精品解析：2025年山西省忻州市偏关县部分学校中考一模数学试题

2025年中考适应性模拟卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 太原市某天13时气温为零上，可记作，受寒潮影响，20时气温降为零下，则零下可记作（ ） A. B. 4℃ C. D. 8℃ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，正确理解题意是解题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量，零上记为正数，可得零下的表示方法． 【详解】解：气温为零上，可记作， ∴零下可记作， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，幂的、积的乘方运算，单项式乘以单项式，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，单项式除以单项式，幂的、积的乘方运算，单项式乘以单项式运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 【热点素材】2024年12月20日是澳门回归祖国25周年纪念日．二十五载沧桑巨变，二十五载春华秋实，日新月异的“濠江奇迹”在澳门写就——本地生产总值从1999年的519亿澳门元增长到2023年的3795亿澳门元．数据3795亿澳门元用科学记数法表示为（ ） A. 澳门元 B. 澳门元 C. 澳门元 D. 澳门元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3795亿， 故选：B． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 菱形的对角线相等 C. 等边三角形是中心对称图形 D. 命题一定有逆命题 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断， 根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题解答即可. 【详解】解：因为“两直线平行，内错角相等”，所以A是假命题； 因为“菱形的对角线互相垂直，且平分”，所以B是假命题； 因为等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C是假命题； 因为命题一定有逆命题，所以D是真命题. 故选：D. 5. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再由求出，再由勾股定理可得，得，即可得出结论． 【详解】解：解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：B. 6. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 先列出表格，可得所有可能出现的结果，即可得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可. 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 火药 印刷术 造纸术 指南针 火药 （印刷术，火药） （造纸术，火药） （指南针，火药） 印刷术 （火药，印刷术） （造纸术，印刷术） （指南针，印刷术） 造纸术 （火药，造纸术） （印刷术，造纸术） （指南针，造纸术） 指南针 （火药，指南针） （印刷术，指南针） （造纸术，指南针） 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有6种，所以这两张卡片中有“指南针”的概率是. 故选：A. 7. 已知A，B，C，D四个点均在上，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角，圆周角定理．先根据“两直线平行内错角相等”得，再根据“等边对等角”得，进而求出，即可得出，然后根据圆周角定理得出答案. 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 8. 已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y的值随x的值增大而增大 C. 当时， D. 点在该图象上 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 9. 如图，在中，，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，将绕点O逆时针旋转得到．若点B的横坐标为3，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，解直角三角形的相关计算，把握旋转的不变性是解题的关键． 过点分别作，垂足为，根据旋转得到，，导角得到，再通过等角正切值相等列式求解即可． 【详解】解：过点分别作，垂足为， ∵点B的横坐标为3， ∴由旋转得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 由旋转得，， ∴， 故选：C． 10. 如图，等边的边长为3，其内切圆与三边分别相切于点D，E，F，以点B为圆心，长为半径画，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，扇形的面积公式，勾股定理， 先连接，根据题意可得，进而得出，再根据勾股定理得，然后根据面积相等求出，最后根据 得出答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据等边三角形和圆的对称性， 可得点A，O，F三点共线， ∴. ∵是等边的内切圆， ∴. ∵等边的边长为3， ∴， ∴， 根据勾股定理，得. 则， 解得. 故选：A. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式. 故答案为：. 12. 化简：______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同分母的分式的加减计算，解题的关键是处理符号问题，掌握运算法则． 先将分母进行处理，化为同分母的分式减法计算即可，注意要化简到最简即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 13. 为弘扬传统文化，某校结合当地实际情况，面向社会公开招聘一名数学课课后服务教师，设置了笔试、面试、试讲三项测试（每项成绩的满分均为100分），某应聘者的成绩如下表所示．