（单元讲义）第六单元 正比例和反比例（知识梳理+典例精讲+培优必刷）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

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（3）借助图像，可以由一个量的值找到对应的另一个量的值。 【知识点二】认识成反比例的量 1、反比例的意义。 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫作成反比例关系。 （2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，则反比例关系可以表示为x×y=k（一定）。 2、反比例关系的判断方法。 （1）看这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量中相对应的两个数的积是否一定。积一定，这两种量就成反比例，否则就不成反比例。 总结： 1、成正比例关系的两种量的变化是同步的，比值是定值；成反比例关系的两种量的变化正好相反，一个量变大，另一个量反而减小，这两个量对应的两个数的积一定。 2、根据反比例的意义判断两种量成反比例的条件:（1）两种量是相关联的量。一种量变化，另一种量也随着变化。（2）两种量中相对应的两个数的积一定。 【考点一】认识成正比例的量 【典例一】如图表示一工程队建筑公路的长度与所用的时间的关系，这个工程队修路的长度与所用时间成（    ）比例。照这样计算，修筑650米公路需要（    ）小时。 A．反，6.5 B．反，65 C．正，6.5 D．正，65 【分析】根据所给的图象特征可知这个工程队修路的长度与所用时间成正比例，每小时修的长度是一定的，据此列比例解答即可。 【解答】这个工程队修路的长度与所用时间成正比例。 解：设修筑650米公路需要x小时。 100∶1＝650∶x 100x＝650 x＝6.5 修筑650米公路需要6.5小时。 故选择：C 【点评】此题考查了正比例的实际应用，牢记正比例的图形特征，认真解答即可。 【典例二】如下图，欢欢沿着直尺的方向拉橡皮筋。如果点A的位置固定不变，将橡皮筋继续拉长，使点C的位置在16厘米处，那么点B的位置在( )厘米处；如果使点B的位置在15厘米处，那么点C的位置在( )厘米处。 【分析】在一定的弹性范围内，橡皮筋相对位置（如点B和点C）的拉长距离成正比例关系。 设点B的位置在x厘米处，根据点B现在的位置∶点B原来的位置＝点C现在的位置∶点C原来的位置，列出比例求出x的值是点B的位置。 设点C的位置在y厘米处，根据点C现在的位置∶点C原来的位置＝点B现在的位置∶点B原来的位置，列出比例求出y的值是点C的位置。 【解答】解：设点B现在的位置在x厘米处。 x∶9＝16∶12 12x＝9×16 12x＝144 12x÷12＝144÷12 x＝12 解：设点C现在的位置在y厘米处。 y∶12＝15∶9 9x＝12×15 9x＝180 9x÷9＝180÷9 x＝20 如果点A的位置固定不变，将橡皮筋继续拉长，使点C的位置在16厘米处，那么点B的位置在12厘米处；如果使点B的位置在15厘米处，那么点C的位置在20厘米处。 【点评】关键是根据图示确定比例关系，从而列出比例解决问题。 【典例三】新冠肺炎疫情期间，工作人员配制消毒水，药液的质量与水的质量如下表。 药液 0 1 2 3 4 5 6 水 0 60 120 180 240 300 360 （1）判断药液的质量与所需水的质量是否成正比例关系，并说明理由。 （2）把上表药液和相对应的水的质量的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）4.5千克药液需要和 （    ）千克水配制这种消毒水；水需要和（    ）药液配制这种消毒水。 【分析】（1）根据所需水的质量与药液的质量比，求出比值，再判断即可。 （2）把上表药液和相对应的水的质量的点描在方格纸上，然后再顺次连接各点即可。 （3）根据所需水的质量与药液的比值是60解答即可。 【解答】（1）因为60∶1＝120∶2＝180∶3＝200∶4＝300∶5＝60（一定），所以药液的质量与所需水的质量成正比例关系。 （2） （3）（千克） （克） 4.5千克药液需要和270千克水配制这种消毒水；水需要和药液配制这种消毒水。 【点评】解答本题关键是明确正比例的意义和辨识成正比例关系的方法。 【考点二】认识成反比例的量 【典例一】如图所示，在杠杆左侧挂3个钩码，那么在杠杆右侧应挂（    ）个这样的钩码才能保持平衡。 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据题意可知，砝码的质量与砝码距支点的距离的乘积一定，因此3×4＝2×右侧钩码个数，据此解答。 【解答】3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（个） 故答案为：B 【点评】此题考查的目的理解掌握反比例的意义及应用。 