专题训练(6) 二次函数综合题演练——热点题型(选做)（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（华东师大版 河南专用）

专题训练(六)　二次函数综合题演练——热点题型(选做) 第26章　二次函数 数学 九年级下册 华师版 四清导航 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1．(巴中中考)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－1，0)和B(0，3)，其顶点的横坐标为1. (1)求抛物线的表达式； (2)若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN＋MN有最大值，并求出最大值； (3)若点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由． 解：(1)抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3 (2)∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，∴点M的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，点N的坐标为(m，0)，∴MN＝－m2＋2m＋3，AN＝m＋1，∴AN＋MN＝m＋1＋(－m2＋2m＋3)＝－m2＋3m＋4＝－(m－ eq \f(3,2) )2＋ eq \f(25,4) .∵－1<0，且0<m<3，∴当m＝ eq \f(3,2) 时，AN＋MN有最大值，最大值为 eq \f(25,4) 能构成．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝－x2＋4.当x＝ eq \f(3,2) 时，y＝－( eq \f(3,2) )2＋2× eq \f(3,2) ＋3＝ eq \f(15,4) ，∴点M的坐标为( eq \f(3,2) ， eq \f(15,4) ).假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为(1，t)，点Q的坐标为(n，－n2＋4). ①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，∴ eq \f(－1＋\f(3,2),2) ＝ eq \f(1＋n,2) ，解得n＝－ eq \f(1,2) ，∴点Q的坐标为(－ eq \f(1,2) ， eq \f(15,4) )； ②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，∴ eq \f(－1＋1,2) ＝ eq \f(\f(3,2)＋n,2) ，解得n＝－ eq \f(3,2) ，∴点Q的坐标为(－ eq \f(3,2) ， eq \f(7,4) )； ③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，∴ eq \f(－1＋n,2) ＝ eq \f(1＋\f(3,2),2) ，解得n＝ eq \f(7,2) ，∴点Q的坐标为( eq \f(7,2) ，－ eq \f(33,4) ). 综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为(－ eq \f(1,2) ， eq \f(15,4) )或(－ eq \f(3,2) ， eq \f(7,4) )或( eq \f(7,2) ，－ eq \f(33,4) ) 2．(宿迁中考)如图，二次函数y＝ eq \f(1,2) x2＋bx＋c与x轴交于O(0，0)，A(4，0)两点，顶点为C，连接OC，AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O，A点不重合． (1)求二次函数的表达式； (2)①求证：△OCD∽△A′BD；②求 eq \f(DB,BA) 的最小值； (3)当S△OCD＝8S△A′BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标． 解：(1)二次函数的解析式为y＝ eq \f(1,2) (x－0)(x－4)＝ eq \f(1,2) x2－2x (2)①证明：由翻折得∠OAC＝∠A′，由对称得OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A′，∵∠A′DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD　②∵△OCD∽△A′BD，∴ eq \f(OC,A′B) ＝ eq \f(CD,BD) .∵AB＝A′B，∴ eq \f(BD,AB) ＝ eq \f(CD,OC) ，∴ eq \f(BD,AB) 的最小值就是 eq \f(CD,OC) 的最小值，y＝ eq \f(1,2) x2－2x＝ eq \f(1,2) (x－2)2－2，∴C(2，－2)，∴OC＝2 eq \r(2) ，∴当CD⊥OA时，CD最小， eq \f(BD,AB) 的值最小，此时CD＝2， eq \f(BD,AB) 的最小值为 eq \f(2,2\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) (3)如图，设A′B与AC交于点m，过点M作MH⊥OA于点H.∵△OCD∽△A′BD，S△OCD＝8S△A′BD，∴ eq \f(OC,A′B) ＝ eq \f(CD,BD) ＝ eq \f(OD,A′D) ＝2 eq \r(2) .∵OC＝2 eq \r(2) ，∴A′B＝AB＝1，∴B(3，0)，设BD＝t，则CD＝2 eq \r(2) t，∴A′D＝2 eq \r(2) －2 eq \r(2) t，OD＝2 eq \r(2) A′D＝8－8t.∵OB＝AO－AB＝4－1＝3，又OB＝OD＋DB＝8－8t＋t＝8－7t，∴8－7t＝3，∴t＝ eq \f(5,7) ，∴A′D＝2 eq \r(2) － eq \f(10\r(2),7) ＝ eq \f(4\r(2),7) .∵A′B＝AB，∠A′＝∠OAC，∠A′BD＝∠ABM，∴△A′BD≌ △ABM(ASA)，∴AM＝A′D＝ eq \f(4\r(2),7) .∵△AHM是等腰直角三角形，∴AH＝MH＝ eq \f(4,7) ，∴M( eq \f(24,7) ，－ eq \f(4,7) )，易得BM的解析式为y＝－ eq \f(4,3) x＋4，令－ eq \f(4,3) x＋4＝ eq \f(1,2) x2－2x，化简得3x2－4x－24＝0，解得x＝ eq \f(2±2\r(19),3) ，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是 eq \f(2±2\r(19),3) 3．(原平市模拟)如图，抛物线y＝ eq \f(1,2) x2－3x－8与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为p(2<p<8)，过点P作PD∥y轴交x轴于点D，交直线BC于点E，连接PA，PC，AC，PA与直线BC交于点F. (1)求A，B，C三点的坐标及直线BC的函数表达式； (2)当△PCF的面积等于△ACF面积的 eq \f(3,5) 时，求点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点P使∠CBP＋∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (1)A(－2，0)，B(8，0)，C(0，－8)，直线BC的函数表达式为y＝x－8 (2)过A作AG∥y轴交BC于点G，∵PD∥y轴，∴AG∥PD，∴∠AGF＝∠FEP，∠GAF＝∠EPF，∴△GAF∽△EPF，∴ eq \f(PF,AF) ＝ eq \f(EP,AG) .∵ eq \f(S△PCF,S△ACF) ＝ eq \f(PF,AF) ＝ eq \f(3,5) ，∴ eq \f(EP,AG) ＝ eq \f(3,5) ，设E(p，p－8)，P(p， eq \f(1,2) p2－3p－8)，∴EP＝－ eq \f(1,2) p2＋4p.∵A(－2，0)，易求得G(－2，－10)，∴AG＝10，∴ eq \f(－\f(1,2)p2＋4p,10) ＝ eq \f(3,5) ，解得p＝2或p＝6.∵2<p<8，∴p＝6，∴点P的坐标为(6，－8) 存在点P使∠CBP＋∠ACO＝45°，点P的坐标为(6，－8)， 理由如下：连接BP，∵OB＝OC＝8，∴∠OCB＝45°.∵PD∥y轴，∴∠FEP＝∠OCB＝45°，∴∠FEP＝∠DPB＋∠CBP＝45°.∵∠CBP＋∠ACO＝45°.∴∠DPB＝∠ACO.∵∠AOC＝∠BDP，∴△AOC∽△BDP，∴ eq \f(BD,OA) ＝ eq \f(DP,OC) ，∴ eq \f(8－p,2) ＝ eq \f(－\f(1,2)p2＋3p＋8,8) ，∴p2－14p＋48＝0，∴p＝8或p＝6.∵2<p<8，∴p＝6，∴点P的坐标为(6，－8) $$