， ， ， ， 同理， 又， （相似比为， ， 解得：，， ，， 即， 解得： 点的坐标为； ②当点在上时，则， 的坐标为，点的坐标为， 在中，， ， ， ∴轴，即， ， ， ， 符合题意；    ③当点在上时，作于点，于点， 同①可得： 点的坐标为， 直线的解析式为：， 把点代入解析式为， 可求得， 点，， 由两点间的距离公式求得：，，， ， ， 点符合题意；    ④当轴时，作于点，于点， 同②可求点的坐标为；    ⑤当点在线段上时，作于点，于点， 同③可求点的坐标为；    点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，含有角的直角三角形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，正确分类是解决问题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，，过点E作直线轴，设直线l上的动点A的坐标为，连接，将线段绕点B顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点C，构造，使得．      (1)如图1，当时，求直线的函数表达式． (2)当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标． (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使与相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点A的坐标为或或或或. 【分析】（1）设直线的函数表达式为，然后把A、两点的坐标代入即可求解； （2）结合三角形相似，建立等量关系，求出三角形的面积即可； （3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）当点在轴上时，设点的坐标为；    过作于点，则，，， ， ， ， ， ， 解得：，， ，， ； （3）①过点A、作直线的垂线，与过点、作轴的平行线分别交于点、、，则四边形为矩形， ， ，， 由题意可得（相似比为．   ，，，， ， ， ， 同理， 又， （相似比为， ， 解得：，， ，， 即， 解得： 点A的坐标为； ②当点在上时，则， 的坐标为，A点的坐标为， 在中，， ， ， 轴，即， ， ， ， 符合题意；    ③当点在上时，作于点，于点， 同①可得： 点的坐标为， 直线的解析式为：， 把点，代入解析式为， 可求得， 点，， 由两点间的距离公式求得：，，， ， ， 点符合题意；    ④当轴时，作于点，于点， 同②可求A点的坐标为；    ⑤当点在线段上时，作于点，于点， 同③可求A点的坐标为；   点A的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，含有角的直角三角形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，正确分类是解决问题的关键． 7．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点经1次斜平移后的点的坐标为，已知点A的坐标为．    (1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标． (2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C． ①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断是否是直角三角形？请说明理由． ②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为，求出点B的坐标及n的值． 【答案】(1)点A经1次平移后得到的点的坐标为，点A经2次平移后得到的点的坐标 (2)①是直角三角形，理由见解答过程； ②，． 【分析】（1）根据平移的性质得出点平移的坐标即可； （2）①连接，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可； ②延长交轴于点，过点作于点，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可． 【详解】（1）点经1次斜平移后的点的坐标为，点的坐标为， 点经1次平移后得到的点的坐标为，点经2次平移后得到的点的坐标； （2）①是直角三角形，理由如下： 连接，如图    由中心对称可知，， 由轴对称可知：， ， ，， ， ， ， ∴是直角三角形； ②过点作轴的平行线，与的延长线交于点，过点作于点，如图    ，， ， 是等腰直角三角形， 由①得， ， 点坐标为， 设直线的解析式为， ，点在直线上， 可得：， 解得：， ， 点由点经次斜平移得到， 点，由， 解得：， ． 【点睛】此题考查几何变换问题，关键是根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定分析，同时根据待定系数法得出直线的解析式解答． 8．（24-25八年级下·上海·阶段练习）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边在第二象限内作等边． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上有一点，求的面积． (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先令，解方程得到，然后根据勾股定理求出的长，根据等边三角形的性质证明，得到点的坐标为；设直线的解析式为．解方程组即可得到结论； （2）求出，过点作轴于点H，求出，，根据，即可求解； （3）设出点，分，，三种情况，列方程即可得出结论． 【详解】（1）解：将代入，则； 令，解得：； ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点A作于点G， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴点纵坐标为2， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点在直线上， 则，解得：， ∴， 如图，过点作轴于点H， 则， ∴， ∴， ； （3）解：设， ∵， ∴， 当时，即， 则， 解得：， ∴点M的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或； 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，等腰三角形的性质，要充分利用函数图象的性质是解决此题的关键． 9．（2025·广东清远·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点． (1)求点的坐标和直线的表达式； (2)在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标； (3)如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度． 【答案】(1)， (2)为或； (3) 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求得直线表达式即可； （2）先求得，，推出．设，由三角形的面积公式列式计算即可求解； （3）过作轴于，过作轴于，过作轴于．证明，推出，，设，推出．证明，得到，据此列式求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴． 设直线表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线表达式为； （2）解：对于直线， 令，则， 令，则， 解得， ∴，， ∴， 令，则 解得 故 由题意得．设，． ∴，即． 解得． ． ． ． 即． 解得． ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：过作轴于，过作轴于，过作轴于． ∴四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴． ∴，， 设（）， ∴，，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ， 由勾股定理． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10．（2025九年级下·全国·学业考试）已知直线与x轴和y轴分别交于B，A两点，另一直线经过点B和点． (1)求，的长度，并证明是直角三角形． (2)在x轴上找一点C，使是以为底边的等腰三角形，求出C点坐标． (3)一动点P速度为1个单位/秒，沿运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿运动到A点停止，两点同时出发，的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）令，分别求解即可得到，然后利用勾股定理列式计算即可得到、，过点作轴于，然后求出、，再利用勾股定理列式计算求出，然后根据勾股定理逆定理证明即可； （2）设，根据等腰三角形两腰相等利用勾股定理列出方程求解即可； （3）求出点、相遇时的值，然后分点在上，点、都在上重合前和重合后两种情况，点在上四种情况讨论求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，解得， ，，， ∴， ， ， 过点D作轴于点H，则，， 由勾股定理，得， ， 是直角三角形． （2）解：设，， ， ， ， ． 是以为底边的等腰三角形， ， 解得， ． （3）解：由题意，得相遇时，，解得． 当点P在上时，，， ； 若点P，Q都在上且未相遇，则，， 相遇后，； 当点Q在上时，， ． 综上，． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解方法，勾股定理、勾股定理逆定理，等腰三角形两腰相等的性质，难点在于（3）要分情况讨论． 题型02、一次函数与四边形 11．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴的负半轴上，将正方形沿着轴向右平移个单位，得到正方形，且点与原点重合，直线′交轴于点． (1)求正方形的边长； (2)求直线的函数表达式； (3)在线段上是否存在点，使的面积等于，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)P． 【分析】设正方形的边长为，则，根据平移的距离可得，根据正方形的性质可得轴，所以可得，根据相似三角形的性质可得关于的分式方程，解分式方程求出的值，即为正方形的边长； 根据平移的性质可得点的坐标为，又因为点的坐标为，用待定系数法求出直线的解析式即可； 设点的坐标为，则有，，根据，可得关于的方程，解方程求出的值即为点的横坐标． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则， 点的坐标为， ， 正方形平移的距离为， ， 又轴， ， ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 正方形的边长为； （2）解：正方形沿着轴向右平移个单位，得到正方形， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：如下图所示，连接、， 正方形的边长为， 的坐标为，的坐标为， 设点的坐标为， 则有，， ， ， ， 解得：， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、图形的平移，解决本题的关键根据正方形的性质和平移的性质求出边的长度． 12．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，是轴负半轴上一点，连结，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结交轴于点，若点横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)求点坐标； (3)在轴和直线上分别找点，，使得、、、构成的四边形是平行四边形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的解析式为，将，代入之中求出，即可得直线的解析式； （2）过点作轴于，先证和全等得，，进而证和全等得，由此可得，由此可得点的坐标； （3）先求出直线的解析式为，可设点，再设点，根据点、、、构成的四边形是平行四边形，因此有以下两种情况： ①当为平行四边形的一边时，又有两种情况：（ⅰ）当点在的上方时，连接交轴于，则点是和的中点，对于，，则点，对于，，则，由此得方程解出求解，据此解出可得点的坐标；（ⅱ）当点在的下方时，连接，交于点，则点是和的中点；②当为平行四边形的对角线时，连接交于，则点是和的中点．同理分别列方程求出的值得出的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 将，代入，得：，解得：， 直线的表达式为：； （2）过点作轴于，如图1所示： ，，点是与轴的交点，且横坐标为3， ，，， 轴于， ， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）设直线的解析式为：， 将，代入，得：，解得：， 直线的解析式为：， 点在直线上， 设点， 点在轴上， 设点， 点、、、构成的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的一边时，又有两种情况： （ⅰ）当点在的上方时，连接交轴于，如图2所示： 根据平行四边形的性质得，点是和的中点， 对于，，则点， 对于，，则 ， 由，解得， 将代入，得：， 点； （ⅱ）当点在的下方时，连接，交于点，如图3所示： 根据平行四边形的性质得，点是和的中点， 对于，，则点， 对于，，则， ， 由，解得：， 将代入，得， 点； ②当为平行四边形的对角线时，连接交于，如图4所示： 根据平行四边形的性质得，点是和的中点， 对于，，则点， 对于，，则， ， 由，解得：， 将代入，得：， 点． 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． 13．（黑龙江省牡丹江市2024~2025学年下学期九年级综合练习数学试题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，顶点在轴正半轴上，且点的横，纵坐标是方程的两个实数根（横坐标大于纵坐标），将菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，点，，的对应点分别为，，． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒，的面积为，求与的关系式； (3)为直线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当点在上时，；当点在上时，； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）先解出方程，，，则有，所以，再由菱形的性质得，，从而求出点的坐标； （）分两种情况：当点在上时，即，过作轴于点，则，当点在上时，即，过作轴于点，过作轴于点； （）先求出解析式，解析式，设，，再分当以为对角线的平行四边形，当以为对角线的平行四边形，当以为对角线的平行四边形三种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标； （2）解：如图，当点在上时，即，过作轴于点，则， 由（）得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形绕原点逆时针旋转得到菱形， ∴， ∴的纵坐标与的横坐标值相同， ∴， ∴； 如图，当点在上时，即，过作轴于点，过作轴于点， 则， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴； 综上，； （3）解：由上得：，，， ∴，，， 设解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴解析式为，解析式为， 设，， 如图，当以为对角线的平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当以为对角线的平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当以为对角线的平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 14．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）根据可证明； （2）先求出，根据可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：令，；令，， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则点D的坐标为， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：存在，设点Q的坐标为． 由（2）知， ∵动点C在线段上， ∴点C的坐标为， 分两种情况考虑，如图2所示： ①当为边时， ∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0， ∴或， ∴或， ∴点Q的坐标为，点的坐标为； ②当为对角线时， ∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在轴正半轴上，以，为邻边作平行四边形，点的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)为线段上一点，其横坐标为，过点作的垂线，交轴于点，交直线于点 ①如图2，若，求的面积； ②若以C，F，G为顶点的三角形与相似，求a的值． 