【典例二】张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如下表。 每小时加工个数/个 10 20 30 40 50 60 … 加工时间/时 60 30 20 15 12 10 … (1)表中有( )和( )这两种相关联的量。每小时加工个数越多，加工时间( )。 (2)这两种量中相对应的两个数的积都是( )，这个积表示的是( )。 (3)表中相关联的两种量成( )关系。 【分析】（1）根据表格中最左列可知表中表示两种变化的量，每小时加工的零件数从10逐渐增加到60，需要的时间由60小时减少到10小时； （2）根据题中这两种量相对应的数计算乘积，10×60＝600，20×30＝600，30×20＝600……；根据每小时加工个数×加工时间＝这批零件的总个数； （3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。 【解答】（1）表中有每小时加工个数和加工时间这两种相关联的量。每小时加工个数越多，加工时间越短。 （2）（2）10×60＝600 20×30＝600 30×20＝600 40×15＝600 50×12＝600 60×10＝600 这两种量中相对应的两个数的积都是600，这个积表示的是这批零件的总个数。 （3）（3）由分析可得：已知每小时加工个数×加工时间＝这批零件的总个数，这批零件的总数一定，所以表中相关联的两种量成反比例关系。 【典例三】一辆汽车准备从甲地开往乙地。根据下表提供的信息，把表格填写完整。 时间/时 8 10 16 20 32 40 速度（千米/时） 100 80 （1）行驶的时间和速度成什么比例关系？说明理由。 （2）试着在方格纸上画图表示表中的数据。 （3）如果这一辆汽车从甲地到乙地用了18小时，根据上面表格，估计这辆汽车的速度大约是多少？ 【分析】（1）因为路程一定，所以行驶的时间和速度成反比例关系； （2）根据路程、时间、速度三者之间的关系，求出对应的速度，填写表格。 （3）因为18小时介于16小时与20小时之间，那么速度就介于50与40之间，估算即可； 【解答】补充表格如下： 时间（时） 8 10 16 20 32 40 速度（千米/时） 100 80 50 40 25 20 （1）因为8×100＝800（千米），10×80＝800（千米），即路程一定，时间与速度成反比例； （2）画图表示表中的数据： （3）800÷18≈44（千米） 答：这辆汽车的速度大约是每小时44千米。 【点评】运用表中给出的数据，结合路程、时间、速度三者之间的关系，解决问题。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）小伟1.2小时骑车6千米，他骑车的速度是每小时（ )千米，如果小伟骑车的速度一定，他骑行的路程和时间成（ )比例。 【答案】5 正 【分析】根据速度＝距离÷时间，代入数据，求出骑车的速度；判断路程和时间成何比例，就看路程与时间这两个相关的量的商一定还是积一定，如果商一定，成正比例，如果乘积一定，成反比例，据此判断。 【解答】6÷1.2＝5（千米） 小伟骑车的速度一定，即路程÷时间＝速度（一定），路程和时间成正比例。 小伟1.2小时骑车6千米，他骑车的速度是每小时5千米，如果小伟骑车的速度一定，他骑行的路程和时间成正比例。 【点评】根据速度、时间和路程三者关系，以及正比例意义和辨识，反比例意义和辨识进行解答。 2．（2分）六一儿童节，商场玩具一律六折出售，玩具的现价和原价成（ )比例，弟弟买的玩具飞机花了18.6元，这个玩具飞机原价（ )元。 【答案】正 31 【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例；根据现价÷原价＝折扣，据此判断即可；最后根据原价＝现价÷折扣，据此计算即可。 【解答】18.6÷60%＝31（元） 因为现价÷原价＝折扣（一定），它们的比值一定，所以玩具的现价和原价成正比例；弟弟买的玩具飞机花了18.6元，这个玩具飞机原价31元。 【点评】本题考查折扣问题，明确现价÷原价＝折扣是解题的关键。 3．（2分）在下边的表中A与B成正比例，那么“？”是（ )；如果A与B成反比例，那么“？”是（ )。 A 8 ？ B 240 120 【答案】4 16 【分析】正比例是表示两个相关的量，且对应的量比值是一定的；反比例表示两个相关的量，且对应的量的乘积是一定的。据此解比例即可解答 【解答】8∶240＝A∶120 240A＝8×120 240A＝960 A＝960÷240 A＝4 8×240＝A×120 120A＝1920 A＝1920÷120 A＝16 【点评】本题考查是正比例和反比例的知识点，要根据正比例和反比例的特征进行计算。 4．（2分）甲、乙两人的速度比是8∶5，已知乙从A地到B地用了40分钟，那么甲行这段路需要用（ )分钟。 