精品解析：山东省滨州市滨城区莲华学校2024-2025学年九年级中考模拟三数学试题

2025年初中升高中学生水平考试 模拟预测卷（三） 数 学 本卷内容主要参考河北省最新命题趋势设计，适用性较强；其他地区考生请注意，虽题型编排存在差异，但学科核心考点高度一致，不影响模拟自测与知识查漏补缺．建议同学们聚焦本质考点，夯实解题思维，以不变应万变． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下表是我县四个景区今年1月份某天6时气温，其中气温最低的景区是（　　） 景区 白莲河 三角山 策湖湿地 花涧谷 气温 ﹣1℃ ﹣7℃ ﹣2℃ 2℃ A. 白莲河 B. 三角山 C. 策湖湿地 D. 花涧谷 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与关于直线l成轴对称，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线 D. 5. 当x＝﹣2时，下列不等式成立的是（　　） A. x﹣5＞﹣7 B. x﹣2＜0 C. 2（x﹣2）＞﹣2 D. 3x＞2x 6. 观察如图作图痕迹，所作为的边上的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中垂线 7. 如图所示的几何体是由个相同的小正方体组合成的，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 8. 若等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y与x之间的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 9. 计算：（m、n为正整数）（ ） A. B. C. D. 10. 用公式法解方程时，Δ＝（　　） A. B. C. D. 11. 如图，中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件如下：①；②；③，；④；⑤．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，边长相等的正五边形和正边形（）拼接在一起，则度数可能是（ ） A. 54° B. 30° C. 24° D. 18° 13. 如图，四边形是矩形，A，B两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 14. 若，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB//x轴．直线m：沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得线段EF的长度L与平移的距离a之间的函数关系的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 16. 在明代的《算法统宗》中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”．如图1，计算，将乘数42记在格子上面，乘数38记在格子右侧，然后用乘数42的每位数字乘以乘数38的每位数字，将结果记人相应的格子中，最后按斜行加起来，得到1596．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论不正确的是（ ） A. 值为6 B. 的值为偶数 C. 乘积的结果可以表示为 D. 的值大于3 17. 如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第秒时质点所在位置的坐标是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 18. 某班抽样选取9位男生，分别对他们鞋码进行了调查，记录数据是：，，，，，，，，，这组数据的众数是________. 19. 已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n＝_____． 20. 如图，平行四边形ABCD中，点E在AB边上，，连接AC，DE交于点F，则_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 21. 对于数轴上的三点A，B，C，给出如下定义：若，则称点C叫做点A，B的“距离和m点”．如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为0．由于，则点C为点A，B的“距离和5点”；由于，则点A为点B，C的“距离和8点”． （1）若点N表示的数为，点N为点A，B的“距离和m点”，求m的值； （2）点D在数轴上，若点D是点A，B的“距离和7点”，求点D表示的数； （3）点E在数轴上，若点E，A，B中的一点是另两点的“距离和6点”，求点E所表示的数． 22. 迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同比赛项目． （1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率． （2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动(每人只能抽取一次)，盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率． 23. 河对岸有铁塔，在C处测得塔顶A的仰角为，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为，求铁塔的高（参考数据：，，结果保留整数）． 24. 类比学习是数学学习过程中的一种重要方法，能把类似的知识或者方法进行比较、加以联想，就会找到解决问题的捷径，从而达到事半功倍的效果． 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． 探索尝试： 经过三角形顶点的面积等分线有______条； 平行四边形有______条面积等分线． 推理反思： （1）按图1方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是，则图中阴影三角形的面积是______． （2）如图2，C是线段上任意一点，分别以为边在线段同侧构造等边三角形和等边三角形，若的面积是，则图中阴影三角形的面积是______． 类比拓展： 在四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并描述方法． 25. 