专题训练(4) 二次函数中的线段长问题——热点题型（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（华东师大版 河南专用）

专题训练(四)　二次函数中的线段长问题——热点题型 第26章　二次函数 数学 九年级下册 华师版 四清导航 2 (m，－m2＋9) －4＜m＜2 (m，2m＋1) －m2－2m＋8 －(m＋1)2＋9 －1 大 9 －1 大 3 4 5 6 7 8 DF OA 9 10 11 12 13 14 【一阶　方法技巧练】 如图，二次函数y＝－x2＋9的图象与直线y＝2x＋1交于A，B两点，P是直线AB上方抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m. eq \f(9,2) (1)用含m的代数式表示点P的坐标为 ______________，m的取值范围为 ______________； (2)过点P分别作PE∥y轴交直线AB于点E，PF∥x轴交直线AB于点F， ①用含m的代数式表示点E的坐标为 _______________，则用含m的代数式表示线段PE＝ ________________＝ _________________(配方)，故当m＝ ____ 时线段PE的长度有最 _____ 值 ____； ②用含m的代数式表示点F的坐标为 _______________________，则用含m的代数式表示线段PF＝ _________________ ＝_________________ (配方)，故当m＝_________时线段PF的长度有最 ________ 值 ________． (－ eq \f(1,2) m2＋4，－m2＋9) － eq \f(1,2) m2－m＋4 － eq \f(1,2) (m＋1)2＋ eq \f(9,2) 【二阶　题型针对练】 题型一　线段长的最值问题 1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，2). (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是直线BC上方抛物线上的一动点，过点D作DE ⊥x轴于点E，交直线BC于点F， ①求线段DF长度的最大值；②求点D到直线BC的距离DG的最大值． 【思路点拨】(2)②在Rt△DFG中，DG＝DF·cos ∠FDG＝DF·cos ∠OBC＝_______ DF. eq \f(2\r(5),5) 解：(1)根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,16a＋4b＋c＝0,c＝2，))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，,c＝2，))) ∴该抛物线的函数表达式为y＝－ eq \f(1,2) x2＋ eq \f(3,2) x＋2　 (2)①易得直线BC的函数表达式为y＝－ eq \f(1,2) x＋2，设点D(m，－ eq \f(1,2) m2＋ eq \f(3,2) m＋2)，0<m<4，则点F(m，－ eq \f(1,2) m＋2)，∴DF＝－ eq \f(1,2) m2＋ eq \f(3,2) m＋2－(－ eq \f(1,2) m＋2)＝－ eq \f(1,2) m2＋2m＝－ eq \f(1,2) (m－2)2＋2，∴当m＝2时，DF最大值＝2　②易得BC＝ eq \r(OC2＋OB2) ＝ eq \r(22＋42) ＝2 eq \r(5) ，∴cos ∠OBC＝ eq \f(OB,BC) ＝ eq \f(4,2\r(5)) ＝ eq \f(2\r(5),5) .又∵DE⊥x轴，DG⊥BC，且∠BFE＝∠DFG，∴∠FBE＝∠FDG，∴cos ∠FDG＝cos ∠FBE＝ eq \f(2\r(5),5) ，∴DG＝DF·cos ∠FDG＝ eq \f(2\r(5),5) DF，∴DG最大值＝ eq \f(2\r(5),5) DF最大值＝ eq \f(4\r(5),5) 题型二　线段数量关系问题 2．(锦州中考改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于点A(3，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C. (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D是直线AC上方抛物线上的一动点，连接OD交直线AC于点E， ①若DE＝ eq \f(2,3) OE，求点D的坐标；②当 eq \f(DE,OE) 的值最大时，求点D的坐标． 【思路点拨】(2)过点D作DF∥x轴交AC于点F，构造出△DFE∽△OAE，进而可将斜线段DE与OE之间的数量关系转化为水平线段 ______ 与 _______ 之间的数量关系． 解：(1)将点A(3，0)，点B(－1，0)分别代入y＝ax2＋bx＋3，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋3＝0，,a－b＋3＝0，))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，))) ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3 (2)∵当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，∴点C(0，3)，∴直线AC的函数表达式为y＝－x＋3.过点D作DF∥x轴交直线AC于点F，设点D(m，－m2＋2m＋3)，则0＜m＜3，点F(m2－2m，－m2＋2m＋3)，∴DF＝m－(m2－2m)＝－m2＋3m.∵DF∥x轴，∴△DFE∽△OAE，∴ eq \f(DE,OE) ＝ eq \f(DF,OA) ＝ eq \f(1,3) (－m2＋3m)＝－ eq \f(1,3) m2＋m.①∵DE＝ eq \f(2,3) OE，∴ eq \f(DE,OE) ＝ eq \f(2,3) ，∴－ eq \f(1,3) m2＋m＝ eq \f(2,3) ，解得m1＝1，m2＝2，∴点D的坐标为(1，4)或(2，3)　②∵ eq \f(DE,OE) ＝－ eq \f(1,3) m2＋m＝－ eq \f(1,3) (m－ eq \f(3,2) )2＋ eq \f(3,4) ，0＜m＜3，∴当m＝ eq \f(3,2) 时， eq \f(DE,OE) 有最大值，此时点D的坐标为( eq \f(3,2) ， eq \f(15,4) ) 题型三　两条线段长度之和或周长的最值问题 3．如图，抛物线y＝ax2－4x＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，－5). (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ACP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】(2)由于线段AC的长度一定，故可将求△ACP周长的最小值问题转化为求线段PA＋PC的最小值问题，再结合抛物线的对称性，问题即可迎刃而解． 解：(1)将点A(－1，0)和点C(0，－5)分别代入y＝ax2－4x＋c，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0＝a＋4＋c，,－5＝c，))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝－5，))) ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－4x－5 (2)存在，理由如下：连接BP，BC，∵AC的长度是定值，∴要使得△ACP的周长最小，只要PA＋PC最小即可．而点A与点B关于抛物线的对称轴对称，∴PA＝PB，∴PA＋PC＝PB＋PC≥BC(当且仅当点B，P，C三点共线，即点P为抛物线的对称轴直线x＝－ eq \f(－4,2×1) ＝2与直线BC的交点时“＝”成立).易得直线BC的函数表达式为y＝x－5，当x＝2时，y＝x－5＝－3，∴在该抛物线的对称轴上存在一点P(2，－3)，使得△ACP的周长最小 $$