【答案】25 【分析】根据题意，甲、乙两人的速度比是8∶5，把甲的速度看作是“8”，乙的速度看作是“5”，根据乙从A地到B地用了40分钟，由于距离不变，速度和时间成反比例，甲行驶的路程＝乙行驶的路程；设甲行这段路需要x分钟，列比例：8x＝5×40，解比例，即可求出甲行这段路需要的时间。 【解答】解：设甲行这段路需要x分钟。 8x＝5×40 8x＝200 x＝200÷8 x＝25 甲、乙两人的速度比是8∶5，已知乙从A地到B地用了40分钟，那么甲行这段路需要用25分钟。 【点评】熟练掌握反比例的意义和辨识是解答本题的关键。 5．（2分）a、b都是非0自然数，且a是b的。那么a和b成（ )比例，a和b的最大公因数是（ )。 【答案】正 a 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。 【解答】因为a、b都是非0自然数，且a是b的。 所以a÷b（一定），商一定，所以a和b成正比例； a÷b，所以b÷a＝4，即b是a的4倍，所以a和b的最大公因数是a。 【点评】熟练掌握辨识成正、反比例的量以及求两个数为倍数关系时两个数最大公因数的求法是解题的关键。 6．（2分）已知A和B是两种相关联的量，当时，，如果A和B成正比例，当时，（ )；如果A和B成反比例，当时，（ )。 【答案】9 3 【分析】两个相关联的量，若它们成正比例，则它们的比值一定；若它们成反比例，则它们的乘积一定。 【解答】由分析可知： 如果A和B成正比例，则A和B的比值是5÷6＝ 7.5÷＝×＝9，则当时，9； 如果A和B成反比例，则A和B的乘积是5×6＝30 30÷10＝3，则当时，3。 【点评】本题考查正反比例的应用，明确正反比例的定义是解题的关键。 7．（2分）当水与某种洗衣液的比是500∶9时洗衣效果最好，那么在80升水中需要加入（ )毫升这种洗衣液效果才能最好。 【答案】1440 【分析】要使洗衣液的效果最好，水与洗衣液的比值不变。设需要加入x毫升这种洗衣液，列出比例方程：500∶9＝80∶x，再根据比例的基本性质解方程。注意单位要统一。 【解答】解：设需要加入x毫升这种洗衣液。 80升＝80000毫升 500∶9＝80000∶x 500×x＝9×80000 500x＝720000 500x÷500＝720000÷500 x＝1440 所以，在80升水中需要加入1440毫升这种洗衣液效果才能最好。 8．（2分）一座水库某天从起开始放水。水库管理员每2小时观测一次水位下降情况，下面是他的观测记录。 时间 与比水位下降 12 24 36 48 水位下降的厘米数和放水时间成（ )比例。照这样的速度，要使水位下降84厘米，一共要放水（ )小时。 【答案】正 14 【分析】（1）水位下降高度÷放水时间＝水位下降速度，根据表中数据计算水位下降速度，如果商一定，即水位下降的厘米数和放水时间的比一定，则水位下降的厘米数和放水时间成正比例，反之则不成比例。 （2）放水时间＝水位下降高度÷水位下降速度，据此解答即可。 【解答】（1）（厘米/小时） （厘米/小时） （厘米/小时） （厘米/小时） 水位下降高度÷时间＝水位下降速度（一定），即水位下降的厘米数和放水时间的比一定，所以水位下降的厘米数和放水时间成正比例。 （2）（小时） 即照这样的速度，要使水位下降84厘米，一共要放水14小时。 9．（2分）如图表示的是一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系。这辆汽车行驶的路程与时间的比值是（ )，它们成（ )比例。 【答案】60 正 【分析】根据比和除法的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，统计图可知，用行驶的路程÷行驶的时间，即可求出这辆汽车行驶的路程与时间的比值，也就是这辆车的速度；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】60÷1＝60（千米/时） 120÷2＝60（千米/时） 180÷3＝60（千米/时） 240÷4＝60（千米/时） 300÷5＝60（千米/时） 这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60； 60∶1＝120∶2＝180∶3＝240∶4＝300∶5＝60（一定），这辆汽车行驶的路程与时间成正比例。 这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60，它们成正比例。 10．（2分）上午11：00在操场上，小红测得50厘米的一根木棒影长是25厘米，同时，小刚测得旗杆的影长是4.5米，那么学校旗杆的高度是（ )米。 【答案】9 【分析】根据题意可知，在同一时间、同一地点，影长与实际长度的比值一定，那么影长与实际长度成正比例关系，由此列出正比例方程，并求解。 【解答】解：设学校旗杆的高度是米。 25∶50＝4.5∶ 25＝50×4.5 25＝225 ＝225÷25 ＝9 学校旗杆的高度是9米。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）如果A＝8B，那么A与B成反比例。