某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）： 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 120 118 130 109 123 600 乙班 109 120 115 139 117 600 经统计发现两班总数相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题： （1）填空：甲班的优秀率为_________，乙班的优秀率为_________； （2）填空：甲班比赛数据的中位数为_________，乙班比赛数据的中位数为_________； （3）根据以上两条信息，你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级？简述你的理由． 26. 如图，是的直径，是的切线，交于点C． （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在边上作点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点P、Q均在抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图象G．过点Q作轴于点A．该抛物线的顶点B的横坐标为1． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接，当轴时，求点Q的坐标； （3）当点B是图象G的最低点，且时，求图象G最高点与最低点的纵坐标的差； （4）当点B是图象G的最低点，且点P到的距离等于时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中升高中学生水平考试 模拟预测卷（三） 数 学 本卷内容主要参考河北省最新命题趋势设计，适用性较强；其他地区考生请注意，虽题型编排存在差异，但学科核心考点高度一致，不影响模拟自测与知识查漏补缺．建议同学们聚焦本质考点，夯实解题思维，以不变应万变． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下表是我县四个景区今年1月份某天6时气温，其中气温最低的景区是（　　） 景区 白莲河 三角山 策湖湿地 花涧谷 气温 ﹣1℃ ﹣7℃ ﹣2℃ 2℃ A. 白莲河 B. 三角山 C. 策湖湿地 D. 花涧谷 【答案】B 【解析】 【分析】将几个有理数比较后即可确定正确的选项． 【详解】解：由表格中数据可得：， 则气温最低的景区是：三角山． 故选． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解题的关键是能够了解正数大于0，负数小于0，两个负数比较绝对值大的反而小，难度不大． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂除法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意． 故选C． 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a，b在数轴上的位置可直接判断A；根据在数轴上的位置结合加法和乘法法则可判断B和C；根据绝对值的意义可判断D． 【详解】解：A．∵由数轴可知，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，故不正确； D．由数轴可知，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，以及有理数的加法和乘法法则，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 4. 如图，与关于直线l成轴对称，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键：①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线． 【详解】解：∵与关于直线l成轴对称， ∴，，直线，， ∴四个选项中，只有C选项中的结论正确， 故选C． 5. 当x＝﹣2时，下列不等式成立的是（　　） A. x﹣5＞﹣7 B. x﹣2＜0 C. 2（x﹣2）＞﹣2 D. 3x＞2x 【答案】B 【解析】 【分析】将x=-2代入计算得到结果，即可做出判断． 【详解】A、将x＝﹣2代入得：﹣2﹣5＝﹣7，故此选项错误； B、将x＝﹣2代入得：﹣2﹣2＝﹣4＜0，故此选项正确； C、将x＝﹣2代入得：2×（﹣2﹣2）＝﹣8＜﹣2，故此选项错误； D、将x＝﹣2代入得：﹣6＜﹣4，故此选项错误， 故选：B． 【点睛】此题考查一元一次不等式的解集．解题的关键是掌握不等式的解集的定义，要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6. 观察如图作图痕迹，所作为的边上的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中垂线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，能掌握基本尺规作图是解题的关键． 【详解】根据作图过程，可得所作线段为边上的高线， 故选B． 7. 如图所示的几何体是由个相同的小正方体组合成的，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据观察几何体，从左边看，底层有个正方体，上层有一个正方体，即可得到答案． 【详解】从左边看，底层有个正方体，上层有一个正方体， ∴几何体的左视图为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会找几何体的三视图． 8. 若等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y与x之间的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，解题的关键是根据已知得出．利用三角形面积公式得出，进而得出答案． 【详解】∵等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y， ∴ ∴y与x之间的函数关系式为． 故选：A． 9. 计算：（m、n为正整数）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，从而可得答案． 【详解】解： ， 故选A 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算的含义，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． 10. 用公式法解方程时，Δ＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】Δ＝，给赋值并代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴Δ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键． 