【答案】(1)； (2)①；②a的值为0或 【分析】（1）利用平行四边形性质求得，进而得出直线的解析式为，即可求得答案； （2）①运用勾股定理可得，，再证得，即可求得，，再运用即可求得答案； ②过点作轴于点，设，可证得，求得，得出，分两种情况：当时，当时，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， 四边形是平行四边形， ，， 在轴上，， ， 直线经过点， ， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， ， ； （2）解：①如图2， 当时，，， ∵，， ∴点E是的中点， 在中，，，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ； ②过点作轴于点，设，如图， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，的值为0或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，分类讨论是解题的关键． 16．（2023·浙江金华·三模）在平面直角坐标系中，若图形与图形中，分别存在点关于直线对称，则称这两个图形“轴对称”．如图，正方形各顶点的坐标分别是，，，．      (1)在点，，中，哪些点与正方形“轴对称”？若是，求k的值． (2)若点与点为“轴对称”，求点的坐标． (3)直线与两坐标轴的交点为，若线段与正方形“轴对称”，求的范围． 【答案】(1)，；，； (2)； (3)或 【分析】（1）画出图形，根据“轴对称”的定义即可求解； （2）求出直线的解析式及交点坐标即可解答； （3）求出两种特殊位置的的值即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点与正方形“轴对称”， 值分别是，    （2）解：如图，在直线上，取点，过点作轴于点，作直线交于点， 过点作轴于点，    ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵直线的解析式为， ∴， ∴解得：， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，连接， 则， 当点D的“轴对称”在上时， 直线与以点O为圆心，长为半径的圆相切时，b取到临界值，如图所示： ，且与圆O相切于点H， 当时， 直线，当时，，当时，， ∴，，   ∴， ∴， 解得， 当点B的“轴对称”在线段上时， 线段与以点O为圆心，长为半径的圆有交点，当点F与点重合时，b取的最小值，如图所示： 此时经过点(0,1)， ∴， ∴此时； 同理当时，可得； 综上可得：或      【点睛】本题考查了几何变换综合题，一次函数的性质，新定义，轴对称变换的性质，理解题意，寻找特殊点是解决问题的关键． 17．（2025·黑龙江七台河·一模）如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式． (3)点P是直线上一点，试在平面内确定一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是菱形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M的坐标为或或或 【分析】先解方程得到，，再求出D点坐标，最后由待定系数法求解析式即可； 分为：当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，分别列面积表达式求解即可； 由点P是直线上一点，设，从而，，再分别判定以A、B、P三点的三角形为等腰三角形，列方程得到P点坐标，再由平行四边形性质推出点M的坐标，注意分类讨论即可． 【详解】（1）解：， 解得，， 、的长分别是方程的两个根， ， 由折叠可知，， ， 则由待定系数法可得直线的直线解析式为 （2）解：当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形， 故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形， 故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积， 即 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为 （3）解：点P是直线上一点，设， 又，， ，， ， ①当时，即，解得， ，， 此时可得， ②当时，即，解得或与A重合，舍去， 即，此时可得 ③当时，即，解得， 即，此时可得 综上，M的坐标为或或或 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，菱形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键． 18．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，、，点E从点C出发，以每秒2个单位长度沿y轴负方向运动，点F从原点O出发，以每秒个单位长度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒．以、为一组邻边作平行四边形，点N在点F右侧2个单位，以为对角线作正方形，（F、P、N、M为顺时针顺序）． (1)时，求的值； (2)当时，求最小值； (3)当时，点P关于所在直线的对称点为Q，当点Q在上时，求t的值； (4)如图2，当时，连接、、、，在点E运动的过程中，若点M、P中恰好有且只有一个点在四边形内部时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）由题意可知当时，，，则，再根据正切的定义即可求解； （2）由题意得，，进而可知，根据正方形的性质得，根据勾股定理可得，即的最小值为4，进而可知最小为2； （3）由（2）可知，，，，根据对称求得，利用待定系数法求得直线函数表达式为，把点坐标带入函数表达式可得方程，解方程即可求解； （4）分两种情况：当点P在四边形内部，当点M在四边形外部或边上，可知，；当点P在四边形外部或边上，当点M在四边形内部，可知，，结合角度的正切值列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当时，，，则， ∴； （2）∵，，， ∴，， ∵点在点右侧2个单位，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，互相垂直平分，且， ∴， 可得， 的最小值为4， 最小为2； （3）由（2）可知，，， ∵四边形平行四边形， ∴，即轴， ∵点关于所在直线的对称点为，则，， ∴，即： 设直线函数表达式为：，代入，，得： ，解得： ∴直线函数表达式为：， 把点坐标带入函数表达式可得： 解得：， 即：当点在上时，； （4）∵四边形是正方形， ∴， 由题意可得，，， 当点P在四边形内部，当点M在四边形外部或边上，可知，， ∴，即， ∴，解之得： 当点P在四边形外部或边上，当点M在四边形内部，可知，， 同理，可得，该不等式组无解 综上所述当时点中恰好有且只有一个点在四边形内部． 【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，轴对称，配方法求最值等知识点，理解题意，正确表示线段长度及点的坐标是解决问题的关键． 19．（24-25九年级上·四川达州·期末）在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标； (2)如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积； (3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为； (3)点或或． 【分析】（1）先推出是等腰三角形，进而设，在中列方程可得； （2）因为，所以根据，求得即可； （3）先根据相似三角形的判定与性质，求得，进而得出点坐标，从而求出的函数关系式，设出点坐标，当是等腰三角形时，以为顶点的四边形可以是菱形，因为在轴上方，所以分为和，三种情形，当时，可根据它列出方程，当时，可先判断得和点纵坐标，进而求得结果，当时，求得结果． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设与交于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式是，把，代入得： ， 解得：， ， 设， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴， ∴， 当时，此时垂直平分， ， ， ， ， 当时， ， ， ，， （舍去），， 综上所述：点或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识和基本方法． 20．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点．将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)直接写出直线的表达式； (2)E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G．当时，求点E的坐标； (3)如图②，若M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或或，见解析 【分析】（1）依题意求出点A，B坐标，求出，求出点C，D的坐标，用待定系数法求解析式； （2）设，则，由轴可得点G的纵坐标为，代入一次函数可得点G的横坐标为，表示出，求出，根据，可得a的值，即可得点E的坐标； （3）分两种情况：①为矩形的边时，②为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：一次函数，令，则，令，则， ∴，即，， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为；； （2）设，则， ∵轴， ∴点G的纵坐标为， 将代入一次函数得：， ∴，即点G的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：①为矩形的边时，如图，分别过点O、M作交直线于N，作交直线于，在分别过点N、作交直线于P，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ∵，点M为线段的中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N为线段的中点， ∵， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， 将代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线得， 解得， ∴； 综上，为矩形的边时，点N的坐标为或； ②为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴轴， ∵四边形为矩形， ∴轴， ∴点N与点C重合， ∴． 综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 21．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与，轴分别交于、两点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上．动点从点出发，沿运动，当点运动到点时，停止运动．已知点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒．        (1)求直线的解析式； (2)设点的运动时间为，求当最小时的坐标及的值； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在轴的右侧，是否存在点使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当最小时的坐标为，的值为 (3)， 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据点的坐标得出，根据题意得出当时，的最小值为：，即可求解； （3）根据点在轴上，点在轴的右侧，设，根据勾股定理求得，分为边时，为对角线两种情况，根据菱形的性质求得点的坐标，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标为，点的坐标为，代入得， 解得： ∴ （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∵点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒． ∴ 当时，等于号成立， 又∵点的坐标为， ∴，此时的横坐标为 ∴的纵坐标为 ∴当最小时的坐标为，的值为 （3）解：设， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴ 设， 当为边时， ∴ ∴或 ∴或 ∴或 ∴ 当为对角线时， ∴ 解得： ∴， ∴， 解得： ∴ 综上所述，， 【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，中点坐标公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与y轴交于点P，与交于点点D为x轴上正半轴一动点，过点D作x轴的垂线与直线，分别相交于E，F两点，过点E作轴的直线交于点． (1)求a的值及的函数表达式； (2)当，求D点的坐标； (3)平面内存在一直线，对于的任意一个数值均可以满足，请直接写出k的取值范围； (4)以，为边作长方形，当点D在运动过程中，试探究M的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，求出该直线解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)是， 【分析】本题考查了求一次函数的图象及性质的应用等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用数形结合分析问题是解决此题的关键． 根据直线过点得出a的值，将B，C两点坐标代入，进一步得出结果； 设点，则，，根据列出，进一步得出结果； 变形可得，从而得出过点，进而根据图象得出结果； 设点，则，，可得出，，根据得出，从而，进一步得出结果； 【详解】（1）解：直线过点， ， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点，与交于点， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：设点，则，， 由得，， 舍去或， ； （3）解：， 当时，， 过点， ，对于的任意一个数值均可以满足， 直线在直线和直线之间， 或； （4）解：M的运动轨迹是一条直线中的一部分，理由如下， 设点，则，， 四边形是长方形， ，， 由得，， ， 由得，， 点M在直线上运动． 题型03、一次函数与圆的综合 23．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或；③ (2)①或；② (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握函数的图象及性质，正方形性质，圆的性质，根据定义确定点在正方形边界上是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可； ②根据定义可得方程，求出的值即可； ③由定义可得，分类讨论求值即可； （2）①设，由题意可得，整理得，分别讨论当时和当时求解即可； ②点在以，，，的正方形上，再结合图象即可求解； （3）由题可知点在以为中心，边长为的正方形上，根据题意得出，讨论当时，满足即可；当时，只需即可；再利用对称性得出的情况． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由题意得：， ， 解得：或， 故答案为：或； ③点是直线上的一个动点， ， ， 当时，， 解得：， 则； 当时，恒成立， 当时，， 解得：， 则； 综上，当时，； （2）解：①点在图象上， 设， ， ， ， ，即， 当时，，解得或， 当时，，解得（舍)或（舍)； 或； ②由，， 可知点在以，，，的正方形上， 如图1，当点为时，有最小值， 当点为时，有最大值， ； （3）解：， 点在以为中心，边长为的正方形上， ，圆的半径为1， ， ， ， 当时，如图2，， ， ； 当时，如图3，只需即可， ， ； 由对称性，同理可得； 综上所述：或． 24．（23-24九年级上·北京西城·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． (1)图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为， ①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ； ②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围； (2)图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①、；② (2) 【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可； ②当直线经过点时，可得b的最小值，当直线经过点时，可得b的最大值，由此可解； （2）当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值，列出不等式分别求得t的最小值和最大值即可． 