该校规定综合成绩按照笔试占，面试占，试讲占进行计算，则这名应聘者的综合成绩为______分． 测试内容 笔试 面试 试讲 成绩/分 91 85 95 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，解题关键是熟记加权平均数公式，准确进行计算．利用加权平均数公式计算即可． 【详解】解：综合成绩为（分）， 故答案为：． 14. 【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为______Pa． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数，根据题意设压强和受力面积的关系式为，求出解析式，再将代入计算求出p即可． 【详解】解：设压强和受力面积的关系式为，根据题意，得 ， ∴反比例函数的关系式为， 当时，（）. 故答案为：2000． 15. 如图，在正方形中，，点E是对角线的中点，点F在线段上，且．以F为旋转中心，将线段逆时针旋转得到，此时点G恰好落在线段上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据正方形的性质解直角三角形求出，再解求出，然后证明，则，最后解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵点E是对角线的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】（1）； （2）， 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】题目主要考查实数的混合运算及求不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算负整数指数幂及有理数的乘方运算，求出立方根，然后计算加减法即可； （2）先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 17. 如图，在中，点E和点F是的两个三等分点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E和点F是的两个三等分点， ∴ ， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，证明，是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，，根据题意得出，即根据全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定即可证明． 【详解】略 18. 为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”．据了解，该路段总长约5.4公里，改造后车辆通过该路段的平均速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度． 【答案】千米∕小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，根据“行驶5.4千米，平均行驶时间减少了3分钟”列出方程并解答． 【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时， 由题意，得． 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 答：改造前通过该路段车辆的平均速度是千米∕小时． 19. 2024年11月8日，第十四届全国人民代表大会常务委员会第十二次会议表决通过《中华人民共和国学前教育法》，自2025年6月1日起施行．为认真贯彻落实学前教育法，某县教育部门拟组织全体幼儿教师进行集中培训，培训前，随机选取了A城区和B城区各20名教师进行分组闭卷测试．测试成绩x（满分为100分）用5个等级记分，具体得分如下表所示： 成绩x/分 得分/分 1 2 3 4 5 将这两个小组的测试成绩进行整理，绘制成如下统计图表（不完整）： 中位数/分 众数/分 A城区组 a 4 B城区组 3 b 请根据以上信息，回答下列问题： （1）在A城区组得分扇形统计图中，“5分”这一项所对应的扇形圆心角的度数为______． （2）请补全B城区组得分频数分布直方图． （3）______，______． （4）已知该县A城区有幼儿教师180名，B城区有幼儿教师120名，以这两个小组的成绩作为样本，若该县两城区所有幼儿教师都参加测试，请你估计有多少名教师成绩不低于80分． 【答案】（1） （2） 补全统计图为： （3）3.5；3 （4）有132名教师成绩不低于80分 【解析】 【分析】本题考查了统计图的运用，涉及扇形统计图，条形统计图，众数，中位数，用样本估计总体等知识点，正确阅读理解题意是解题的关键． （1）用乘以得5分的占比即可求解圆心角； （2）用20人减去B城区其余得分人数即为得分为5分的人数，即可补全条形统计图； （3）先求出A城区各个得分的人数，确定中位数为第10，11人得分的平均数，从条形统计图可得B城区得分的众数； （4）求出A、B城区教师成绩不低于80分的人数，再相加即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图得：“5分”这一项所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：B城区得分为5分的人数为：， 【小问3详解】 解：A城区得分1分人数为（人），得分2分人数为（人），得分3分人数为（人），得分4分人数为（人），得分5分人数为（人）， ∴中位数为第10，11人分数的平均数，由B城区频数分布直方图可得众数， 故答案为：3.5，3； 【小问4详解】 解：由题意得，教师成绩不低于80分即为得分为4分和5分， ∴（人） 答：有132名教师成绩不低于80分． 20. 阅读与思考 下面是小宇数学小论文的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 浅谈数学概念的学习 数学概念是构成数学定理、法则、公式的基础，正确掌握数学概念对于学习数学至关重要．同时，要结合具体的实例来加深对数学概念的理解． 下面以“等分积周线”概念学习为例，体会学习方法． 定义：如果一条直线把一个平面图形的面积和周长都分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条“等分积周线”． 实例：如图1，正方形的一条对角线所在的直线是正方形的一条“等分积周线”；如图2，经过圆心的任意一条直线都是圆的“等分积周线”． 特殊几何图形的“等分积周线”探索： 1．