11. 如图，中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件如下：①；②；③，；④；⑤．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，； 添加，不能证明， 不能证明， 故不能证明四边形是平行四边形，故①不符合题意； 添加， ， ， 即， ， ，， ； ； 四边形是平行四边形，故②符合题意； ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故③符合题意； ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故④符合题意； ， ，， ∵，， ， ， 四边形平行四边形，故⑤符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 12. 如图，边长相等的正五边形和正边形（）拼接在一起，则度数可能是（ ） A. 54° B. 30° C. 24° D. 18° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．先由内角和公式得出与的度数，再求出的度数，最后根据，可知，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意，， 且为整数， 若，则 故选：C． 13. 如图，四边形是矩形，A，B两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质，点和点横坐标相同，点和点纵坐标相同可求解． 【详解】解：根据题意可得：， ∴点坐标为． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标系中的点，掌握矩形的性质是求解的关键． 14. 若，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先将等式右边通分合并化简，根据两边相等，得出分子也相等，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 右边 ， ∵， ∴，则， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的通分计算方法． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB//x轴．直线m：沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得的线段EF的长度L与平移的距离a之间的函数关系的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线m在平移的过程中让EF发生变化的关键位置找到，分析每一种情况下的EF随a的变化情况，逐步排除其它选项后得到正确选项． 【详解】解：如图，当直线m还没有运动到直线a的位置时，它与矩形没有交点，因此，线段EF=0，所以排除A选项； 当直线m运动到直线a和直线b之间的位置时，每向右平移1个单位，则EF就增加个单位长，此时，它们是一次函数的关系； 当直线m运动到直线b和直线c之间的位置时，此时EF的长度始终保持不变，所以排除C选项； 当直线m运动到直线c和直线d之间的位置时，每向右平移1各单位，则EF就减少个单位长，此时，它们是一次函数的关系，直到运动到直线d的位置时，EF的长变为0，因为从直线a的位置运动到直线b的位置和从直线c的位置运动到直线d的位置时，直线m平移的距离是相同的，因此排除D选项； 综上可得B选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质和图形的平移等内容，解题过程中渗透了数形结合的思想，要求学生注意分析两个变量之间的关系，抓住关键的点，此题为选择题，因此可以通过排除法去排除不正确的选项，最后得到正确的选项，同时考查了学生对图形运动的感知能力与对函数图像的理解力． 16. 在明代的《算法统宗》中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”．如图1，计算，将乘数42记在格子上面，乘数38记在格子右侧，然后用乘数42的每位数字乘以乘数38的每位数字，将结果记人相应的格子中，最后按斜行加起来，得到1596．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论不正确的是（ ） A. 的值为6 B. 的值为偶数 C. 乘积结果可以表示为 D. 的值大于3 【答案】D 【解析】 【分析】根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立等式即可做出判断． 【详解】解：用“铺地锦”的方法将图2补充完整如下所示： 则，， 解得，，乘积结果为， 由此可知，结论正确的是选项A、B、C， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式加减的应用等知识点，理解题中的利用“铺地锦”计算两个数相乘的方法是解题关键． 17. 如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第秒时质点所在位置的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的规律探究，根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到时，用的时间为秒，且当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动一个单位，得到，进行求解即可，根据题意找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图和题意可知： 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， ， ∴点移动到时，用的时间为秒， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， 当点移动到时，向上移动秒，得到， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， ， ∴当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动秒，得到， ∴当点移动到时，用时秒，再向下移动秒，得到， 即第秒时质点所在位置的坐标是为， 故选：． 二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 18. 