【详解】（1）解：①如图1，∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴绕着点逆时针旋转得到的对应点在线段上， 绕着点顺时针旋转得到的对应点在线段上， 线段上不存在点Q，使得，绕着点Q旋转得到的对应点在线段上， ∴、是线段的“关联点”， ，不是线段的“关联点”， 故答案为：、； ②如图2，当直线经过点时，可得b的最小值， 当直线经过点时，可得b的最大值， 把代入，得， 解得； 把代入，得； 解得； ∴b的取值范围为； （2）解：根据“关联点”的定义可知：当线段与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值， 则， 解得 ∴t的取值范围为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转变换，圆的性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 25．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直线经过点，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结． (1)求出b的值及直线的函数表达式． (2)在线段上取点，连结并延长交于点，连结交于点， ①若，求证：． ②当等于中的某一个角时，求的长． (3)点P关于直线的对称点P′恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为______． 【答案】(1)5； (2)①证明见解析；②BP的长为5或 (3)60 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①连接，利用平行线的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质定理解答即可； ②利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：当时，利用对顶角的性质，圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；当时，利用圆周角定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例和勾股定理解答即可； （3）连接，利用轴对称的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 直线的解析式为， 令，则， ． ． ， ， ， ． 设直线的函数表达式为， ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：①连接，如图， ∵， ， ， ． 为的直径， ． 在和中， ， ， ． ， ； ②当时， ，， ， ， ． ． ， ， ， 即． ，，， ， ， ； 当时， ， ， ∴， ， ∴， ． ， ． 综上，当等于中的某一个角时，的长为5或； （3）解：连接，如图， 点关于直线的对称点恰好落在上， ． ，， ． 为的直径， ． 在和中， ， ， ， ． ， 四边形的面积为60． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，连接直径所对的圆周角和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 26．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点． (1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长； (2)如图2，已知直线 分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以点为圆心， 为半径画圆． ①当点与点重合时，求证：直线与相切； ②设与直线相交于两点，连结．问：是否存在这样的点，使得 是等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明过程见详解；②存在，点的坐标为或，理由见详解 【分析】（1）如图所示，过点作轴于点，连接，由等腰三角形的定义，圆的切线的性质，垂径定理即可求解； （2）①根据题意得到，，如图所示，过点作于点，可得，结合切线的判定即可求解； ②根据题意得到直线，即直线的解析式为，根据是等腰直角三角形，得到，，，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点，连接， ∵点是切线，过点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即的半径为， ∴的直径为； （2）解：①证明：直线 分别交轴和轴于点和点， 令时，，令时，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵以点为圆心， 为半径画圆，点与点重合， ∴即为的半径，且点为半径外端点，， ∴直线与相切； ②存在，理由如下， 已知， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线，即直线的解析式为， 已知设与直线相交于两点，当点与点重合时，直线与相切， ∴点的横坐标大于，即点在点的上方， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， 如图所示，当点在位置时， ∴， ∴， ∵点在直线的图象上，点在直线的图象上， ∴设， ∴，， ∴， 已知以点为圆心， 为半径画圆， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当点在位置时，设两直线的交点为，故点作轴，交所在直线于点，交所在直线于点， ∴， 解得，， ∴，则，， ∵， ∴轴，轴，， ∴，则，且， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，，则， ∴， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴根据对称的性质得到； 综上所述，存在，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与圆的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，圆的切线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称图形的性质等知识的综合，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 27．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”，在平面直角坐标系中，的半径为1． (1)如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； (2)直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； (3)直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为d．请直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）由题意得，若将绕着点R旋转后的圆记作，则经过，点在弦的垂直平分线上，且的半径与的半径相等，“割圆点”R在线段的垂直平分线于弦所在的直线的交点，由，得到不是关于的“割圆点”的线段；确定点为中点，而的垂直平分线于平行，故不是关于的“割圆点”的线段；对于线段，先确定点为中点，“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，可求直线表达式为：，把代入得即可； （2）可求直线表达式为，为等腰直角三角形，则，，找到两个临界位置，当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上，则，代入直线，可求，因此可求的取值范围； （3）可求，由于直线l经过点，以直线分析，由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦，连接，，，第一种情况，当线段在点H异侧时，此时，当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，则可求得，同理得，因此，但是取不到，故；第二种情况，当线段在点H同侧时，当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，则，当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，连接，可求，故，综上即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得，若将绕着点R旋转后的圆记作，则经过， 则， ∴点R在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∴点为中点， ∵的垂直平分线与平行， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得圆心在弦的垂直平分线上，且根据旋转的性质， 得， ∴点即为中点， 由题意得“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，如图： ∵，， ∴设直线表达式为： ， 代入得：， 解得， ∴直线表达式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴是关于的“割圆点”的线段， 故答案为：，； （2）解：将代入得， ∴直线表达式为， 当时，， ∴， ∴， 由题意知点R为的垂直平分线与直线的交点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而，， ∴， 当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，如图： 当点Q向上运动时，点R也向上运动，此时，如图： 当点Q运动到时，即的垂直平分线与直线平行，此时正无穷大，如图： ∴， 当点Q继续向上运动一点时，的垂直平分线与直线交点在第三象限很远处， 此时负无穷大，如图： 当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上， ∴，代入直线得：， ∴， ∴， 综上所述：或； （3）∵点， ∴， ∵直线l经过点，以直线分析， 由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦， 连接，， ∵经过圆心，点M为中点， ∴， ∴， 当减小时，增大直至等于，如图： 第一种情况，当线段在点H异侧时， 当点与点M重合时，此时，如图： 当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，如图： 则，同理， ∴，但是取不到， ∴； 第二种情况，当线段在点H同侧时， 当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，如图： ∴， 当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，如图，连接， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，旋转的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握应用上述知识点，正确理解题意，找出临界位置是解决本题的关键． 28．（2024·江苏南京·模拟预测）定义：当点在射线上时，把的值叫做点在射线上的射影值；当点不在射线上时，把射线上与点最近点的射影值，叫做点在射线上的射影值．例如：如图（1），三个顶点均在格点上，是边上的高，则点和点在射线上的射影值均为． (1)在中，下列说法： ①点在射线上的射影值小于1时，则是锐角三角形； ②点在射线上的射影值等于1时，则是直角三角形； ③点在射线上的射影值大于1时，则是钝角三角形． 其中，正确说法的序号是___________． (2)是射线上一点，，以为圆心，为半径画圆，是上任意点． ①如图（2），点在射线上的射影值为，求证：直线是的切线． ②如图（3），已知为线段的中点，设点在射线上的射影值为，点在射线上的射影值为，直接写出与之间的函数关系式． 【答案】(1)②③ (2)①见解析；②（） 【分析】（1）根据射影值的定义一一判断即可． （2）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得，由相似三角形的性质可得，根据切线的判定定理可得答案；②图形是上下对称的，只考虑B在直线上及上方部分的情形．分两种情况考虑：当时，设，根据，可得，根据，得，根据，得，得；当时，y不存在． 【详解】（1）解：①错误．点B在射线上的射影值小于1时，可以是钝角，故不一定是锐角三角形； ②正确．点B在射线上的射影值等于1时，，是直角三角形； ③正确．点B在射线上的射影值大于1时，是钝角，故是钝角三角形； 故答案为：②③． （2）解：①如图1，作于点H， ∵点B在射线上的射影值为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； ②图形是上下对称的，只考虑B在直线上及上方部分的情形． 过点D作，作，    当时，如图2， 设， ∵D为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴①， ∵， ∴②， ①②消去h，得； 如图3，当点N与点O重合时，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 当时， 点B与点A重合，点D与点M重合，点D在中点， ∴， ∴； 当时，不存在， ∴y不存在． 综上所述，（）． 【点睛】本题考查新定义——射影值．熟练掌握射影值的定义，相似三角形的判定和性质，圆切线判定，勾股定理，面积法求三角形高，分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题，添加辅助线，是解题的关键． 29．（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． (1)如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； (2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（1）①作直线，根据垂径定理可知，则可得点在以为圆心，1为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心，由题意可知直线与圆相切，过点作垂直直线交于点，先证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由（1）可知，点在以为直径的圆弧上，由题意可得直线与圆弧相交或相切，分两种情况求出的值，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：①作直线， ∵点是弦的中点， ， ， ∴点在以为直径的圆上， ， ∴点在以为圆心，1为半径的圆上， ∵点在该圆上， ∴点是关于的“弦中点”， 故答案为：； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心， ∵直线上只存在一个关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切， 过点作垂直直线交于点， 当直线与轴交于正半轴时， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当直线与轴交于负半轴时，同理可得， 综上所述，的值为或； （2）解： 由（1）可知，点在以为直径的圆弧上， ∵直线上存在关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切或相交， 过点作垂直直线交于点，当直线经过点时，m取得最大值， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ∴圆的半径为3， ，， ， ， ； 当直线经过点时，m取得最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点作 ， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：． ∴的取值范围． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，勾股定理等，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点的运动轨迹是解题的关键． 30．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，N；对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． (1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”． ①当N坐标为，在图中画出点Q，连接，交线段于点T，求的值； ②当N为线段延长线上任意一点，连接，交线段于点T，是否为定值？ (2)的半径为t，M是上一点，点N在线段上，若点N与点O重合，P为外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）． 【答案】(1)①图见解析，，②是定值 (2) 【分析】（1）①根据定义求出点，点Q的坐标，画出图形，连接，证明四边形是平行四边形，可得结论； ②设，求出点坐标，进而求出直线的解析式，进而求出的坐标，求出的值即可； （2）连接并延长至点，使，连接 ，推出点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，可得结论． 【详解】（1）①解： 是由点向右平移 个单位长度，再向上平移个单位长度得到的； ， ， 的横坐标为： ；纵坐标为：，， ， 图形如图1所示： 连接，交线段于点， 连接． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②∵，则：直线的解析式为：， 设， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则：， ∴， ∴， 联立，解得：， ∴， ∴， ∴为定值； （2）解：连接并延长至点，使，连接 ，如图： 由的定义可知： 关于点 对称 点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆 点的轨迹构成的图形的面积为： 【点睛】本题坐标与图形，中心对称，一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平移与中心对称的性质是解题的关键． 考点二、一次函数常考压轴问题 题型01、一次函数中的分段函数问题 31．（2023·浙江金华·模拟预测）在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为和（其中t为常数且），将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为；将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为，将和及原函数图象剩余的部分组成新的图象G． 例如：如图，当时，原函数，图象G所对应的函数关系式为． (1)当时，原函数为，图象G与坐标轴的交点坐标是 ． (2)对应函数（n为常数）． ①时，若图象G与直线恰好有两个交点，求t的取值范围． ②当时，若图象G在上的函数值y随x的增大而减小，直接写出n的取值范围． 【答案】(1), (2)①；②或或 【分析】（1）根据题意分别求出翻转之后部分的表达式及自变量的取值范围，将代入，求出值，即可求出图象与坐标轴的交点坐标； （2）①将代入到函数中求出原函数的表达式，计算时，的值，根据图象可得，函数与恰好有两个交点时大于右边交点的横坐标且大于左边交点的横坐标，据此求解；②画出函数草图，分别计算函数左边的翻转点，右边的翻转点，函数的顶点的横坐标（可用含的代数式表示），根据函数草图以及题意列出关于的不等式求解即可。 【详解】（1）解：当时，， 当时，翻折后函数的表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：翻折后函数的表达式为： 当时，，即函数与轴交点坐标为： 同理沿翻折后函数的表达式为：， 函数G与轴交点坐标为：， ∴图象G与坐标轴的交点坐标是：,． （2）解：①时， 当时， 解得：， ∴若图象与直线恰好有两个交点，则； ②函数的对称轴为直线， 令，则， 当时，点、、的横坐标分别为：、、， 当在轴左侧时， 此时原函数与轴的交点坐标在的左侧， 如下图所示： 则函数在段和点右侧， 故：或，即：或， 解得：或，即：或； 当在轴右侧时，， 同上可求得：或； 当时，，图象G在上的函数值y随x的增大而减小， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查二次函数和对称性和增减性，解此题的关键在于数形结合思想与分类讨论思想，解决二次函数的最值问题取决于开口方向和对称轴，先看开口，再看对称轴，再根据图象分析增减性，从而得出答案． 32．（2022·浙江金华·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图① 是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图② 所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． (1)在图③ 中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． (3)已知，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，求n的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图像即可； （2）分直线过“镜面函数”图像与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）先求出的“镜面函数”解析式，再分以及顶点在上的情况和时，列出不等式求解即可． 【详解】（1）如图，即为函数的“镜面函数”的图像 （2）如图， 对于，当时， 函数与轴的交点坐标为 当直线经过点时，； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得，， 此时，， 解得， 综上，的值为或； （3）函数的“镜面函数”解析式为， 当时，， ∴， 解得，； 当的顶点在上时， 解得或（舍）， 此时，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边有5个交点，不合题意， ∴ 当时， ∴ 解得，； 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】(1)图象见解析； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意作出相应函数图象， （2）由一次函数解析式确定点A的坐标即可,然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）对的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 该“V”形图象的函数表达式为 （2），当时，， ∴点的坐标为 由图可得：线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴的面积； （3）∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时，当，则对称轴为直线， ∵， 由图象可知， 解得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 34．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“友好函数”为 ； (2)已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 (4) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解答本题的关键． （1）依据题意，根据“友好函数”的定义，由当时，，从而当时，，进而可以得解； （2）依据题意，分和，结合点在该一次函数的“友好函数”的图象上，进而建立方程求出，即可得解； （3）依据题意，分和，根据一次函数的性质求出最大值和最小值即可； （4）依据题意，画出一次函数的“友好函数”的图象，进而结合直线与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，根据“友好函数”的定义， 当时，， 当时，， 故答案为：； （2）解：由题意，当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，符合题意； 当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，不符合题意； 综上，； （3）解：当时，，随的增大而减小， 当时，有最大值为，当时，有最大值为； 当时，，随的增大而增大， 当时，有最小值为，当时，有最大值为； 综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为，最小值为； （4）解：由题意，画出一次函数的“友好函数”的图象如下： 直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点， ． 35．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． (1)已知点，B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“非常距离”为4，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)已知C是直线上的一个动点， ①如图2，若，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3，若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点C与点E的“非常距离”的最小值为1，直接写出点E的坐标和b的值． 【答案】(1)①点的坐标是或；②3 (2)①；②， 【分析】（1）①根据点位于轴上，可以设点的坐标为，由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得的值； ②设点的坐标为．因为，所以点与点的“非常距离”最小值为3； （2）①设点的坐标为．根据材料“若，则点与点的“非常距离”为”知，两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点的坐标； ②根据“非常距离”的定义，点在过原点且与直线垂直的直线上，此时点与点的“非常距离”是与的纵坐标的差，值为1，据此求出的坐标及b值． 【详解】（1）解：①∵为轴上的一个动点，点， ∴设点的坐标为， ， ∴，解得：或； ∴点的坐标是或； ②设点的坐标为， ， ∴当时，点与点的“非常距离”为3；当时，点与点的“非常距离”为； ∴点与点的“非常距离”的最小值为3； （2）解：①若，则直线， 如图，当点与点的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义，若，则点与点的“非常距离”为，此时．即， ∵是直线上的一个动点，点的坐标是， ∴设点的坐标为， ， 此时，， ∴点与点的“非常距离”的最小值为：， 此时； ②如图，当点在过原点且与直线垂直的直线上，此时点与点的“非常距离”最小值为， 过 E 作轴，连接， 设与轴交于， 则， ， ， ， 对于，当时，， ， ， 当时，， 解得：， ， ， 设（点位于第一象限）． 则， 解得：， 故， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，读懂“非常距离”是解题的关键． 36．（24-25九年级上·四川成都·期末）函数某数学兴趣小组一起研究函数的性质，组员甲说：“可以用列表描点连线的方法画一画函数图象，然后通过观察函数图象分析函数性质”；组员乙说：“这个函数含有绝对值，可以分类讨论化简，因此这个函数也可以写成”； 组员丙说：“因为，所以当时，函数有最小值”； 组员丁说：“我已经画出了函数的草图，是个“”字形，随着的增大，函数值先减小后增大”； 组员戊说：“函数图象是轴对称图形”． 他们说的都有道理，请根据几位同学的观点，解决下列问题． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是，若，请在此坐标系中作出函数图象，并标记图象与坐标轴交点的坐标； (2)在（1）的条件下，当，设函数最大值为，最小值为，求的取值范围； (3)将函数图象向上平移后与轴有唯一交点A，与轴交于点，点为函数图象上的点，若以、、为顶点的三角形与相似，求所有满足条件的点坐标． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)P点坐标或或． 【分析】本题考查了函数图象的探究，相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数图象的性质与相似三角形的判定与性质和分类讨论思想是解题的关键， 把代入函数，可得函数解析式为，当时，，当时，，分类讨论求解即可； 设，分类讨论，分三种情况进行讨论：当即时；当时；若时；根据函数的增减性进行求解即可； 先得出函数过定点，将函数向上平移个单位得，与轴唯一交点，易得函数关于直线对称，再分类讨论，画出符合题意的图形求解即可； 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，可得：， 解得：， 图象与轴交点， 当时，可得：， 图象与轴交点为， 当时，， 当时，可得：， 解得：， 图象与轴交点为；     （2）解：设，， 若即时， ，在函数上， 函数值随增大而减小， 当时， 函数最大值为， 函数最小值为， 函数最大值与最小值差； 当时， ，在函数上， 函数值随增大而增大， 当时， 函数最大值为， 函数最小值为， 此时，函数最大值与最小值差； 若时， 分别在函数和上， 当， 当时函数在点处取最小值， 此时，函数最大值为为或， 若即时，， 最大值与最小值差， 当或时，与中较大的值大于， 此时，函数最大值与最小值差， 综上所述：； （3）解：函数过定点， 由知函数最小值为， 如图将函数向上平移个单位得，与轴唯一交点， 当时，与轴交点为， 当时，，为图象上一点； 显然图象关于直线对称， 以，，为顶点的三角形与相似， 若， 由对称性可知， 为等腰直角三角形， ， ， 当轴时，， ， 满足， ， ， 解得：， ； 若， 由对称性可知， 在中， ， 当时，满足， ， ， ，， 解得， 当时， 可得：， ， ， 满足， ，， 解得， 综上所述，P点坐标为：或或． 题型02、一次函数自定义问题 37．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形K和图形W，给出如下定义：R，S分别为图形K和图形W上任意一点，将R，S两点间距离的最小值称为图形K和图形W之间的“关联距离”，记作．例如，如图1，点与y轴之间的“关联距离”． 【理解概念】 （1）如图1，点在边长为5的正方形内，则d（T，正方形）=________； 【深入探索】 （2）如图2，一次函数图象与y轴交于点E，与x轴交于点F，若点和一次函数的图象之间的“关联距离”，求m的值； （3）如图3，在等边中，点A的坐标是，点B，C在y轴上，点H是x轴上一点，若，请直接写出点H的坐标． 【拓展延伸】 （4）在中，，，，当时，对于每一个n，若和一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）2；（2）m的值为或；（3），，；（4）且 【分析】（1）根据“关联距离”的定义求解即可； （2）根据题意得点在直线l即上，过点G作，连接，结合图形，利用勾股定理及等面积法求解即可得出结果； （3）分三种情况画出图形：当H在右侧时，当H在线段上时，当H在左侧时，作出相应图形求解即可； （4）根据题意得出直线过定点，作出，确定当时，平移到，然后结合图形即可求解． 【详解】解：（1）与边长为5的正方形的边上的点的最小距离为2， 根据“关联距离”的定义得：d（T，正方形）， 故答案为：2； （2）根据题意得点在直线l即上， 过点G作，连接，如图所示： ∵， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴； 当时， 解得： ∴，结合图形得： 点与点G关于点C对称， ∴， ∴； 综上可得或， 即m的值为或； （2）当H在右侧时，如图：   ， ， 的坐标是， 的坐标是； 当H在线段上时，过H作于D，如图：   ， ， 是等边三角形，， ， ， 的坐标是， ， 的坐标是； 当H在左侧时，如图：   ， ， ； 综上所述，H的坐标为或或； （3） 当时，， 直线过定点， 当时，，，， 当时，，，， 做出相应图形为： 当时，平移到， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 解得， ∴结合图形得， ∴且． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等边三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用． 38．（2025·湖南长沙·一模）为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”． (1)判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由． (2)若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值． (3)已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值． 【答案】(1)有，“双减点” (2) (3)或 【分析】本题为函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数与一次函数，利用二次函数的性质分类讨论是解题的关键． （1）利用“双减点”的概念，代入，解方程即可； （2）由题意得“双减点”P在直线上，设点C、D坐标分别为，，列方程，用根与系数的关系即可解答； （3）列方程，根据根的判别式，可得之间的关系，即可解答． 【详解】（1）解：令， 解得， ， 存在“双减点”； （2）解：“双减点”P在直线上， 设点C、D坐标分别为，， 令化简得， ，且直线与轴的夹角为， ， 由根与系数的关系可得，， ， ， 解得：，此时的， ； （3）解：令，由于“双减点”唯一， 此方程，， 即，n为m的二次函数 当时，n的最小值为t， 若，则，此时t无解； 若，则，解得：， 若，则，解得：，（不合题意舍去）， 综上，或. 39．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，对于点 P，点 Q，若，，其中t为常数，则称点Q是点P的“t级变换点 ”．例如：点是点的 “级变换点 ”．