专题03 二次函数最值与多结论问题（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题03 二次函数最值与多结论问题 题型一：没有限定自变量的范围求最值 题型二：已知二次函数的对称轴及自变量的范围求最值 题型三：限定自变量的取值范围求函数值的范围 题型四：已知二次函数解析式及最值求自变量范围 题型五：已知二次函数的对称轴及最值求参数问题 题型六：与二次函数最值有关的综合题 题型七：二次函数的多结论问题 题型一：没有限定自变量的范围求最值 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）二次函数的最小值为（      ）． A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为． 故选C． 【点睛】本题考查求二次函数的最值．通过配方将一般式变形为顶点式是解题的关键． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简得，即当时，函数的最大值是，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， 即：函数可化为： ∴当时，函数的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式配方写成顶点式的形式是解题的关键． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线，则函数的最小值是（   ） A． B．72 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，将函数化为一般二次函数形式，根据开口方向判断有最小值，通过求顶点坐标或配方法得到最小值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴抛物线开口向上，有最小值． 顶点横坐标， 代入得 ∴ 函数的最小值为， 故选D 4．下列关于二次函数的最值，说法正确的是（　 　） A．有最小值，且最小值为1 B．有最大值，且最大值为3 C．有最大值，且最大值为1 D．有最小值，且最小值为3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 把二次函数利用配方法改为顶点式，利用函数的性质求得函数的最值即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，二次函数有最大值，且最大值为3． 故选：B 5．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，代数式的值最小，最小值为1 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； （2）解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 题型二：已知二次函数的对称轴及自变量的范围求最值 6．（25-26九年级上·河南周口·月考）函数的最大值和最小值分别是（   ） A．4和 B．和 C．5和 D．5和 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值． 先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：， ， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ， 时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：C． 7．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，最大值出现在端点处，再比较端点和顶点的函数值即可．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，函数值的最大值为． 故选：D． 8．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）已知，那么函数的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．先将函数的解析式化为顶点式，再根据二次函数性质判断出对称轴为直线，函数图像开口向下，则距离对称轴越远函数值越小，从而得到在时，该函数取得最小值，此时． 【详解】解：函数， 对称轴为直线，函数图像开口向下， 则距离对称轴越远函数值越小， 当时，在时，该函数取得最小值，此时， 故选：A． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数中，自变量满足则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值32 D．当时，有最小值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把二次函数解析式转化为顶点式是解本题的关键． 把二次函数解析式整理成顶点式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：， ∵， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∵自变量满足， ∴当时，有最小值，故B选项正确，D选项错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故A，C选项错误； 故选：B 10．（2024秋•河西区校级期末）二次函数y＝2x2﹣8x+1（0≤x≤3）的最小值是 　 　，最大值是 　 　． 【答案】﹣7，1． 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵y＝2x2﹣8x+1＝2（x﹣2）2﹣7， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣7）， 将x＝0代入y＝2x2﹣8x+1得y＝1， ∴0≤x≤3时，函数最小值为﹣7，最大值为1， 故答案为：﹣7，1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系． 题型三：限定自变量的取值范围求函数值的范围 11．（25-26九年级上·天津津南·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数开口向上，对称轴为，且在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴为． ∵ ，且对称轴在区间内， ∴当时，取最小值，． 当时，； 当 时，． ∴ 的最大值为12． 因此，的取值范围是 ． 故选A 12．已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质结合自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线对称轴为直线x=1，开口向上， 又∵-3≤x≤2， ∴当x=1时，函数y有最小值为1； x=-3时，y=17，x=2时，y=2 即y的取值范围是1≤y≤17, 故选择：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及最值的求法，难度适中，把一般式转化为顶点式是解题的关键． 13．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数最值的求解是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于函数开口向上，最小值在对称轴处取得，最大值在离对称轴较远的端点处取得，结合条件列出不等式组求解． 【详解】二次函数，对称轴为直线， 由于当 时函数取得最小值， 故，解得 ， 又当时函数取得最大值，所以，解得， 因此，的取值范围是． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·云南临沧·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，将二次函数一般式化为顶点式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数 ，， ∴当时，函数取得最大值4，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，此时函数取得最小值． ∴当时，函数值y的取值范围是． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为______； (2)当时求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式和对称轴公式，可以求出抛物线的对称轴是； 因为二次函数的二次项系数为，可知抛物线开口向上，对称轴是直线，在范围之内，随着的增大而增大，分别求出当和时对应的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是； 故答案为：直线； （2）解：中， 抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随着的增大而增大， 当时，可得：， 当时，可得：， 当时，． 