某班抽样选取9位男生，分别对他们的鞋码进行了调查，记录数据是：，，，，，，，，，这组数据的众数是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一组数据中出现次数最多的数叫众数，直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵出现4次，出现次数最多， ∴众数是， 故答案为：； 【点睛】本题考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数叫众数． 19. 已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n＝_____． 【答案】7 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵9＜11＜16 ∴3＜＜4 ∴m＝3，n＝4 ∴m+n＝3+4＝7 故答案为7． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出的取值范围是解答此题的关键． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，，连接AC，DE交于点F，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的对应边成比例，解答即可； 【详解】解：， ． 四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 21. 对于数轴上的三点A，B，C，给出如下定义：若，则称点C叫做点A，B的“距离和m点”．如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为0．由于，则点C为点A，B的“距离和5点”；由于，则点A为点B，C的“距离和8点”． （1）若点N表示的数为，点N为点A，B的“距离和m点”，求m的值； （2）点D在数轴上，若点D是点A，B的“距离和7点”，求点D表示的数； （3）点E在数轴上，若点E，A，B中的一点是另两点的“距离和6点”，求点E所表示的数． 【答案】（1） （2）点D表示的数为3或 （3）点E表示的数为或或或1或或3 【解析】 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，一元一次方程的应用： （1）根据若，则称点C叫做点A，B的“距离和m点”的定义，列式计算得m的值； （2）依题意，结合点D是点A，B“距离和7点”，设D点表示的数为x，进行分类讨论，然后列式计算，即可作答． （3）①点E是点A，B的“距离和6点”时，设E点表示的数为，列式计算；或点A是点B，E的“距离和6点”时，或点B是点A，E的“距离和6点”时，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为， ∴，， ∴ 【小问2详解】 解：设D点表示的数为x， 当D点在线段上时，，不符合题意； 当D点在A点左侧时，，解得：； 当D点在点右侧时，，解得：； ∴点D表示的数为：3或； 【小问3详解】 解：①点E是点A，B的“距离和6点”时， 设E点表示的数为， 当E点在线段上时，，不符合题意； 当E点在A点左侧时，，解得：； 当E点在点右侧时，，解得：； ∴点E表示的数为：或 ②点A是点B，E的“距离和6点”时， ∵， ∴， ∴点E表示的数为：或. ③点B是点A，E的“距离和6点”时， ∵， ∴， ∴点E表示的数为：1或3 ∴点E表示的数为或或或1或2.5或3． 22. 迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目． （1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率． （2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动(每人只能抽取一次)，盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法； （1）列表可得出所有等可能的结果数以及小明同学选择A，B两项组合的结果数，再利用概率公式可得出答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及冠军与亚军获得相同吉祥物的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中小明同学选择，两项组合的结果有种， ∴小明同学选择，两项组合的概率为 【小问2详解】 将“琮琮”“宸宸”“莲莲”分别记为，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中冠军与亚军获得相同吉祥物的结果有种， ∴冠军与亚军获得相同吉祥物的概率为 23. 河对岸有铁塔，在C处测得塔顶A的仰角为，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为，求铁塔的高（参考数据：，，结果保留整数）． 【答案】铁塔的高约为19米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，先解得到，再解得到，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴铁塔的高约为19米． 24. 类比学习是数学学习过程中的一种重要方法，能把类似的知识或者方法进行比较、加以联想，就会找到解决问题的捷径，从而达到事半功倍的效果． 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． 探索尝试： 经过三角形顶点的面积等分线有______条； 平行四边形有______条面积等分线． 推理反思： （1）按图1方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是，则图中阴影三角形的面积是______． （2）如图2，C是线段上任意一点，分别以为边在线段同侧构造等边三角形和等边三角形，若的面积是，则图中阴影三角形的面积是______． 类比拓展： 在四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并描述方法． 【答案】探索尝试：3；无数；推理反思：（1）40；（2）1；类比拓展：面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线，如图3所示 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、正方形的性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 探索尝试：根据三角形中线的性质和平行四边形的性质进行解答即可； 推理反思：（1）延长，交于点，由，即可求出答案； （2）设线段与交于点，由和等边三角形，证明，则，由是和的公共部分即可得到，即可得到答案； 类比拓展：（3）连接，过点作交的延长线于点，连接．