若图形A与图形B上存在“t级变换点 ”，则称这两个图形是“t级变换图形 ”． (1)下列属于“ 1 级变换点 ”的是 ．（填写序号） 与，与，与 (2)已知矩形的顶点A，B，C，D． 若在图像上存在点M与矩形中顶点C是“0级变换点 ”，求k的值． 若直线与矩形是“t级变换图形 ”，求t的取值范围． 若抛物线与矩形是“t级变换图形 ”，且恰存在4对“t级变换点 ”，求t的取值范围． 【答案】(1)①② (2)① ② ③ 【分析】（1）根据“t级变换点 ”定义，分别求出的值，即可求解； （2）①根据“0级变换点 ”定义，求出M坐标，即可求解；②根据“t级变换点 ”定义，分别求出的“t级变换点 ”，即可求解；③根据“t级变换点 ”定义，分别求出的“t级变换点 ”，再利用图像平移变换特征即可求解． 【详解】（1）解：与， ∵， ∴与是“ 1 级变换点 ”， 与， ∵， ∴与是“ 1 级变换点 ”， 与， ∵，， ∴与不是“ 1 级变换点 ”， 故答案为：①②； （2）解：①由题意得： ∵C的“0级变换点 ”是点M， ∴， ∵在图像上存在点M， ∴； ②∵矩形的顶点A，B，C，D， ∵直线与矩形是“t级变换图形 ”， ∴A的“t级变换点 ”是，B的“t级变换点 ”是， C的“t级变换点 ”是，D的“t级变换点 ”是， ∴当在上，得：，解得：， 当在上，得：，解得：， 当在上，得：，解得：， 当在上，得：，解得：， ∴； ③∵抛物线与矩形是“t级变换图形 ”， ∵A的“t级变换点 ”是，B的“t级变换点 ”是， C的“t级变换点 ”是，D的“t级变换点 ”是， 又∵恰存在4对“t级变换点 ”， ∴当抛物线右端在点C的“t级变换点 ”左边，在D的“t级变换点 ”右边即可， 当过点，即：（舍）或， 当过点，即：（舍）或， ∴综上所述：t的取值范围为． 题型03、一次函数与图形面积 40．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)图见解析，抛物线 (2) (3)或 【分析】（1）按要求画出点，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，即可判定曲线的类型； （2）由勾股定理建立方程，整理后即可得x，y满足的函数关系式； （3）由的横坐标可求得的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，求出与y轴的交点坐标，则可求出的面积；设直线与直线交于点B，则可求得；而由点P的横坐标得，进而求出线段，则可求出的面积，由的面积不超过的面积的一半，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的范围． 【详解】（1）解：如图所示， 则L是抛物线； （2）解：由题意轴，则， ， 而，， 由于，由勾股定理得：， 即， 整理得：； （3）解：由题意知，当时，；当时，； 即； 设过的直线解析式为，则有，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，则，即直线与y轴交点为， ； 设直线与直线交于点B，则；而， ， 故， 由题意得， 即， ∴， 解不等式得：或； 即a的取值范围为：或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数与面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与不等式，勾股定理等知识，综合性强，运算量大，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 41．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 【详解】（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 42．（2023·浙江温州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．    (1)求和的值； (2)当与中的一个角相等时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点，将点绕点逆时针旋转至点，若点到轴的距离恰好等于的长，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入求出k的值，得出一次函数解析式，将代入求出a的值即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）连接，，过点作于点N，于点M，证明，得出，证明四边形为正方形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，得出，设，则，证明，得出，即，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：将代入， 解得． 将代入，得． （2）解：①当时，点与点重合，舍去 ②当时，此时，过点作于点，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 即， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴； ③当时，作于点    ∵平分，，， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知，或； （3）解：连接，，过点作于点N，于点M，如图所示：        由题意可得，， 根据旋转可知，且， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形相似的判定和性质，求一次函数的函数值，解题关键是数形结合，画出相应的图形，作出辅助线，注意进行分类讨论． 43．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图直线l的解析式为，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（）． (1)填空：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ； (2)以为对角线作矩形，记的面积为，记和的重合部分的面积为； ①尝试用含t的代数式分别表示、； ②在直线m的运动过程中，当t为何值时， ． 【答案】(1)，，； (2)①，当时，，当时，；②当t为或时， 【分析】（1）先求解，；再利用三角形的面积公式计算即可； （2）①证明，可得，，证明四边形为正方形，可得，当落在上时，如图，可得：，分当，记直线与，的交点为，，当时，，再进一步解答即可；②当时， ，，当时，，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， 令，得， 令，得， ∴，； ∴； （2）解：①∵，； ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当落在上时，如图， ∴， 解得：， ∴当， ∴， 当时， 同理：， ∴， 记直线与，的交点为，， 同理可得：， ∴ ， ∴，当时，，当时，； ②当时， ，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 当时，； ∴， 解得：， ∴，（不符合题意舍去）， 综上：当t为或时， ． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，列二次函数关系式，一元二次方程的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 题型04、一次函数与角度问题 44．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可得：，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵点C 的坐标为， ∴设直线的函数表达式为， 则，解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 如图：设D的坐标为，则， 则，解得：或4． ∴点D的坐标为或． （3）解：∵，， ∴，， 如图：过C作且， ∴是等腰三角形，即, 过G作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P． 综上，点P的坐标为或． 45．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作轴交直线AD于点E． (1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径； (3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值； (4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到，连结，如果，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）． 【答案】(1)y关于t的函数关系式为，或 (2)当t为或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为或12 (3)当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为或8或或10 (4) 【分析】（1）由勾股定理求出AD，分两种情况，由平行线得出比例式求出AE，得出DE即可； （2）作EM⊥OD于M，则EM=4-t，由平行线得出比例式，得出，，当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：①当0＜t＜4时；②当t＞4时；得出方程，解方程即可； （3）当0≤t≤4时，由PE=DE，得出方程，解方程即可；当t＞4时，分三种情况：①当时，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当PE=PD时，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当PE=DE时，得出方程，解方程即可；即可得出结果； （4）设直线AD交于F，连接，则AF⊥，证明△AOD∽△BFD，得出比例式求出，得出，证明，得出比例式求出，即可得出t的值． 【详解】（1）解：∵A（0，4），B（5，0），D（3，0）， ∴OA=4，OD=3， 由勾股定理得：， ①当0≤t≤4时， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ②当t＞4时，； 综上所述，y关于t的函数关系式为，或； （2）解：如图1所示：作EM⊥OD于M，则EM=4-t， ∵， ∴， 即， 解得：， 当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况： ①当0＜t＜4时，， 解得：，此时； ②当t＞4时，， 解得：t=16，此时12； 综上所述，当t为或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为或12； （3）解：当0≤t≤4时，由PE=DE， ∴， 解得：； 当t＞4时，分三种情况：如图2所示： ①当时， 由勾股定理得：， 即， 解得：t=8； ②当PE=PD时， 由勾股定理得：， 解得：，或t=4（舍去）； ∴； ③当PE=DE时， 解得：t=10； 综上所述：当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为或8或或10； （4）解：设AD交于F，连接，如图3所示： 则AF⊥， ∴∠AOD=∠BFD=90°， 又∵∠ADO=∠FDB， ∴∠OAD=∠FBD，△AOD∽△BFD， ∴，即， ∴， ∴， ∵，∠OAD=∠FBD， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、平行线分线段成比例定理、切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）和（4）中，需要进行分类讨论和作辅助线证明三角形相似才能得出结果． 46．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，点，分别是一次函数与轴，轴的交点，为线段的中点，点是直线：上一点，连接，，且轴． (1)求，两点的坐标； (2)若，求的值； (3)连接，是否存在值，使得，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，一次函数的图象和性质，正方形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据一次函数的图象和性质，即可求出，的坐标； （2）根据一次函数的图象和性质，得，，求出，根据，，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，求出点，根据点是直线：上一点，即可； （3）过作于，根据正方形的判定和性质，则四边形是正方形，得到，设，，延长到，使，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，根据， 得到，再根据全等三角形的判定和性质，可得 ，推出，根据勾股定理，求出，根据点是直线：上一点，即可． 【详解】（1）解：∵点，分别是一次函数与轴，轴的交点， 当，；当时，； ∴，． （2）解：设直线和的交点为点 ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∵点是直线：上一点， ∴， ∴． （3）答：存在，理由如下： 如图，过作于， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，， 延长到，使， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点， ∵点是直线：上一点， ∴， 解得：． 47．（24-25九年级上·重庆万州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交坐标轴于A、B两点，其中，，直线分别交坐标轴于C、D两点，直线l1与l2的交点为E．已知，且． (1)求直线的解析式和点E坐标； (2)如图2，若点P为线段上的一个动点（不与C、E两点重合），点R为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，当四边形的面积最小时，求出周长的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将直线绕点P顺时针旋转，与直线交于点F，连接，若在直线上存在点M，使得，请直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）证明，是等腰直角三角形，则可求A、B、C、D的坐标，然后根据待定系数法求出直线、的解析式，再联立方程组并解方程组即可求出点E的坐标； （2）证明，设，则，根据可求出，根据二次函数的性质得出当时，有最大值，此时，由两点间距离公式求出，作关于x轴的对称点，连接，，则，故当、R、B三点共线时，最小，则最小，即的周长最小，即可求解； （3）过B作交于Q，过Q作于K，过P作于L，证明，可求出，，进而求出，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，可求出，然后分两种情况讨论：当M在E的左侧时，判断和关于直线对称，则M和F关于直线对称，即可求出M的坐标；当M在E的右侧时，即为，可得出，根据等角对等边得出，根据三线合一得出，然后根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴； （2）解：同（1）可证， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴， 作关于x轴的对称点，连接，， ∴， ∴当、R、B三点共线时，最小，则最小，即的周长最小，最小值为． （3）解：过B作交于Q，过Q作于K，过P作于L， 则， ∴， ∵直线绕点P顺时针旋转， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， 当M在E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴和关于直线对称， ∴M和F关于直线对称， ∴； 当M在E的右侧时，即为，如图 则， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 综上，M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论，构造全等三角形是解题的关键． 48．（24-25九年级上·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为的中点，点D在线段上（），连接，将绕点C逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，． (1)求的值； (2)如图，当点恰好落在y轴上时，交y轴于点E，求证：； (3)当点D的坐标为，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 【分析】（1）根据直线的解析式求出A、B两点坐标，再利用勾股定理求出长即可； （2）先证，得出，推出，又，即可求证； （3）分在y轴左边和y轴右边两种情况分别求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点， ∴，， 即，， ； （2）解：如图1， 由旋转的性质可得， 又， ∴， ∴， ∴， 又∵， ； （3）解：∵C为的中点， ∴，， 设， ①当在y轴左侧时，如图2，此时， 过点作轴于点M，过点C作，交的延长线于点N， ， ∴， ∴， ∴， ，① ，， ， 由勾股定理，得， 即，② 联立①②，解得或， ， ； ②当在y轴右侧时，如图3，此时， 过点作轴于点M，过点C作于点N， 同理可得：， ∴， ，① ，， ， 由勾股定理，得， 即，② 联立①②，解得或， ， ∴； 综上，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识是解题的关键． 题型05、一次函数实际应用问题 49．（2024·江苏南京·模拟预测）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车速度是慢车速度的倍．在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像； (2)若慢车出发时与快车第次相遇． ①求快车从出发到返回甲地所用的时间； ②当两车第次相遇的地点距离乙地时，的值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意读懂函数图像是解题的关键． （1）根据题意可知快车和慢车的函数图像在时第一次相遇交于，因此借助慢车的函数图像确定点的位置，把连接点与并延长交直线于，然后对称作出快车返回甲地的函数图像即可； （2）①慢车的速度为，快车的速度为，根据快车出发两车相遇列出方程求出，根据路程速度时间得到，根据题意可得．设的函数表达式为，进而求出，然后求出当时，的值即可得到答案；②由①知，快车从出发到返回甲地所用的时间为小时，则快车到达乙地的时间为，则，结合当两车第次相遇的地点距离乙地可求出，根据路程速度时间，即可求解． 【详解】（1）解：慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发， 快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像过 设慢车的速度为，则快车的速度为， 根据题意，两车第一次相遇时：， 解得：， 即两车第一次相遇的时间为，设两车的离甲地的距离（单位：）与时间的函数图像交于点，连接，并延长交所在直线于点，过点作轴于点，由于快车到达乙地后保持原速沿原路返回甲地，则快车返回甲地的图像应为关于对称的线段，设线段与慢车的图像交于点， 如图，即为所求所作； （2）①慢车的速度为，快车的速度为， 根据题意得：， ， ， ， 设的函数解析式为， 将代入得：， ， 的函数解析式为， 令，则， 解得：， 快车从出发到返回甲地所用的时间为小时； ②由①知，快车从出发到返回甲地所用的时间为小时， 则快车到达乙地的时间为，则， 当两车第次相遇的地点距离乙地， ， ， 故答案为：． 50．（2024·浙江杭州·一模）如图是某兴趣小组自制的画圆工具的侧面示意图． 【工具组成】一个装满细沙并直立于水平面的圆柱铁桶，截面示意图为矩形，桶高．两根直木棍分别长和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶内．用一条长的细绳连接P，E并拉直． 【工具使用】移动木棍，使点F绕点C旋转一周画圆．经多次操作发现，为使木棍能稳定直立于细沙中，需满足． 问题1：当长为多少时，画出的圆的半径为？ 问题2：设为x，画出的圆的半径为r，求r关于x的函数表达式与r的最大值． 问题3：以下是两位组员的对话，请根据对话解决问题． 【答案】（1）当长为时，画出的图的半径为；（2），的最大值为；（3）不能，理由见解析，细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本知识，求一次函数解析式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作，先求解出，根据勾股定理求出，即可求解； （2），圆的半径，则，，在中， ，则，可得，得解； （3）当时，则，解得：，不在则可判断，由题意可知，为了使细绳减小最少，当时，应最大，当时，最大，则取最大，则，求得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作，则四边形为矩形， ， ∴，， ∴， 由题意知，， 又∵ ∴在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴当长为时，画出的图的半径为； （2）∵，圆的半径， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴即， 当时，的值随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，则取得最大值为： ； （3）目前的绳长不能作出一个半径为的圆，理由如下： 当时，， 解得：， ∵， ∴不能作出一个半径为的圆， 由题意可知，为了使细绳减小最少，当时，应最大， ∴当时，最大，则取最大， ∴， ∴， ∴细绳最少减小， 即细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． 51．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定酒精喷雾机的有效杀菌距离? 素材1 图1是一款电动酒精喷雾机、其上下 喷孔相距、L是一竖直放 置的平面．喷雾机正对平面喷雾时（如图2）、平面上会形成两个半径为的圆形痕迹（如图3），喷洒后酒精均匀分布、当点与平面的水平距离时，（取3）    素材2 不考虑喷洒过程中酒精在空气中的损耗，喷雾机两孔一次共可喷出酒精．查询资料可知，杀菌百分比和喷洒密度的关系如图4所示．    素材3 经过一次喷洒，当被喷洒平面的杀菌百分比达到70%及以上时，杀菌有效 问题解决 任务1 当被喷洒平面经过点时，确定此时的值． 任务2 ①当被喷洒平面上痕迹未有重叠部分时，为保证杀菌有效，请确定的范围 ②当被喷洒平面上痕迹有重叠部分时，重叠部分密度是未重叠部分的2倍、为了使有效杀菌面积最大，______． 【答案】【任务1】；【任务2】①；② 【分析】任务1：根据题意，得到，由相似三角形性质得到对应高的比等于相似比，代入相应线段长度即可求出； 任务2：①由图4可知，根据有效杀菌条件，得到，从而求出， 由任务1可得，解得，进而由得； ②当痕迹有重叠时，设上痕迹的两个圆完全重叠，在①的基础上，根据重叠部分密度是未重叠部分的2倍，即，得出，从而由当时，喷洒面积最大，此时，由任务1解得． 【详解】［任务1］解：如图所示：    则由题意可得， 由相似三角形性质可知，对应高的比等于相似比，即， ∴， ∴； ［任务2］解：①由图4可知，杀菌百分比和喷洒密度的关系是正比例函数，且过， 将代入， 解得， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得， ， 由素材1可得，解得， ，解得； ②由①知，当无重叠时，最大为，因此，当痕迹有重叠时，由题意不妨设上痕迹的两个圆完全重叠，由①知符合有效杀菌条件的密度为， 重叠部分密度是未重叠部分的2倍，即，， ∴，解得， ， 当，喷洒面积最大，此时，由素材1可得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似判定与性质、不等式性质解实际应用题，难度较大，读懂题意，准确得出各个情况的不等式，利用相似比求解是解决问题的关键． 52．（2025·河南信阳·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．所获的利润w（元）与销售单价x（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 20 30 40 50 60 … 周销量y（套） … 40 30 20 10 0 … 所获利润w（元） … 0 300 400 300 0 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)①请在下面的平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象； ②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？ 【答案】(1) (2)①见解析 ②当销售单价定为36元/件时，每周的销售利润最大，最大利润是384元． 【分析】（1）设，根据题意，得，解方程组解答即可； （2）①求得二次函数的解析式，再描点画图即可； ②利用二次函数的图象和性质即可解答． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 故． （2）①解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，不妨设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 故，用描点法画图象画图如下： ； ②解：由， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∵文具店打算销售单价不能高于进价的倍， ∴， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为36元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是384元． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，描点法画图象，二次函数求最值，抛物线的增减性，熟练根据题意求得二次函数的解析式，利用函数的最值，增减性解题是解题的关键． 53．（2025·内蒙古·模拟预测）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格P（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表： 第x天 销售价格（元/只） 销量（只） 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于元只，该药店从第天起将该型号口罩的价格调整为元只．据统计，该药店从第天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为元/只． (1)请你先描述与的变化规律，并直接写出该药店该月前天的销售价格与和销量与之间的函数关系式； (2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大； (3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于元，则的取值范围为________． 【答案】(1)与的变化规律：当增加，增加；，且x为整数，，且x为整数； (2)且x为整数，第5天时利润最大； (3) 【分析】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． （1）根据表格数据，是的一次函数，是的一次函数，分别求出解析式即可； （2）根据题意，求出利润与的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值． （3）先求出前天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）与的变化规律：当增加，增加； 观察表格发现：是的一次函数，是的一次函数， 设， 将，；，分别代入得：， 解得：， 所以， 经验证符合题意， 所以，且为整数； 设， 将，；，分别代入得：， 解得：， 所以， 经验证符合题意， 所以，且为整数； （2）当且为整数时， ； 当且为整数时， ； 即有且x为整数； 当且为整数时，售价，销量均随的增大而增大， 故当时，（元） 当且为整数时， 故当时，（元）； 由，可知第天时利润最大． （3）根据题意，前天的销售数量为：（只）， 前天多赚的利润为： （元）， ， ； 的取值范围为． 54．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）商贸公司购进某种水果的成本为元，经过市场调研发现，这种水果在未来天的销售单价（元）与时间（天）之间的函数关系式为，为整数，且其日销售量与时间（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 20 日销售量 118 114 108 100 80 (1)已知与之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第天的日销售量是多少？ (2)问未来天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元 【分析】（1）设，把，和，代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出与的值，进而可得一次函数解析式，将代入，即可求出在第天的日销售量； （2）根据“日利润每公斤利润日销售量”分别表示出前天和后天的日利润，然后求二次函数的最大值，进行比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：与之间的变化规律符合一次函数关系， 设， 把，和，代入，得： ， 解得：， ， 当时，， 答：在第天的日销售量是； （2）解：设利润为元， 当时， ， 当时，取得最大值，元； 当时， ， 当时，取得最大值，元； ， 综上，当时，元， 答：第天的销售利润最大，最大日销售利润为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题），求一次函数解析式，解二元一次方程组，求一次函数的函数值，计算多项式乘多项式，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的最值，有理数大小比较的实际应用等知识点，根据题中的数量关系正确列式是解题的关键． 55．（24-25九年级上·北京海淀·期中）“十一”当天，某景区工作人员统计了上午至下午期间，累计进入景区的游客人数与累计离开景区的游客人数，据统计，上午时该景区已累计进入游客人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．从上午开始计时，经过的时间记为统计时间，则累计进入景区游客人数（单位：人）与累计离开景区游客人数（单位：人）随统计时间（单位：） 变化的部分数据如下表所示： 统计时间 累计进入景区游客人数人 累计离开景区游客人数人 探究发现，与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)根据表中数据，通过描点、连线的方式，补全与的函数图象； (2)根据表中数据，通过描点、连线的方式，画出与的函数图象，并直接写出关于的函数关系式为______（不要求写出自变量的取值范围）； (3)结合表格、图象推断，统计时间大约为______时，景区内游客人数最多（保留一位小数）； (4)当景区内游客人数达到人时，将触发人流高峰黄色预警，则统计时间大约为______时，将首次触发人流高峰黄色预警（保留一位小数）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3) (4) 【分析】（1）根据表中数据，用描点法画出函数图象即可； （2）根据表中数据，用描点法画出函数图象，由表中数据可知，与之间的数量关系满足一次函数，设关于的函数关系式为，利用表中数据列出二元一次方程组，解之，即可求出、的值，于是得解； （3）设剩余人数为，则，通过表中数据计算出的值并将其列入表格，然后结合表格、图象推断即可得出答案； （4）结合表格、图象推断即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表中数据，用描点法画出函数图象如下： （2）解：根据表中数据，用描点法画出函数图象如下： 根据表中数据可知，与之间的数量关系满足一次函数， 设关于的函数关系式为， 根据题意，得： ， 解得：， 关于的函数关系式为， 故答案为：； （3）解：设剩余人数为， 则， 计算出的具体数据，如下表所示（最后一行）： 统计时间 累计进入景区游客人数人 累计离开景区游客人数人 剩余人数人 从表中数据可以看出，剩余人数的值以直线为对称轴，当时，剩余人数随着的增大而增大，当时，剩余人数随着的增大而减小， 结合表格、图象推断，统计时间大约为时，景区内游客人数最多， 故答案为：； （4）解：当时，剩余人数， 当时，剩余人数， 结合表格、图象推断，统计时间大约为时，景区内游客人数将首次达到人，此时将首次触发人流高峰黄色预警， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，从表格获取信息，用描点法画函数图象，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，有理数的减法运算，从函数图象获取信息等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并能从表格和图象中正确获取信息是解题的关键． 56．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（） 水位高度（） 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点； (2)当__________时，杯中水位最高，是__________； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为__________； (4)求停止注水时的值； (5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时__________． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3) (4) (5) 【分析】（1）将表中数据完善后，描点即可； （2）由表格即可求解； （3）由表格即可求解； （4）先求出从开始向外排水到停止注水时关于的函数表达式，再求出排水的速度，利用时的水位高度和排水速度即可求出时的水位高度，进而可求出停止注水后关于的函数表达式，将二者联立，可得二元一次方程组，解之，即可求得停止注水时的值； （5）先求出水位高度为时排完水所需要的时间，进而得出答案． 