等腰三角形 …… 任务： （1）请再写出两个几何图形，每个图形至少有一条“等分积周线”． （2）如图3，在中，，且，请你在图3中作出的一条“等分积周线”．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）如图4，在四边形中，，，，，垂直平分，垂足为N，交于点M，求证：直线为四边形的“等分积周线”． 【答案】（1） 解：由题意得，菱形和矩形符合题意， ∵菱形和矩形既是轴对称图形也是中心对称图形， ∴菱形和矩形两条对角线所在的直线为“等分积周线”； （2） 解：如图，直线即为所作： （3） 证明：连接， ∵垂直平分， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴ ∴， 解得：， ∴四边形的周长为：， 四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长与四边形的周长相等； ∵垂直平分， ∴， ∴， 而，， ∴， ∵四边形的面积为：，四边形的面积为， ∴四边形的面积与四边形的面积相等， 故直线为四边形的“等分积周线”． 【解析】 【分析】（1）菱形和矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，即可得到符合题意； （2）由为等腰三角形可知是轴对称图形，故底边上的中线，顶角的平分线和底边上的高所在的直线均是“等分积周线”，尺规作出顶角平分线即可； （3）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，设，则，由勾股定理得，即可建立方程，解得，即可计算周长和面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形和矩形的性质等知识点，理解新定义是解题的关键． 21. 【项目式学习】问题情境：某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 教学楼 测量目的 能用锐角三角函数解决简单的实际问题 测量工具 测角仪、皮尺 测量示意图 测量方案 （1）将测角仪放在测量点C，在点E处测得点A的仰角为27°； （2）将测角仪向前移动放在测量点D，在点F处测得点A的仰角为； （3）已知测角仪高度，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，测量点C，D，B在同一条水平直线上 …… …… 问题解决： （1）根据以上测量结果，请你帮助数学兴趣小组同学求出学校教学楼的高度．（参考数据：（，，，，，） （2）你认为在测量过程中，有哪些方法可以减小误差．（写出一条即可） 【答案】（1）教学楼高度是 （2）测量仪器要精准，多次测量取平均值，建议测量两次取平均值（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接并延长交于点G，根据题意得出，，，然后利用解三角形得出，，结合图形得出方程求解即可； （2）符合题意即可． 【小问1详解】 解：连接并延长交于点G， 根据题意得：，，， 设， 在中，， 即， ∴． 在中，， 即． ∵， ∴， 解得， 即， 所以教学楼高度是． 【小问2详解】 解：测量仪器要精准，多次测量取平均值，建议测量两次取平均值（答案不唯一）． 22. 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： （1）求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （2）如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； （3）直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】（1）函数表达式为 （2） （3）小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； 【小问3详解】 解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 23. 综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图1，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图2，连接． 【问题解决】 （1）判断的形状，并说明理由． （2）判断和是否相等，并说明理由． 【拓广探索】 （3）若，，在线段上存在点P，使是等腰三角形，直接写出的长度． 【答案】（1）为直角三角形，理由如下： 延长交于点F，如图所示： 根据题意得：点M、B关于对称， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴为直角三角形； （2）相等，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴； （3）的长度为或或 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）延长交于点F，根据轴对称的性质得出，再由等边对等角确定，结合图形及各角之间的关系即可得出结果； （2）由（1）中过程得出，再由菱形的性质及各角之间的关系即可得出结果； （3）分三种情况：当时，当时，当时，作出相应辅助线，结合图形求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由（2）得， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∴， ∴， 作于点F， ∴， ∵E为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示： ∴， 作于点F， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∴， 作于点F， ∴， ∴，， ∵， ∴； ∴； 综上可得：的长度为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考适应性模拟卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 太原市某天13时气温为零上，可记作，受寒潮影响，20时气温降为零下，则零下可记作（ ） A. B. 4℃ C. D. 8℃ 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 【热点素材】2024年12月20日是澳门回归祖国25周年纪念日．二十五载沧桑巨变，二十五载春华秋实，日新月异的“濠江奇迹”在澳门写就——本地生产总值从1999年的519亿澳门元增长到2023年的3795亿澳门元．