第4章 第2节 非多项式函数的导数-【高考零起点】2025年新高考数学总复习学用word（艺考）

第二节　非多项式函数的导数 1．导数基本公式 (1)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex. (2)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x. (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln a(a>0且a≠1)． (6)若f(x)＝logax，则f′(x)＝(a>0且a≠1)． 2. 导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)[cf(x)]′＝cf′(x)． (4)′＝(g(x)≠0)． (5)由(4)得：′＝－. 3. 求非多项式函数的单调区间、最值、极值的方法与多项式函数完全相同． 例1　求函数f(x)＝的导数． f′(x)＝′＝ ＝ ＝.　 例2　求函数f(x)＝(x2＋1)ln x的导数． f′(x)＝(x2＋1)′ln x＋(x2＋1)(ln x)′ ＝2xln x＋ ＝2xln x＋x＋.　 例3　求函数f(x)＝sin x的图象在原点处的切线斜率及此切线的方程． f′(x)＝cos x，将原点的横坐标x＝0代入导函数得f′(0)＝1，所以原函数图象在原点处的切线斜率为1，由直线的点斜式方程，此切线方程为y－0＝1·(x－0), 整理得y＝x.　 例4　求函数f(x)＝ex(x2＋3x－9)的单调区间． f′(x)＝(ex)′(x2＋3x－9)＋ex(x2＋3x－9)′＝ex(x2＋3x－9)＋ex(2x＋3)＝ex(x2＋5x－6)， 令ex(x2＋5x－6)>0，因为ex恒大于零，所以x2＋5x－6>0，x<－6或x>1. 所以该函数的单调递增区间为(－∞，－6)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－6,1)．　 例5　 求f(x)＝的单调区间． 不难求得函数的定义域为(0，＋∞)．由f′(x)＝＝，令>0得1－ln x>0，所以ln x<1，解得0<x<e.从而该函数的单调递增区间为(0，e)，结合该函数的定义域，可知单调递减区间为(e，＋∞)．　 一、选择题 1. 曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(　A　) A．1 B．2 C．e D． 2. (2019全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　C　) A． x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0 3. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　D　) A． (－∞，2) B．(0,3) C.(1,4) D．(2，＋∞) 4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　D　) A．2 B． C.－ D．－2 5. 已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标为(　A　) A．3 B．2 C．1 D． 6．(2023全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　C　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 7. (2024全国甲卷理)设函数f＝，则曲线y＝f在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　A　) A． B． C． D． 8. (2022全国乙卷)函数f＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　D　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 9. (多选)设P是曲线y＝ex－x＋上的任意一点，P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含(　ACD　) A． B． C． D． 二、填空题 1. 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是__(e，e)__. 2. (2022新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　∪　. 3. (2024新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝__ln_2__. 4. 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为__y＝2x__. 5．(2021新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为__1__. 6. (2022新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln过坐标原点的两条切线的方程为　y＝x　，　y＝－x　. 学科网（北京）股份有限公司 $$