【详解】（1）解：完善数据后，在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点如下： （2）解：由表格可知： 当时，杯中水位最高，最高水位为， 故答案为：，； （3）解：由表格可知： 自动排水前，每经过秒钟，水位上升， 即杯中水位上升的速度为， 故答案为：； （4）解：设从开始向外排水到停止注水，关于的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， ， 由表格可知：排水的速度为： （）， 当时，， 当时，， 设停止注水后，关于的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， ， 可得方程组 ， 解得：， 时，停止注水； （5）解：由（4）可知，时停止注水，此时的水位高度为， 从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时： （）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，坐标系中描点，观察表格从中获取信息，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，有理数四则混合运算等知识点，观察表格并从中获取正确信息是解题的关键． 57．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 【答案】(1) (2)①；②追上时兄妹俩离家米远 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论． 【详解】（1）由可知哥哥的速度为：. （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：. ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴； ②由（1）可知：哥哥的速度为100， ∴设所在直线为， 将代入得：， 解得. ∴所在直线为：. 当时，. ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分. ∴设妹妹返回时得解析式为， ∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时， ∴ 将代入得， 解得， ∴. 令，则有， 解得， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：（米）. 兄妹俩离家还有（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远． 试卷第184页，共190页 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题九 解答压轴题 第16讲 一次函数压轴题 （思维导图+2考点+8种题型） 考点一、一次函数与几何图形的压轴问题 题型01、一次函数与三角形 题型02、一次函数与四边形 题型03、一次函数与圆 考点二、一次函数常考压轴问题 题型01、一次函数中的分段函数问题 题型02、一次函数自定义问题 题型03、一次函数与图形面积 题型04、一次函数与角度问题 题型05、一次函数实际应用问题 考点一、一次函数与几何图形的压轴问题 题型01、一次函数与三角形的综合问题 1．（2023·浙江温州·三模）如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在一次函数的图象上，且点在第二象限，点在第四象限，一次函数图象交轴于点，交轴于点，．    (1)求证：． (2)求出点的坐标及的长． (3)点从匀速运动到时，点恰好从匀速运动到，记， ①求出关于的函数表达式． ②连结，点关于直线对称点为，连结．若直线与中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有的值． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，且、满足 ． (1)求、两点的坐标； (2)如图2，点在线段上（不与端点、重合），点在线段上（不与端点、重合），连，过作的垂线交于，若 ，设点横坐标为，求点横坐标（用含的代数式表示）． (3)如图3，在（2）的条件下，连，点是中点，，交于点，连，若 ，求的长． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． (1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线． (2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”． (3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交点分别为点和点，与直线交于点，点是线段的中点，点分别是直线轴、轴上的动点． (1)求直线的解析式以及线段的长度． (2)求当周长最小时，使得的值最大的点的坐标． (3)如图，将沿直线翻折，得到点的对应点，再将绕点旋转，旋转过程中直线分别与直线，和直线，交于点和点，直线分别与直线和直线，交于点和点，是否存在点与四点中不同时在直线或直线上的两点组成的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2023·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点，构造，使得．    (1)当时，求直线的函数表达式． (2)当点C落在坐标轴上时，求的面积． (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，，过点E作直线轴，设直线l上的动点A的坐标为，连接，将线段绕点B顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点C，构造，使得．      (1)如图1，当时，求直线的函数表达式． (2)当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标． (3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使与相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点经1次斜平移后的点的坐标为，已知点A的坐标为．    (1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标． (2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C． ①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断是否是直角三角形？请说明理由． ②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为，求出点B的坐标及n的值． 8．（24-25八年级下·上海·阶段练习）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边在第二象限内作等边． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上有一点，求的面积． (3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·广东清远·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点． (1)求点的坐标和直线的表达式； (2)在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标； (3)如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度． 10．（2025九年级下·全国·学业考试）已知直线与x轴和y轴分别交于B，A两点，另一直线经过点B和点． (1)求，的长度，并证明是直角三角形． (2)在x轴上找一点C，使是以为底边的等腰三角形，求出C点坐标． (3)一动点P速度为1个单位/秒，沿运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿运动到A点停止，两点同时出发，的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式． 题型02、一次函数与四边形 11．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴的负半轴上，将正方形沿着轴向右平移个单位，得到正方形，且点与原点重合，直线′交轴于点． (1)求正方形的边长； (2)求直线的函数表达式； (3)在线段上是否存在点，使的面积等于，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 12．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，是轴负半轴上一点，连结，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结交轴于点，若点横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)求点坐标； (3)在轴和直线上分别找点，，使得、、、构成的四边形是平行四边形，直接写出点坐标． 13．（黑龙江省牡丹江市2024~2025学年下学期九年级综合练习数学试题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，顶点在轴正半轴上，且点的横，纵坐标是方程的两个实数根（横坐标大于纵坐标），将菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，点，，的对应点分别为，，． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒，的面积为，求与的关系式； (3)为直线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在轴正半轴上，以，为邻边作平行四边形，点的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)为线段上一点，其横坐标为，过点作的垂线，交轴于点，交直线于点 ①如图2，若，求的面积； ②若以C，F，G为顶点的三角形与相似，求a的值． 16．（2023·浙江金华·三模）在平面直角坐标系中，若图形与图形中，分别存在点关于直线对称，则称这两个图形“轴对称”．如图，正方形各顶点的坐标分别是，，，．      (1)在点，，中，哪些点与正方形“轴对称”？若是，求k的值． (2)若点与点为“轴对称”，求点的坐标． (3)直线与两坐标轴的交点为，若线段与正方形“轴对称”，求的范围． 17．（2025·黑龙江七台河·一模）如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式． (3)点P是直线上一点，试在平面内确定一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是菱形，直接写出点M的坐标． 18．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，、，点E从点C出发，以每秒2个单位长度沿y轴负方向运动，点F从原点O出发，以每秒个单位长度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒．以、为一组邻边作平行四边形，点N在点F右侧2个单位，以为对角线作正方形，（F、P、N、M为顺时针顺序）． (1)时，求的值； (2)当时，求最小值； (3)当时，点P关于所在直线的对称点为Q，当点Q在上时，求t的值； (4)如图2，当时，连接、、、，在点E运动的过程中，若点M、P中恰好有且只有一个点在四边形内部时，求t的取值范围． 19．（24-25九年级上·四川达州·期末）在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标； (2)如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积； (3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点．将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)直接写出直线的表达式； (2)E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G．当时，求点E的坐标； (3)如图②，若M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 21．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与，轴分别交于、两点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上．动点从点出发，沿运动，当点运动到点时，停止运动．已知点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒．        (1)求直线的解析式； (2)设点的运动时间为，求当最小时的坐标及的值； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在轴的右侧，是否存在点使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与y轴交于点P，与交于点点D为x轴上正半轴一动点，过点D作x轴的垂线与直线，分别相交于E，F两点，过点E作轴的直线交于点． (1)求a的值及的函数表达式； (2)当，求D点的坐标； (3)平面内存在一直线，对于的任意一个数值均可以满足，请直接写出k的取值范围； (4)以，为边作长方形，当点D在运动过程中，试探究M的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，求出该直线解析式；若不是，请说明理由． 题型03、一次函数与圆的综合 23．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②若点，且，则 ； ③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足， ①若点在图象上，求点的坐标； ②若点在直线上，求的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 24．（23-24九年级上·北京西城·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”． (1)图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为， ①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ； ②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围； (2)图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 25．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直线经过点，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结． (1)求出b的值及直线的函数表达式． (2)在线段上取点，连结并延长交于点，连结交于点， ①若，求证：． ②当等于中的某一个角时，求的长． (3)点P关于直线的对称点P′恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为______． 26．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点． (1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长； (2)如图2，已知直线 分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以点为圆心， 为半径画圆． ①当点与点重合时，求证：直线与相切； ②设与直线相交于两点，连结．问：是否存在这样的点，使得 是等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”，在平面直角坐标系中，的半径为1． (1)如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； (2)直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； (3)直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为d．请直接写出d的取值范围． 28．（2024·江苏南京·模拟预测）定义：当点在射线上时，把的值叫做点在射线上的射影值；当点不在射线上时，把射线上与点最近点的射影值，叫做点在射线上的射影值．例如：如图（1），三个顶点均在格点上，是边上的高，则点和点在射线上的射影值均为． (1)在中，下列说法： ①点在射线上的射影值小于1时，则是锐角三角形； ②点在射线上的射影值等于1时，则是直角三角形； ③点在射线上的射影值大于1时，则是钝角三角形． 其中，正确说法的序号是___________． (2)是射线上一点，，以为圆心，为半径画圆，是上任意点． ①如图（2），点在射线上的射影值为，求证：直线是的切线． ②如图（3），已知为线段的中点，设点在射线上的射影值为，点在射线上的射影值为，直接写出与之间的函数关系式．    