（ ) 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】如果A＝8B，当A、B都不为0时，则A∶B＝8，是比值一定，那么A与B成正比例，所以判断错误。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 12．（2分）若，则a与b成反比例。（ ) 【答案】√ 【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例；据此进行判断。 【解答】若ab－8＝125，即ab＝133，是乘积一定，则a与b成反比例； 原题说法正确。 故答案为：√ 【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择。 13．（2分）工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例。（ ) 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此进行解答即可。 【解答】工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量一定，即工作效率和工作时间乘积一定，工作时间和工作效率成反比例。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点评】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 14．（2分）一架客机从北京飞往广州，飞行速度和所用时间成正比例。（ ) 【答案】× 【分析】两个相关联的量，一个量随着另外一个量的变化而变化，如果两个量的商是一个定值，则说明这两个量成正比例关系；如果两个量的乘积一定，则说明这两个量成反比例关系。 【解答】飞行的速度×所用的时间＝北京到广州的路程（一定），乘积一定，那么飞行速度和所用时间成反比例。 原题说法错误。 故答案为：× 15．（2分）从下面图象中可以知道斑马、长颈鹿各自的奔跑路程与奔跑时间都成正比例。（ ) 【答案】√ 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。正比例关系的图象是一条直线，据此判断。 【解答】斑马、长颈鹿各自的奔跑路程与奔跑时间的关系图象是一条直线，表示斑马、长颈鹿各自的奔跑速度一定，即路程与时间的比值一定，所以从图象中可以知道斑马、长颈鹿各自的奔跑路程与奔跑时间都成正比例。 原题说法正确。 故答案为：√ 三、选择题（满分10分） 16．（2分）汽车从防城港到南宁，所用的时间和速度（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】B 【分析】判断时间和速度之间成什么比例，就看这两个相关联的量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】根据路程＝速度×时间，汽车从防城港到南宁，路程是一定的，也就是速度×所用时间＝路程（一定），速度和所用时间的乘积一定，则所用的时间和速度成反比例。 因此汽车从防城港到南宁，所用的时间和速度成反比例。 故答案为：B 17．（2分）下列各式中，与（、均不为0）成反比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【解答】A．由可得：（一定），比值一定，则与成正比例，不符合题意； B．由可得：（一定），比值一定，则与成正比例，不符合题意； C．由可得：（一定），积一定，则与成反比例，符合题意； D．由可得：（一定），比值一定，则与成正比例，不符合题意。 故答案为：C 18．（2分）张阳和同学带着测量工具准备测量一栋大楼的高度。当他站在楼下时，同学量得他的影长为2.4米，同时量得大楼的影长为36米。已知张阳身高160厘米，大楼高（    ）米。 A．2.4 B．24 C．5.4 D．54 【答案】B 【分析】同一时刻，物高与影长成正比例，由此设大楼高x米，列比例，解比例即可解答。 【解答】160厘米＝1.6米 解：设大楼高x米。 2.4∶1.6＝36∶x 2.4x＝1.6×36 2.4x＝57.6 x＝57.6÷2.4 x＝24 故答案为：B 【点评】解答本题的关键是判定同一时刻的物高与影长成正比例，再根据正比例的应用进行解答。 19．（2分）有两个相关联的量，它们的关系如图所示，这两个量不可能是（    ）。 A．圆柱的底面积一定，体积和高 B．单价一定时，购物的总价和购物数量 C．路程一定，已走的路程和剩下的路程 D．圆的周长与直径 【答案】C 【分析】由图可知：相关联的两种量成正比例关系，逐项分析各项是否成正比例即可解答。 【解答】A．圆柱的体积÷高＝圆柱的底面积（比值一定），所以圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系； B．