即可得到答案． 【详解】解：探索尝试：∵三角形的三条中线平分三角形的面积， ∴经过三角形顶点的面积等分线有3条； ∵经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积， ∴平行四边形有无数条面积等分线． 故答案：3；无数； 推理反思：（1）如图1，延长，交于点， ， ∵大正方形的面积是，即， ∴． （2）如解图2，设线段与交于点， ∵和等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是和的公共部分， ∴， ∴． 类比拓展： （3）如解图，连接，过点作交的延长线于点，连接． ∵， ∴和的公共边上的高也相等， ∴， ∴． ∵， ∴面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线，如图3所示． 25. 某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）： 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 120 118 130 109 123 600 乙班 109 120 115 139 117 600 经统计发现两班总数相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题： （1）填空：甲班的优秀率为_________，乙班的优秀率为_________； （2）填空：甲班比赛数据的中位数为_________，乙班比赛数据的中位数为_________； （3）根据以上两条信息，你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级？简述你的理由． 【答案】（1）100%，100% （2）120，117 （3）将冠军奖状发给甲班，因为甲班5人比赛成绩的优秀率等于乙班，但中位数比乙班大，综合评定甲班比较好 【解析】 【分析】（1）优秀率就是优秀的人数与总人数的百分比； （2）中位数就是一组数据中先把所有数据按从大到小或从小到大的顺序排列起来，如果是奇数个时，就是中间的那一个数，如果是偶数个时，就是中间两个数的平均数； （3）根据计算出来的统计量的意义分析判断． 【小问1详解】 解：甲班优秀率为100%，乙班优秀率为100%， 故答案：100%，100%； 【小问2详解】 解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是120个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是117个， 故答案：120，117； 【小问3详解】 解：将冠军奖状发给甲班，因为甲班5人比赛成绩的优秀率等于乙班，但中位数比乙班大，综合评定甲班比较好． 【点睛】本题考查统计初步的数据处理能力，涉及优秀率概念、中位数的概念和根据数据分析做决策等知识，熟练掌握相关定义并运用它的意义解决问题是本题关键． 26. 如图，是的直径，是的切线，交于点C． （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在边上作点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1)过点作即可； (2)证明， 进而求出的度数，然后解直角三角形求出半径，用的面积减去扇形的面积即可． 【小问1详解】 如图，点即为所作； 【小问2详解】 ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，， ， ， ， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点P、Q均在抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图象G．过点Q作轴于点A．该抛物线的顶点B的横坐标为1． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接，当轴时，求点Q的坐标； （3）当点B是图象G的最低点，且时，求图象G最高点与最低点的纵坐标的差； （4）当点B是图象G的最低点，且点P到的距离等于时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）7或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点横坐标为1，求出结果即可； （2）根据当轴时，点P为抛物线与y轴的交点，得出，求出点Q的横坐标为，把代入求出，即可得出点Q的坐标； （3）根据，得出点Q的纵坐标为：，然后分两种情况分别求出点Q的横坐标，再求出点P的坐标，进行解答即可； （4）先求出的坐标，求出点P到的距离为，根据题意得出，分两种情况或，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点B的横坐标为1， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵当轴时，点P为抛物线与y轴的交点， ∴， ∴点Q的横坐标为， 把代入得：， ∴点Q的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴点Q的纵坐标为：； 把代入得：， 解得：， 当时，， 解得：， ∵，， ∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧， ∴图象G的最低点为点B， 把代入得： ， ∴此时图象G最高点与最低点的纵坐标的差为； 当时，， 解得：， ∵，， ∴此时点P在对称轴的右侧，点Q在对称轴的右侧， ∴此时图象G的最低点是点B， 把代入得： ， ∴此时图象G最高点与最低点的纵坐标的差为； 把代入得：， 解得：或， 当时，， 解得：， ∵， ∴点P、Q都在对称轴的左侧， ∴图象G的最低点不是点B，此时不符合题意； 当时，， 解得：， ∵， ∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧， ∴此时图象G的最低点是点B， 把代入得： ∴此时图象G最高点与最低点的纵坐标的差为； 综上分析可知，图象G最高点与最低点的纵坐标的差是7或； 【小问4详解】 解：把代入抛物线得： ， ∴， 而点P到的距离为， ∴， ∴或， 当时，整理得：， 解得：或， 当时，， ∵， ∴点B为图象G的最低点，符合题意； 当时，， ∵， ∴点B为图象G的最低点，符合题意； 当时，整理得：， 解得：或， 当时，， ∵， ∴此时点B不是图象G的最低点，不符合题意； 当时，， ∵， ∴点B为图象G的最低点，符合题意； 综上分析可知，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$