数据3795亿澳门元用科学记数法表示为（ ） A. 澳门元 B. 澳门元 C. 澳门元 D. 澳门元 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 菱形的对角线相等 C. 等边三角形是中心对称图形 D. 命题一定有逆命题 5. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B，C，D四个点均在上，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y的值随x的值增大而增大 C. 当时， D. 点在该图象上 9. 如图，在中，，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，将绕点O逆时针旋转得到．若点B的横坐标为3，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边的边长为3，其内切圆与三边分别相切于点D，E，F，以点B为圆心，长为半径画，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 化简：______． 13. 为弘扬传统文化，某校结合当地实际情况，面向社会公开招聘一名数学课课后服务教师，设置了笔试、面试、试讲三项测试（每项成绩的满分均为100分），某应聘者的成绩如下表所示．该校规定综合成绩按照笔试占，面试占，试讲占进行计算，则这名应聘者的综合成绩为______分． 测试内容 笔试 面试 试讲 成绩/分 91 85 95 14. 【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为______Pa． 15. 如图，在正方形中，，点E是对角线的中点，点F在线段上，且．以F为旋转中心，将线段逆时针旋转得到，此时点G恰好落在线段上，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：并将解集表示在如图所示的数轴上． 17. 如图，在中，点E和点F是的两个三等分点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 18. 为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”．据了解，该路段总长约5.4公里，改造后车辆通过该路段的平均速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度． 19. 2024年11月8日，第十四届全国人民代表大会常务委员会第十二次会议表决通过《中华人民共和国学前教育法》，自2025年6月1日起施行．为认真贯彻落实学前教育法，某县教育部门拟组织全体幼儿教师进行集中培训，培训前，随机选取了A城区和B城区各20名教师进行分组闭卷测试．测试成绩x（满分为100分）用5个等级记分，具体得分如下表所示： 成绩x/分 得分/分 1 2 3 4 5 将这两个小组的测试成绩进行整理，绘制成如下统计图表（不完整）： 中位数/分 众数/分 A城区组 a 4 B城区组 3 b 请根据以上信息，回答下列问题： （1）在A城区组得分扇形统计图中，“5分”这一项所对应的扇形圆心角的度数为______． （2）请补全B城区组得分频数分布直方图． （3）______，______． （4）已知该县A城区有幼儿教师180名，B城区有幼儿教师120名，以这两个小组的成绩作为样本，若该县两城区所有幼儿教师都参加测试，请你估计有多少名教师成绩不低于80分． 20. 阅读与思考 下面是小宇数学小论文的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 浅谈数学概念的学习 数学概念是构成数学定理、法则、公式的基础，正确掌握数学概念对于学习数学至关重要．同时，要结合具体的实例来加深对数学概念的理解． 下面以“等分积周线”概念学习为例，体会学习方法． 定义：如果一条直线把一个平面图形的面积和周长都分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条“等分积周线”． 实例：如图1，正方形的一条对角线所在的直线是正方形的一条“等分积周线”；如图2，经过圆心的任意一条直线都是圆的“等分积周线”． 特殊几何图形的“等分积周线”探索： 1．等腰三角形 …… 任务： （1）请再写出两个几何图形，每个图形至少有一条“等分积周线”． （2）如图3，在中，，且，请你在图3中作出的一条“等分积周线”．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）如图4，在四边形中，，，，，垂直平分，垂足为N，交于点M，求证：直线为四边形的“等分积周线”． 21. 【项目式学习】问题情境：某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 教学楼 测量目的 能用锐角三角函数解决简单的实际问题 测量工具 测角仪、皮尺 测量示意图 测量方案 （1）将测角仪放在测量点C，在点E处测得点A的仰角为27°； （2）将测角仪向前移动放在测量点D，在点F处测得点A的仰角为； （3）已知测角仪高度，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，测量点C，D，B在同一条水平直线上 …… …… 问题解决： （1）根据以上测量结果，请你帮助数学兴趣小组同学求出学校教学楼的高度．（参考数据：（，，，，，） （2）你认为在测量过程中，有哪些方法可以减小误差．（写出一条即可） 22. 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： （1）求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （2）如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； （3）直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 23. 综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图1，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图2，连接． 【问题解决】 （1）判断的形状，并说明理由． （2）判断和是否相等，并说明理由． 【拓广探索】 （3）若，，在线段上存在点P，使是等腰三角形，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $