专题训练(5) 二次函数中的图形面积问题——热点题型（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（华东师大版 河南专用）

专题训练(五)　二次函数中的图形面积问题——热点题型 第26章　二次函数 数学 九年级下册 华师版 四清导航 2 (－m2－2m＋8) 6 －3m2－6m＋24 6 (－m2＋16) 12 (2－m) 6 y＝2x－m2－2m＋9 －3m2－6m＋24 12 －m2－2m＋8 －3m2－6m＋24 3 4 5 6 7 8 OE DE 9 10 【一阶　方法技巧练】 如图，二次函数y＝－x2＋9的图象与直线y＝2x＋1交于A，B两点，P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PA，PB，设点P的横坐标为m，求△PAB面积的方法通常有如下3种： (1)铅垂法：如图①，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，则S△PAB＝S△PAE＋S△PBE＝ eq \f(1,2) PE·(xB－xA)＝ eq \f(1,2) × ___________________ ×_____＝ _________________； (2)割补法：如图②，过点A作x轴的平行线与过点B所作的y轴的平行线交于点E，连接PE，则S△PAB＝S△PAE＋S△PBE－S△ABE＝ eq \f(1,2) AE·(yP－yA)＋ eq \f(1,2) BE·(xB－xP)－ eq \f(1,2) AE·BE＝ eq \f(1,2) ×_____×_____________＋ eq \f(1,2) ×______×_________－ eq \f(1,2) ×_____×______＝___________________； (3)平行转化法：如图③，过点P作直线AB的平行线交y轴于点Q，连接QA，QB，则直线PQ的函数表达式为_____________________，则QC＝_______________，则S△PAB＝S△QAB＝ eq \f(1,2) QC·(xB－xA)＝__________________． 【二阶　题型针对练】 题型一　图形面积的定值问题 1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P为抛物线上第二象限内的一点， S四边形AOCP＝ eq \f(15,2) ，求点P的坐标． 解：(1)根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a－3b＋c＝0，,a＋b＋c＝0，,c＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,c＝3，)) ∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3 (2)连接OP，设点P(m，－m2－2m＋3)，且－3<m<0，则S四边形AOCP＝S△AOP＋S△COP＝ eq \f(1,2) OA·yP＋ eq \f(1,2) OC·(－xP)＝ eq \f(1,2) ·3(－m2－2m＋3)＋ eq \f(1,2) ·3(－m)＝－ eq \f(3,2) m2－ eq \f(9,2) m＋ eq \f(9,2) ＝ eq \f(15,2) ，解得m1＝－1，m2＝－2，∴点P的坐标为(－1，4)或(－2，3) 题型二　图形面积的最值问题 2．(锦州中考节选)如图，直线y＝ eq \f(1,2) x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ eq \f(1,2) x2＋bx＋c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A. (1)求二次函数的表达式； (2)动点D在直线BC下方的二次函数的图象上， 连接DB，DC，设△BCD的面积为S，求S的最大 值和此时点D的坐标． 解：(1)易知点C(0，－2)，点B(4，0)，∴可设二次函数的表达式为y＝ eq \f(1,2) (x－4)(x－m)，将点C(0，－2)代入，得2m＝－2，解得m＝－1，∴点A(－1，0)，二次函数的表达式为y＝ eq \f(1,2) (x－4)(x＋1)，即y＝ eq \f(1,2) x2－ eq \f(3,2) x－2 (2)过点D作DE∥y轴交BC于点E，设点D(m， eq \f(1,2) m2－ eq \f(3,2) m－2)，0＜m＜4，则点E(m， eq \f(1,2) m－2)，∴DE＝ eq \f(1,2) m－2－( eq \f(1,2) m2－ eq \f(3,2) m－2)＝－ eq \f(1,2) m2＋2m，∴S＝ eq \f(1,2) DE·(xB－xC)＝ eq \f(1,2) ·4(－ eq \f(1,2) m2＋2m)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∴当m＝2时，S最大值＝4，此时点D的坐标为(2，－3) 题型三　图形面积的数量关系问题 3．如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点D是直线BC上方抛物线上的一点，连接OD交直线BC于点E，当S△COE∶S△CDE＝3∶2时，求点D的坐标． 【思路点拨】(2)因为△COE的底边OE与△CDE的底边DE上的高相同，所以S△COE∶S△CDE＝_______∶_______(填线段). 解：(1)∵OB＝OC＝3，∴点B(3，0)，点C(0，3)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0＝32a＋2×3＋c，,3＝c，))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,c＝3，))) ∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3 (2)过点D作DF∥x轴交直线BC于点F，设点D(m，－m2＋2m＋3)，∵点B(3，0)，点C(0，3)，∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋3，∴点F(m2－2m，－m2＋2m＋3)，∴DF＝m－(m2－2m)＝－m2＋3m.∵DF∥x轴，∴△DFE∽△OBE，∴DF∶OB＝DE∶OE＝S△CDE∶S△COE＝2∶3，∴DF＝ eq \f(2,3) OB＝2，即－m2＋3m＝2，解得m1＝1，m2＝2，∴点D的坐标为(1，4)或(2，3) $$