购物总价÷购物数量＝单价（比值一定），所以单价一定时，购物的总价和购物数量成正比例关系； C．已走的路程＋剩下的路程＝路程（和一定），所以路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例； D．圆的周长÷直径＝π（比值一定），所以圆的周长与直径成正比例关系； 故答案为：C 【点评】本题主要考查正比例的意义与辨识。 20．（2分）小明把不同数量的水倒入同样的杯子里，分别测得杯中水的高度和体积（如下表）。杯中水的体积和水的高度（    ）。 水的高度/cm 2 4 6 8 … 水的体积/cm3 50 100 150 200 … A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】A 【分析】判断水的体积和水的高度之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；比值、乘积均不一定则不成比例；据此解答。 【解答】50∶2＝50÷2＝25 100∶4＝100÷4＝25 150∶6＝150÷6＝25 200∶8＝200÷8＝25 杯中水的体积和水的高度的比值一定，所以杯中水的体积和水的高度成正比例。 故答案为：A 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求未知数x。 20%x＋1.5＝18.5        x－x＝3.2         42∶＝x∶ 【答案】x＝85；x＝8；x＝40 【分析】首先根据等式的性质，两边同时减去1.5，然后两边再同时除以0.2（20%＝0.2）即可； 首先把x－x＝3.2化成0.4x＝3.2，然后根据等式的性质，两边同时除以0.4即可； 首先根据比例的基本性质化简，可得x＝42×，然后根据等式的性质，两边同时乘即可。 【解答】20%x＋1.5＝18.5 解：0.2x＋1.5＝18.5 0.2x＋1.5－1.5＝18.5－1.5 0.2x＝17 0.2x÷0.2＝17÷0.2 x＝85 （2）x－x＝3.2 解：x－0.6x＝3.2 0.4x＝3.2 0.4x÷0.4＝3.2÷0.4 x＝8 （3）42∶＝x∶ 解：x＝42× x＝30 x×＝30× x＝40 五、解答题（满分54分） 22．（6分）学生们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？（用两种方法解答） 【答案】15行 【分析】第一种方法：原来每行人数×正好站成的行数＝做操总人数，做操总人数÷现在每行站的人数＝现在可以占的行数； 第二种方法：设可以站x行，总人数＝每行站的人数×站成的行数；由于总人数不变，每行站的人数和行数成反比例。现在每行站的人数×现在可以站的行数＝原来每行站的人数×正好站成的行数，列方程：24x＝20×18，解方程，即可解答。 【解答】第一种：20×18÷24 ＝360÷24 ＝15（行） 第二种：解：设可以站x行。 24x＝20×18 24x＝360 24x÷24＝360÷24 x＝15 答：可以站15行。 【点评】解答本题的关键明确总人数不变，利用总人数不变，进行解答。 23．（6分）学校会议室用方砖铺地，用面积16平方分米的方砖，需要150块，如果改用边长是5分米的方砖要用多少块？（用比例解） 【答案】96块 【分析】根据题意可知，会议室的面积是不变的，每一块方砖的面积与所需块数的乘积是一定的，即两种量成反比例；设如果改用边长是5分米的方砖要用x块，列比例：5×5×x＝16×150，解比例，即可解答。 【解答】解：设如果改用边长是5分米的方砖要用x块。 5×5×x＝16×150 25x＝2400 x＝2400÷25 x＝96 答：如果改用边长是5分米的方砖要用96块。 【点评】此题首先利用正、反比例的意义判定两种量的关系，解答时关键不要把边长当作面积进行计算。 24．（6分）网通公司为光明小区安装电话，如果每天安装25部，18天可以装完。如果想提前3天完成，平均每天要多装多少部？ 【答案】5部 【分析】根据题意可知，这些电话机的总部数一定，也就是每天安装的部数与所用的天数的积一定，因此每天安装的部数与所用天数成反比例，可以设平均每天安装x部可以提前3天完成任务，即（18－3）x＝25×18，由此解方程即可，求出x再减去原来每天安装的部数即可知道平均每天要多装多少部。 【解答】解：设平均每天安装x部可以提前3天完成任务。 （18－3）x＝25×18 15x＝450 x＝450÷15 x＝30 30－25＝5（部） 答：提前3天完成任务，平均每天要多装5部。 【点评】本题主要考查比例应用题，解题的关键是判断题目中相关联的两个量成什么比例，乘积一定是反比例，比值一定是正比例，由此解答。 25．（8分）下面的图像表示一幅沛县地图的图上距离和实际距离的关系。 （1）图上距离和实际距离成（    ）比例，这幅地图的比例尺是（    ）。 （2）在这幅地图上，量得沛公园到文景园的距离是21厘米。刘雨辰一家驾车从沛公园到文景园，平均每小时行30千米。