16．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知：二次函数． (1)将化成的形式； (2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴：直线，顶点为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用（1）得到的顶点式即可求解； （3）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解： ； （2）由（1）知，且， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点； （3）∵中，，对称轴为直线， ， ∴当时，， 又∵顶点为：， ∴当时，函数y的取值范围为：． 题型四：已知二次函数解析式及最值求自变量范围 17．（25-26九年级上·福建福州·期中）当时，函数的的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质，函数 开口向下，顶点为 ，与轴交于 和 ，为使时，函数的的取值范围是，需确保区间包含顶点且不出现值小于的情况． 【详解】解： ， 函数开口向下，顶点为 ，当 或 时，， 当时，的取值范围是， 为取得最大值，区间必须包含 ，即 ； 为保障 ，需 ， ． 故选 ：． 18．（2024•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（　　） A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3 【答案】D 【分析】把一般式转化为顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，求得抛物线与y轴的交点，进而求得其对称点，然后根据二次函数的性质即可得到y＞﹣3时x的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴抛物线与y轴的交点是（0，﹣3）， ∴点（0，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3）， ∴当y＞﹣3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞2． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 19．（25-26九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为，那么当时，函数取得最小值，结合时取得最大值，可判断的取值范围． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，开口向上，顶点为最小值点， 当时，， ∵当时取得最小值， ∴， ∴， ∵当时取得最大值， ， 令，则， 解得， 即， ∴， ， ． 故选：C． 20．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知在时最大值为，最小值为2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，通过配方确定二次函数的对称轴为直线，最小值为；可知当时，；进而得由对称性可知：当时，；即可求解； 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，最小值为； ∵当时，； ∴由对称性可知：当时，； ∵在时最大值为，最小值为2， ∴； 故答案为： 21．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴2的交点坐标为（0，3）． （1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标； （2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标，并直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围． （3）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而增大？ 【分析】（1）将（﹣1，0）和（0，3）两点代入二次函数y＝﹣x2+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解析式，利用配方法求出顶点坐标； （2）令y＝0，解得x1，x2，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围； （3）求出对称轴，根据抛物线开口向下时的增减性即可得出答案． 【详解】解：（1）由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，3）两点， 得， 解这个方程组，得， 抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 由于y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 则抛物线的顶点坐标为（1，4）． （2）令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0． 解这个方程，得x1＝3，x2＝﹣1； ∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）． 当﹣1＜x＜3时，y＞0． （3）∵y＝﹣（x﹣1）2+4开口向下， 对称轴为直线为：x＝1， 对称轴左侧，y随x的增大而增大， 即x≤1时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确求出抛物线的解析式，此题难度不大． 题型五：已知二次函数的对称轴及最值求参数问题 22．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）二次函数（为常数），在自变量的值满足，其函数的最小值为5，则的值为（    ） A．5或 B．1或 C．5或1 D．5或或1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及其性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、对称轴等性质是解题的关键．根据二次函数顶点为，由于在区间内最小值为5大于1，故顶点不在区间内，最小值在端点或处取得，分情况讨论函数在区间上的最小值情况，进而求出的值． 【详解】由题意，，其二次项系数， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数的最小值为， 顶点不在区间内， 最小值在端点或处， 第一种情况：当时，在区间上，函数随的增大而增大， 当时，取最小值5，即， 移项得，， 即， 解得或（舍）， 第二种情况：当时，在区间上，函数随的增大而减小， 当时，取最小值5，即， 移项得，， 即， 解得（舍）或， 综上所述，的值为或5， 故选：A． 23．（2024·陕西咸阳·二模）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近函数值越小， 当时， ∵当时，函数的最小值为， ∴，解得（舍去）； 当时，则， ∵当时，函数的最小值为， ∴当时， ， ∴， 解得； 综上所述，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键， 24．（25-26九年级上·山东日照·月考）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【详解】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 25．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线．当时，y的最小值为，则a的值为（     ） A．或 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值问题，根据对称轴为直线，求出的值，进而求出二次函数的解析式，分，，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵当时，y的最小值为， ∴当，即时，时，函数值最小为，解得（舍去，不符合题意）； 当，即时，则当时，y有最小值，解得； 当时，则当时，y有最小值，解得； 综上：a的值为或． 26．（25-26九年级上·云南昆明·期中）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数a的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值，结合当时函数有最小值6，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减少，当时，y随x的增大而增大， ∵当时，函数有最小值6，分两种情况讨论： 若时，当时，y的最小值是6， ∴， 若时，当时，y的最小值是6， ∴， 解得， 故a的值为3或， 故答案为：3或． 