29．（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． (1)如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； (2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 30．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，N；对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． (1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”． ①当N坐标为，在图中画出点Q，连接，交线段于点T，求的值； ②当N为线段延长线上任意一点，连接，交线段于点T，是否为定值？ (2)的半径为t，M是上一点，点N在线段上，若点N与点O重合，P为外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）． 考点二、一次函数常考压轴问题 题型01、一次函数中的分段函数问题 31．（2023·浙江金华·模拟预测）在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为和（其中t为常数且），将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为；将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为，将和及原函数图象剩余的部分组成新的图象G． 例如：如图，当时，原函数，图象G所对应的函数关系式为． (1)当时，原函数为，图象G与坐标轴的交点坐标是 ． (2)对应函数（n为常数）． ①时，若图象G与直线恰好有两个交点，求t的取值范围． ②当时，若图象G在上的函数值y随x的增大而减小，直接写出n的取值范围． 32．（2022·浙江金华·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图① 是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图② 所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． (1)在图③ 中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． (3)已知，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，求n的取值范围． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 34．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“友好函数”为 ； (2)已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 35．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． (1)已知点，B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“非常距离”为4，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)已知C是直线上的一个动点， ①如图2，若，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3，若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点C与点E的“非常距离”的最小值为1，直接写出点E的坐标和b的值． 36．（24-25九年级上·四川成都·期末）函数某数学兴趣小组一起研究函数的性质，组员甲说：“可以用列表描点连线的方法画一画函数图象，然后通过观察函数图象分析函数性质”；组员乙说：“这个函数含有绝对值，可以分类讨论化简，因此这个函数也可以写成”； 组员丙说：“因为，所以当时，函数有最小值”； 组员丁说：“我已经画出了函数的草图，是个“”字形，随着的增大，函数值先减小后增大”； 组员戊说：“函数图象是轴对称图形”． 他们说的都有道理，请根据几位同学的观点，解决下列问题． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是，若，请在此坐标系中作出函数图象，并标记图象与坐标轴交点的坐标； (2)在（1）的条件下，当，设函数最大值为，最小值为，求的取值范围； (3)将函数图象向上平移后与轴有唯一交点A，与轴交于点，点为函数图象上的点，若以、、为顶点的三角形与相似，求所有满足条件的点坐标．     题型02、一次函数自定义问题 37．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形K和图形W，给出如下定义：R，S分别为图形K和图形W上任意一点，将R，S两点间距离的最小值称为图形K和图形W之间的“关联距离”，记作．例如，如图1，点与y轴之间的“关联距离”． 【理解概念】 （1）如图1，点在边长为5的正方形内，则d（T，正方形）=________； 【深入探索】 （2）如图2，一次函数图象与y轴交于点E，与x轴交于点F，若点和一次函数的图象之间的“关联距离”，求m的值； （3）如图3，在等边中，点A的坐标是，点B，C在y轴上，点H是x轴上一点，若，请直接写出点H的坐标． 【拓展延伸】 （4）在中，，，，当时，对于每一个n，若和一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，请直接写出k的取值范围． 38．（2025·湖南长沙·一模）为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”． (1)判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由． (2)若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值． (3)已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值． 39．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，对于点 P，点 Q，若，，其中t为常数，则称点Q是点P的“t级变换点 ”．例如：点是点的 “级变换点 ”．若图形A与图形B上存在“t级变换点 ”，则称这两个图形是“t级变换图形 ”． (1)下列属于“ 1 级变换点 ”的是 ．（填写序号） 与，与，与 (2)已知矩形的顶点A，B，C，D． 若在图像上存在点M与矩形中顶点C是“0级变换点 ”，求k的值． 若直线与矩形是“t级变换图形 ”，求t的取值范围． 若抛物线与矩形是“t级变换图形 ”，且恰存在4对“t级变换点 ”，求t的取值范围． 题型03、一次函数与图形面积 40．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 41．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 42．（2023·浙江温州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．    (1)求和的值； (2)当与中的一个角相等时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点，将点绕点逆时针旋转至点，若点到轴的距离恰好等于的长，求的面积． 43．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图直线l的解析式为，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（）． (1)填空：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ； (2)以为对角线作矩形，记的面积为，记和的重合部分的面积为； ①尝试用含t的代数式分别表示、； ②在直线m的运动过程中，当t为何值时， ． 题型04、一次函数与角度问题 44．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 45．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作轴交直线AD于点E． (1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径； (3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值； (4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到，连结，如果，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）． 46．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，点，分别是一次函数与轴，轴的交点，为线段的中点，点是直线：上一点，连接，，且轴． (1)求，两点的坐标； (2)若，求的值； (3)连接，是否存在值，使得，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 47．（24-25九年级上·重庆万州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交坐标轴于A、B两点，其中，，直线分别交坐标轴于C、D两点，直线l1与l2的交点为E．已知，且． (1)求直线的解析式和点E坐标； (2)如图2，若点P为线段上的一个动点（不与C、E两点重合），点R为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，当四边形的面积最小时，求出周长的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将直线绕点P顺时针旋转，与直线交于点F，连接，若在直线上存在点M，使得，请直接写出满足条件的点M的坐标． 48．（24-25九年级上·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为的中点，点D在线段上（），连接，将绕点C逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，． (1)求的值； (2)如图，当点恰好落在y轴上时，交y轴于点E，求证：； (3)当点D的坐标为，且时，求点的坐标． 题型05、一次函数实际应用问题 49．（2024·江苏南京·模拟预测）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车速度是慢车速度的倍．在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像； (2)若慢车出发时与快车第次相遇． ①求快车从出发到返回甲地所用的时间； ②当两车第次相遇的地点距离乙地时，的值为___________． 50．（2024·浙江杭州·一模）如图是某兴趣小组自制的画圆工具的侧面示意图． 【工具组成】一个装满细沙并直立于水平面的圆柱铁桶，截面示意图为矩形，桶高．两根直木棍分别长和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶内．用一条长的细绳连接P，E并拉直． 【工具使用】移动木棍，使点F绕点C旋转一周画圆．经多次操作发现，为使木棍能稳定直立于细沙中，需满足． 问题1：当长为多少时，画出的圆的半径为？ 问题2：设为x，画出的圆的半径为r，求r关于x的函数表达式与r的最大值． 问题3：以下是两位组员的对话，请根据对话解决问题． 51．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定酒精喷雾机的有效杀菌距离? 素材1 图1是一款电动酒精喷雾机、其上下 喷孔相距、L是一竖直放 置的平面．喷雾机正对平面喷雾时（如图2）、平面上会形成两个半径为的圆形痕迹（如图3），喷洒后酒精均匀分布、当点与平面的水平距离时，（取3）    素材2 不考虑喷洒过程中酒精在空气中的损耗，喷雾机两孔一次共可喷出酒精．查询资料可知，杀菌百分比和喷洒密度的关系如图4所示．    素材3 经过一次喷洒，当被喷洒平面的杀菌百分比达到70%及以上时，杀菌有效 问题解决 任务1 当被喷洒平面经过点时，确定此时的值． 任务2 ①当被喷洒平面上痕迹未有重叠部分时，为保证杀菌有效，请确定的范围 ②当被喷洒平面上痕迹有重叠部分时，重叠部分密度是未重叠部分的2倍、为了使有效杀菌面积最大，______．    52．（2025·河南信阳·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．所获的利润w（元）与销售单价x（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 20 30 40 50 60 … 周销量y（套） … 40 30 20 10 0 … 所获利润w（元） … 0 300 400 300 0 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)①请在下面的平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象； ②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？ 53．（2025·内蒙古·模拟预测）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格P（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表： 第x天 销售价格（元/只） 销量（只） 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于元只，该药店从第天起将该型号口罩的价格调整为元只．据统计，该药店从第天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为元/只． (1)请你先描述与的变化规律，并直接写出该药店该月前天的销售价格与和销量与之间的函数关系式； (2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大； (3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于元，则的取值范围为________． 54．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）商贸公司购进某种水果的成本为元，经过市场调研发现，这种水果在未来天的销售单价（元）与时间（天）之间的函数关系式为，为整数，且其日销售量与时间（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 20 日销售量 118 114 108 100 80 (1)已知与之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第天的日销售量是多少？ (2)问未来天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 55．（24-25九年级上·北京海淀·期中）“十一”当天，某景区工作人员统计了上午至下午期间，累计进入景区的游客人数与累计离开景区的游客人数，据统计，上午时该景区已累计进入游客人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．从上午开始计时，经过的时间记为统计时间，则累计进入景区游客人数（单位：人）与累计离开景区游客人数（单位：人）随统计时间（单位：） 变化的部分数据如下表所示： 统计时间 累计进入景区游客人数人 累计离开景区游客人数人 探究发现，与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述． (1)根据表中数据，通过描点、连线的方式，补全与的函数图象； (2)根据表中数据，通过描点、连线的方式，画出与的函数图象，并直接写出关于的函数关系式为______（不要求写出自变量的取值范围）； (3)结合表格、图象推断，统计时间大约为______时，景区内游客人数最多（保留一位小数）； (4)当景区内游客人数达到人时，将触发人流高峰黄色预警，则统计时间大约为______时，将首次触发人流高峰黄色预警（保留一位小数）． 统计时间 累计进入景区游客人数人 累计离开景区游客人数人 剩余人数人 56．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（） 水位高度（） 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点； (2)当__________时，杯中水位最高，是__________； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为__________； (4)求停止注水时的值； (5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时__________． 57．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 试卷第184页，共190页 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$