他们从沛公园到文景园大约需要多少小时？ 【答案】（1）正；1∶40000； （2）0.28小时 【分析】（1）根据图可知，这个直线是经过原点的直线，由此即可知道图上距离与实际距离成正比例关系；根据比例尺＝图上距离∶实际距离，把数代入即可。注意统一单位。 （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，把数代入求出沛公园到文景园的路程，再根据公式：路程÷速度＝时间，把数代入即可求解。 【解答】（1）根据图可知：图上距离和实际距离成正比例； 2800m＝280000cm 比例尺＝7厘米∶280000厘米＝1∶40000 （2）21÷＝840000（厘米） 840000厘米＝8.4千米 8.4÷30＝0.28（小时） 答：他们从沛公园到文景园大约需要0.28小时。 【点评】解答此题的关键是根据图中数据分析出图上距离和实际距离的关系；并且熟练掌握比例尺和行程问题的公式并灵活运用。 26．（8分）张大伯想在一个空旷的草场上围出2400平方米的长方形羊圈。请你帮助张大伯在下面表格中列举出几种围法，并计算出每种围法需要栅栏的总长度（接头处不计）。 长/m 120 …… 宽/m 20 …… 栅栏总长度/m 280 …… （1）根据自己的围法，将表格填写完整。 （2）表格中是否有成正比例或反比例的量？如果有，请完整地表述出来，并说明理由。 【答案】（1）见详解 （2）长方形的长和宽成反比例。因为：120×20＝2400（平方米），80×30＝2400（平方米），60×40＝2400（平方米）。长×宽＝长方形的面积（一定），长方形的面积一定，即长和宽的积一定，则长和宽成反比例。 【分析】（1）长方形的面积＝长×宽。2400＝60×40＝80×30。长方形的周长＝（长＋宽）×2，当长60米，宽40米时，栅栏总长度＝（60＋40）×2＝200（米）；当长80米，宽30米时，栅栏总长度＝（80＋30）×2＝220（米）。据此填表。（答案不唯一） （2）两种相关联的量，它们的商一定，则成正比例；它们的积一定，则成反比例。 【解答】（1） 长/m 120 80 60 …… 宽/m 20 30 40 …… 栅栏总长度/m 280 220 200 …… （2）长方形的长和宽成反比例。因为：120×20＝2400（平方米），80×30＝2400（平方米），60×40＝2400（平方米）。长×宽＝长方形的面积（一定），长方形的面积一定，即长和宽的积一定，则长和宽成反比例。 【点评】本题考查长方形的周长、面积和反比例的综合应用。根据长方形的面积公式确定长和宽，继而求出周长；根据反比例的意义确定长方形的长和宽成反比例。 27．（8分）从春蕾小学到某研学基地，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。 车辆 小客车 中巴车 小轿车 大巴车 平均速度（千米/时） 80 75 90 60 时间（时） 1.5 1.6 2 （1）如果用s表示学校到研学基地的路程，用v表示车辆的平均速度，t表示驶完全程所需的时间。v与t成什么比例关系？写出这个关系式。 （2）春蕾小学部分师生准备下周一早上8：00从学校开车去该研学基地，想在当天上午9：40前到达，开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 【答案】（1）反比例；s＝vt或者vt＝120   （2）72千米/时 【分析】（1）根据“速度×时间＝路程”可知，路程一定时，速度与时间成反比例关系，据此用字母表示出这个关系式。 （2）根据题意，从早上8：00开车出发，当天上午9：40前到达，用到达时刻减去出发时刻，求出开车的时间；根据速度×时间＝路程（一定），则车辆的平均速度和行驶时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【解答】（1）80×1.5＝75×1.6＝90×＝60×2＝120（一定） 乘积一定，则车辆的平均速度与时间成反比例关系。 答：v与t成反比例关系，关系式：s＝vt或者vt＝120。 （2）9时40分－8时＝1小时40分 1小时40分＝小时 解：设开车的平均速度不能低于千米/时。 ＝80×1.5 ＝120 ＝120÷ ＝120× ＝72 答：开车的平均速度不能低于72千米/时。 28．（12分）运输一批水果，下表是每箱的质量与所需要的箱数之间的关系。 每箱的质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需的箱数/箱 100 75 60 50 （    ） （    ） （1）请把上表补充完整。从上面的表中，你发现那个量没有变化？ （2）每箱水果的质量与箱数之间成什么比例？为什么？ （3）当水果的质量为25千克时，你知道需要多少个箱子吗？ 【答案】（1）30；20；发现水果总质量没有变化； （2）成反比例；因为每箱水果质量与箱数的乘积一定； （3）12个 【分析】（1）根据表中前4列中的数据可知，每箱水果的质量与所需的箱数的积一定，据此填表； （2）根据每箱水果的质量与所需的箱数的积一定，判定每箱水果的质量与箱数之间成反比例； （3）用这批水果总千克数除以25即可。 【解答】（1） 每箱的质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需的箱数/箱 100 75 60 50 30 20 这批水果的总千克数没有变化。 （2）3×100＝4×75＝5×60＝6×50＝10×30＝15×20 每箱水果的质量与箱数之间成反比例，因为每箱的质量与所需的箱数的积一定。 （3）3×100÷25 ＝300÷25 ＝12（个） 答：需要12个箱子。 【点评】解答本题需熟练掌握正比例和反比例的意义，能正确判断两种相关联的量成正比例还是成反比例，灵活利用比例知识解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 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2、反比例关系的判断方法。 （1）看这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量中相对应的两个数的积是否一定。积一定，这两种量就成反比例，否则就不成反比例。 总结： 1、成正比例关系的两种量的变化是同步的，比值是定值；成反比例关系的两种量的变化正好相反，一个量变大，另一个量反而减小，这两个量对应的两个数的积一定。 2、根据反比例的意义判断两种量成反比例的条件:（1）两种量是相关联的量。一种量变化，另一种量也随着变化。（2）两种量中相对应的两个数的积一定。 【考点一】认识成正比例的量 【典例一】如图表示一工程队建筑公路的长度与所用的时间的关系，这个工程队修路的长度与所用时间成（    ）比例。照这样计算，修筑650米公路需要（    ）小时。 A．反，6.5 B．反，65 C．正，6.5 D．正，65 【典例二】如下图，欢欢沿着直尺的方向拉橡皮筋。如果点A的位置固定不变，将橡皮筋继续拉长，使点C的位置在16厘米处，那么点B的位置在( )厘米处；如果使点B的位置在15厘米处，那么点C的位置在( )厘米处。 【典例三】新冠肺炎疫情期间，工作人员配制消毒水，药液的质量与水的质量如下表。 药液 0 1 2 3 4 5 6 水 0 60 120 180 240 300 360 （1）判断药液的质量与所需水的质量是否成正比例关系，并说明理由。 （2）把上表药液和相对应的水的质量的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）4.5千克药液需要和 （    ）千克水配制这种消毒水；水需要和（    ）药液配制这种消毒水。 【考点二】认识成反比例的量 【典例一】如图所示，在杠杆左侧挂3个钩码，那么在杠杆右侧应挂（    ）个这样的钩码才能保持平衡。 A．5 B．6 C．7 D．8 【典例二】张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如下表。 每小时加工个数/个 10 20 30 40 50 60 … 加工时间/时 60 30 20 15 12 10 … (1)表中有( )和( )这两种相关联的量。每小时加工个数越多，加工时间( )。 (2)这两种量中相对应的两个数的积都是( )，这个积表示的是( )。 (3)表中相关联的两种量成( )关系。 【典例三】一辆汽车准备从甲地开往乙地。根据下表提供的信息，把表格填写完整。 时间/时 8 10 16 20 32 40 速度（千米/时） 100 80 （1）行驶的时间和速度成什么比例关系？说明理由。 （2）试着在方格纸上画图表示表中的数据。 （3）如果这一辆汽车从甲地到乙地用了18小时，根据上面表格，估计这辆汽车的速度大约是多少？ 一、填空题（满分20分） 1．（2分）小伟1.2小时骑车6千米，他骑车的速度是每小时（ )千米，如果小伟骑车的速度一定，他骑行的路程和时间成（ )比例。 2．（2分）六一儿童节，商场玩具一律六折出售，玩具的现价和原价成（ )比例，弟弟买的玩具飞机花了18.6元，这个玩具飞机原价（ )元。 3．（2分）在下边的表中A与B成正比例，那么“？”是（ )；如果A与B成反比例，那么“？”是（ )。 A 8 ？ B 240 120 4．（2分）甲、乙两人的速度比是8∶5，已知乙从A地到B地用了40分钟，那么甲行这段路需要用（ )分钟。 5．（2分）a、b都是非0自然数，且a是b的。那么a和b成（ )比例，a和b的最大公因数是（ )。 6．（2分）已知A和B是两种相关联的量，当时，，如果A和B成正比例，当时，（ )；如果A和B成反比例，当时，（ )。 7．（2分）当水与某种洗衣液的比是500∶9时洗衣效果最好，那么在80升水中需要加入（ )毫升这种洗衣液效果才能最好。 8．（2分）一座水库某天从起开始放水。水库管理员每2小时观测一次水位下降情况，下面是他的观测记录。 时间 与比水位下降 12 24 36 48 水位下降的厘米数和放水时间成（ )比例。照这样的速度，要使水位下降84厘米，一共要放水（ )小时。 9．（2分）如图表示的是一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系。这辆汽车行驶的路程与时间的比值是（ )，它们成（ )比例。 10．（2分）上午11：00在操场上，小红测得50厘米的一根木棒影长是25厘米，同时，小刚测得旗杆的影长是4.5米，那么学校旗杆的高度是（ )米。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）如果A＝8B，那么A与B成反比例。（ ) 12．（2分）若，则a与b成反比例。（ ) 13．（2分）工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例。（ ) 14．（2分）一架客机从北京飞往广州，飞行速度和所用时间成正比例。（ ) 15．（2分）从下面图象中可以知道斑马、长颈鹿各自的奔跑路程与奔跑时间都成正比例。（ ) 三、选择题（满分10分） 16．（2分）汽车从防城港到南宁，所用的时间和速度（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 17．（2分）下列各式中，与（、均不为0）成反比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 18．（2分）张阳和同学带着测量工具准备测量一栋大楼的高度。当他站在楼下时，同学量得他的影长为2.4米，同时量得大楼的影长为36米。已知张阳身高160厘米，大楼高（    ）米。 A．2.4 B．24 C．5.4 D．54 19．（2分）有两个相关联的量，它们的关系如图所示，这两个量不可能是（    ）。 A．圆柱的底面积一定，体积和高 B．单价一定时，购物的总价和购物数量 C．路程一定，已走的路程和剩下的路程 D．圆的周长与直径 20．（2分）小明把不同数量的水倒入同样的杯子里，分别测得杯中水的高度和体积（如下表）。杯中水的体积和水的高度（    ）。 水的高度/cm 2 4 6 8 … 水的体积/cm3 50 100 150 200 … A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求未知数x。 20%x＋1.5＝18.5        x－x＝3.2         42∶＝x∶ 五、解答题（满分54分） 22．（6分）学生们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？（用两种方法解答） 23．（6分）学校会议室用方砖铺地，用面积16平方分米的方砖，需要150块，如果改用边长是5分米的方砖要用多少块？（用比例解） 24．（6分）网通公司为光明小区安装电话，如果每天安装25部，18天可以装完。如果想提前3天完成，平均每天要多装多少部？ 25．（8分）下面的图像表示一幅沛县地图的图上距离和实际距离的关系。 （1）图上距离和实际距离成（    ）比例，这幅地图的比例尺是（    ）。 （2）在这幅地图上，量得沛公园到文景园的距离是21厘米。刘雨辰一家驾车从沛公园到文景园，平均每小时行30千米。他们从沛公园到文景园大约需要多少小时？ 26．（8分）张大伯想在一个空旷的草场上围出2400平方米的长方形羊圈。请你帮助张大伯在下面表格中列举出几种围法，并计算出每种围法需要栅栏的总长度（接头处不计）。 长/m 120 …… 宽/m 20 …… 栅栏总长度/m 280 …… （1）根据自己的围法，将表格填写完整。 （2）表格中是否有成正比例或反比例的量？如果有，请完整地表述出来，并说明理由。 27．（8分）从春蕾小学到某研学基地，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。 车辆 小客车 中巴车 小轿车 大巴车 平均速度（千米/时） 80 75 90 60 时间（时） 1.5 1.6 2 （1）如果用s表示学校到研学基地的路程，用v表示车辆的平均速度，t表示驶完全程所需的时间。v与t成什么比例关系？写出这个关系式。 （2）春蕾小学部分师生准备下周一早上8：00从学校开车去该研学基地，想在当天上午9：40前到达，开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 28．（12分）运输一批水果，下表是每箱的质量与所需要的箱数之间的关系。 每箱的质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需的箱数/箱 100 75 60 50 （    ） （    ） （1）请把上表补充完整。从上面的表中，你发现那个量没有变化？ （2）每箱水果的质量与箱数之间成什么比例？为什么？ （3）当水果的质量为25千克时，你知道需要多少个箱子吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$