27．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，已知二次函数交轴于点，点在抛物线上，其横坐标为． (1)若向右平移5个单位后得到点，仍落在该抛物线上，求的值； (2)若该抛物线上A，P两点之间的函数值的最大值与最小值的差为2，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值、解一元二次方程，解题关键是分类讨论求解． （1）判断出点P的横坐标，再根据抛物线的对称性即可解决问题； （2）分两种情况讨论：①点在点左侧时，点时抛物线取最大值，在点时抛物线取最小值；②点在点右侧时，、两点之间函数值的最大值与最小值的差为2，最小值为．分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵向右平移5个单位后得到点，仍落在该抛物线上， ∴横坐标为，，     ∴， ∴； （2）解：分以下两种情况讨论： ①点在点左侧时，点时抛物线取最大值，在点时抛物线取最小值， ∵、两点之间函数值的最大值与最小值的差为2，， ∴的纵坐标为，即， 解得：（不合题意，舍去），； ②点在点右侧时，、两点之间函数值的最大值与最小值的差为2，最小值为， ∴的纵坐标为，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述，或． 题型六：与二次函数最值有关的综合题 28．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)直接写出该抛物线的对称轴； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)直线 (3) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）先确定抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）由（1）即可解答； （3）先求出y的最小值，再直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时，， ∴该二次函数的顶点为，对称轴为， 当时，， ∴该二次函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， ∴该二次函数与x轴的交点为， 画出函数图象，如下图： （2）由（1）得：该抛物线的对称轴为； （3）由，得 抛物线开口向上，当时，y取得最小值为， 观察函数图象得：当时，y的取值范围为． 29．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点． 根据图象回答问题： (1)______； (2)当时，二次函数的取值范围为______； (3)若一次函数的图象经过点，当时，的取值范围为______． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）求得点A、B、C的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可解答； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，得到该抛物线的顶点坐标为，最大值为9，结合当和时的函数值，即可解答； （3）先利用待定系数法求得该一次函数的表达式，再联立两个解析式，求得该一次函数和二次函数的另一个交点的横坐标，然后结合图象找到二次函数的图象在一次函数的图象的上方时，x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：15； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，最大值为9， 由（1）可知，当时，，当时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴一次函数的解析式为， ， 解得，， ∴一次函数与二次函数的另一个交点的横坐标为， 由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 30．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）将代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 31．（2025·浙江·二模）已知二次函数． (1)求函数图象顶点（用表示）； (2)当时，求函数最小值的取值范围； (3)若当时，随的增大而减小，记时的函数值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)小于 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得； （2）先求出二次函数的最小值，再利用二次函数的增减性求解即可得； （3）先根据二次函数的增减性求出的取值范围，再根据二次函数的解析式求出的值，然后利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将二次函数化成顶点式为， 所以函数图象的顶点坐标为． （2）解：∵二次函数的图象开口向上， ∴函数的最小值为， 令， 当时，， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∴， 即函数最小值的取值范围为． （3）解：二次函数图象的开口向上，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得， ∵记时的函数值为， ∴， 当时，， 由一次函数的性质可知，随的增大而增大， ∴当时，． 32．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． (1)求a的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； (3)点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 【答案】(1) (2)h最大值为 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，最值的计算，理解题意，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据顶点坐标的计算方法求解； （2）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以； （2）解：在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ， ． ， 当时，h有最大值； （3）解：点在抛物线上，点在抛物线上， ，， 是一个与无关的定值且， ． ， ． 33．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴， ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为， ∴， 即． 34．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知关于的二次函数（，为常数）， (1)若函数图象对称轴为直线，求的值． (2)若该函数解析式可以写成，求证：． (3)设，，在（2）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为10，求的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）根据二次函数的对称轴为求出结果即可； （2）先将函数解析式展开，得到，从而得到，，即可得出结论； （3）利用二次函数的性质得到函数最大值为1，再结合题意得到函数最小值为，解出，，得到，，从而得出结果． 【详解】（1）解：， 对称轴为直线， ； （2）证明：， ，， ； （3）解：，，，， 当时，函数最大值为1， 函数的最大值与最小值差为10， 函数最小值为， ， ， ，， ， ，，且两个等号至少有一个可取， ，， 的最大值为． 35．（25-26九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 【答案】(1) (2)h的最小值为16． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求得对称轴为直线，再分当时，当时，两种情况讨论，根据抛物线的开口方向，进而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； （2）解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时，抛物线开口向下，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 当时：抛物线开口向下，对称轴， 在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴， ∵， ∴h的最小值为16． 题型七：二次函数的多结论问题 36．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时，, 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； 当，，，故④正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即，故⑤不正确， 正确的有②③④， 故选：A． 37．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：① ；②；③；④（其中）；正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质. 根据开口方向，对称轴和抛物线与轴的交点判断①②，特殊点判断③，最值判断④，进而作答． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴，，故①②错误； ∵抛物线过点， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，为， ∴当时，， ∴；故④正确. 即正确的结论有③、④共2个. 故选：C. 38．（25-26九年级上·天津·月考）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由图象开口方向判断出的正负，由对称轴和开口方向得出的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，由抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴直线， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①错误； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 由图象知当时，， ， ， ， 所以②正确； ③抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ， 因此③正确； ④由图象可得时，为最大值， ，即， 所以④错误． 综上所述，正确的结论有②③，共2个， 故选：． 39．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴正半轴， ， ∴，故①正确， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵图象过点， ， ， ， ∴，故②错误， 当时，函数有最大值， ， ∴（为常数），故③正确， ， ∴，故④正确， 正确的个数有3个， 故选：C． 40．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键． 根据图象分别得出a、b、c的符号，即可判断①；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断②；利用二次函数的性质即可判断③；在不等式两边同时加上c，再利用二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即， ∴， 由图象可知，当时，， ∵和两点关于对称轴对称， ∴当时，，即， ∴，故①正确； 由①得，，代入， 得， 由图象可知，当时，，即， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③正确； 假设不等式成立，在不等式两边加c， 得， ∵不等式左侧为当时的函数值，右侧为时（为任意实数）的函数值， 又∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时的函数值为最大值，即恒成立， ∴成立，故④正确； 综上所述，正确的说法有4个． 故选：D． 41．（25-26九年级上·山东日照·期中）对于函数，下列说法正确的是（    ） ①图象关于y轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值的二次函数的性质，包括对称性、最值、方程根与函数图象交点的关系．通过分段讨论去掉绝对值，结合图象，转化为二次函数问题求解． 【详解】解：①∵， ∴的图象关于y轴对称，故①正确； ②∵当时，，最小值为， 当时，，最小值为， ∴函数有最小值，故②正确； ③方程有两个不相等的实数根时，直线与函数图象有两个交点， 由图象知，当时，方程有两个不相等的根，但， ∴不成立，故③错误； ④当，， 当，， 图象如下： 当时，与图象有三个交点， 当与有一个交点时，与有两个交点时， ， 整理得， ， 解得， 有三个交点， 故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：C． 42．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ； 若，为函数图象上的两点，则； 对于任意实数t，总有； 若，则有； 若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个， 其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， ∴； 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ，故①正确； ，在对称轴右侧，， ，故②错误； 当时，y最大，即对于任意实数t有， ，故③正确； ， ， 若，则， ，故④正确； 抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， 抛物线与x轴的另个交点是， 把代入得，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 解得，， ， 顶点坐标为， 由图象得当时，，其中x为整数时，，1，2， 又与时，关于直线轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有2个．故⑤正确； 故选：C． 43．（2024秋•西平县月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④若且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中结论正确的是 　 　． 【答案】②④． 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线对称轴方程得到1，则可对②进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，则x＝﹣1时，y＜0，于是可对③进行判断；由bx1bx2得到bx1bx2+c，则可判断x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，则x2﹣1＝1﹣x1，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为x＝﹣＝1，即b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，所以②正确； ∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1， ∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间， ∴x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以③错误； 当bx1bx2，则bx1+cbx2+c， ∴x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等， ∴x2﹣1＝1﹣x1， ∴x1+x2＝2，所以④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 44．（2024•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论． ①abc＜0； ②b＜a+c； ③c＜4b； ④a+b＜k（ka+b）（k为常数，且k≠1）． 其中正确的结论有 　 　（填写序号）． 【答案】①③． 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b＞a+c故b＜a+c，故②错误； ③当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x1， 即a，代入得9（）+3b+c＜0，得cb， ∵b＞0， ∴c＜4b，故③正确； ④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝k时，y＝ak2+bk+c， 所以a+b+c＞ak2+bk+c， 故a+b＞ak2+bk，即a+b＞k（ak+b），故④错误． 故①③正确． 故答案为：①③． 【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 44．（2024春•江岸区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，现有下列结论：①b﹣2a＝0；②a+b＞n（an+b）（n≠1）；③2c＜3b；④b2﹣4a2＞4ac．其中正确的结论 是 　 　（填序号）． 【答案】②③④． 【分析】①根据对称轴为直线，即可得出结论；②由图象可知，当x＝1时，函数值最大，即可得出结论；③结合对称轴以及x＝﹣1时，y＜0进行变换，即可得出结论；④结合对称轴，得到b2﹣4a2＝0，再进行判断即可． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①错误； ②由图象可知，当x＝1时，函数值最大值为a+b+c， ∴x＝n（n≠1）时的函数值小于x＝1时的函数值， 即：a+b+c＞n（an+b）+c（n≠1）， ∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故②正确； ③由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴b+c＜0，即， ∴2c＜3b，故③正确； ④∵b＝﹣2a， ∴b2＝4a2， ∴b2﹣4a2＝0， ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∴4ac＜0＝b2﹣4a2，故④正确； 综上，正确的是②③④； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查根据二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 45．（2024春•海淀区校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）． 其中正确的是 　 　（填序号）． 【答案】②③⑤． 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可． 【详解】解：由于抛物线的开口向下，因此a＜0， 由于抛物线的对称轴是直线x＝1＞0，所以a、b异号，而a＜0，所以b＞0， 由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0， 所以abc＜0， 因此①不正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b﹣a＞c， 因此②正确； 由抛物线的对称性以及图象可知， 当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0， 因此③正确； 因为对称轴是直线x1，即2a+b＝0， 而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， 所以3a+c＜0， 即3a＜﹣c， 因此④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），即x＝1时，y的值最大，即a+b+c最大， 当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c＜a+b+c， 即a+b＞m（am+b）（m≠1）， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的关系是正确判断的前提． 46．（2024秋•天河区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③a+b≤m（am+b）；④8a+c＜0；⑤a：b：c＝﹣1：2：3，其中正确的结论有 　 　． 【答案】①④⑤． 【分析】根据图象的开口可确定a，结合对称轴可确定b，根据图象与y轴的交点位置可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定Δ；根据当x＝﹣2时，y＜0；抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵二次函数的对称轴是直线x＝1，即二次函数的顶点的横坐标为， ∴2a+b＝0，故②错误； 根据图示知，当x＝1时，有最大值a+b+c； 所以a+b≥m（am+b）（m≠1），故③错误； ∵b＝﹣2a， ∴可将抛物线的解析式化为：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）， 由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＜0， 即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＜0，故④正确； ∵二次函数的图象和x轴的一个交点是 ∵二次函数的图象和x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1， ∴另一个交点的坐标是（3，0）， ∴设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax ∴b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝﹣1：2：3，⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 48．（2024秋•永春县校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，下列四个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0；④点（t﹣2，y1），（t+1，y2）在抛物线上，当t＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是 　 　（填写序号）． 【答案】①③④． 【分析】由已知可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得a，b符号，由（﹣3，0）及抛物线对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而可得c的符号，进而判断①②，由a与b的关系可得ax2+bx＝0的解，从而判断③，由抛物线的对称轴及开口方向可得x＜﹣1时y随x增大而减小，再根据t＜﹣2可得t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1，从而判断④． 【详解】解：∵抛物线经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0， ∴顶点为最低点，即抛物线开口向上，a＞0， 由抛物线的对称性可得抛物线经过（1，0）， ∴﹣3＜x＜1时，y＜0， ∴x＝0时，抛物线与y轴交点在x轴下方，即c＜0， ∵， ∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，①正确． 当x＞1时，y＞0， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，②错误． ∵b＝2a， ∴ax2+bx＝ax2+2ax＝ax（x+2）， ∴抛物线y＝ax2+bx与x轴交点坐标为（0，0），（﹣2，0）， ∵a＞0，抛物线开口向上， ∴x＜﹣2或x＞0时，y＞0，③正确． 当t＜﹣2时，t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1， ∵x＜﹣1时，y随x增大而减小， ∴y1＞y2，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数最值与多结论问题 题型一：没有限定自变量的范围求最值 题型二：已知二次函数的对称轴及自变量的范围求最值 题型三：限定自变量的取值范围求函数值的范围 题型四：已知二次函数解析式及最值求自变量范围 题型五：已知二次函数的对称轴及最值求参数问题 题型六：与二次函数最值有关的综合题 题型七：二次函数的多结论问题 题型一：没有限定自变量的范围求最值 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）二次函数的最小值为（      ）． A． B． C． D．5 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线，则函数的最小值是（   ） A． B．72 C． D． 4．下列关于二次函数的最值，说法正确的是（　 　） A．有最小值，且最小值为1 B．有最大值，且最大值为3 C．有最大值，且最大值为1 D．有最小值，且最小值为3 5．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 题型二：已知二次函数的对称轴及自变量的范围求最值 6．（25-26九年级上·河南周口·月考）函数的最大值和最小值分别是（   ） A．4和 B．和 C．5和 D．5和 7．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）已知，那么函数的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数中，自变量满足则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值32 D．当时，有最小值 10．（2024秋•河西区校级期末）二次函数y＝2x2﹣8x+1（0≤x≤3）的最小值是 　 　，最大值是 　 　． 题型三：限定自变量的取值范围求函数值的范围 11．（25-26九年级上·天津津南·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是 ． 14．（25-26九年级上·云南临沧·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 15．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为______； (2)当时求的取值范围． 16．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知：二次函数． (1)将化成的形式； (2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 题型四：已知二次函数解析式及最值求自变量范围 17．（25-26九年级上·福建福州·期中）当时，函数的的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2024•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（　　） A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3 19．（25-26九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知在时最大值为，最小值为2，则的取值范围是 ． 21．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴2的交点坐标为（0，3）． （1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标； （2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标，并直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围． （3）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而增大？ 题型五：已知二次函数的对称轴及最值求参数问题 22．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）二次函数（为常数），在自变量的值满足，其函数的最小值为5，则的值为（    ） A．5或 B．1或 C．5或1 D．5或或1 23．（2024·陕西咸阳·二模）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 24．（25-26九年级上·山东日照·月考）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线．当时，y的最小值为，则a的值为（     ） A．或 B． C．6 D． 26．（25-26九年级上·云南昆明·期中）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数a的值为 ． 27．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，已知二次函数交轴于点，点在抛物线上，其横坐标为． (1)若向右平移5个单位后得到点，仍落在该抛物线上，求的值； (2)若该抛物线上A，P两点之间的函数值的最大值与最小值的差为2，求的值． 题型六：与二次函数最值有关的综合题 28．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)直接写出该抛物线的对称轴； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 29．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点． 根据图象回答问题： (1)______； (2)当时，二次函数的取值范围为______； (3)若一次函数的图象经过点，当时，的取值范围为______． 30．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 31．（2025·浙江·二模）已知二次函数． (1)求函数图象顶点（用表示）； (2)当时，求函数最小值的取值范围； (3)若当时，随的增大而减小，记时的函数值为，求的取值范围． 32．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． (1)求a的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； (3)点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 33．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 34．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知关于的二次函数（，为常数）， (1)若函数图象对称轴为直线，求的值． (2)若该函数解析式可以写成，求证：． (3)设，，在（2）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为10，求的最大值． 35．（25-26九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 题型七：二次函数的多结论问题 36．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 37．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：① ；②；③；④（其中）；正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 38．（25-26九年级上·天津·月考）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 39．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 40．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（25-26九年级上·山东日照·期中）对于函数，下列说法正确的是（    ） ①图象关于y轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 42．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ； 若，为函数图象上的两点，则； 对于任意实数t，总有； 若，则有； 若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有2个， 其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 43．（2024秋•西平县月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④若且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中结论正确的是 　 　． 44．（2024•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论． ①abc＜0； ②b＜a+c； ③c＜4b； ④a+b＜k（ka+b）（k为常数，且k≠1）． 其中正确的结论有 　 　（填写序号）． 44．（2024春•江岸区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，现有下列结论：①b﹣2a＝0；②a+b＞n（an+b）（n≠1）；③2c＜3b；④b2﹣4a2＞4ac．其中正确的结论 是 　 　（填序号）． 45．（2024春•海淀区校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）． 其中正确的是 　 　（填序号）． 46．（2024秋•天河区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③a+b≤m（am+b）；④8a+c＜0；⑤a：b：c＝﹣1：2：3，其中正确的结论有 　 　． 48．（2024秋•永春县校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，下列四个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0；④点（t﹣2，y1），（t+1，y2）在抛物线上，当t＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是 　 　（填写序号）． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $