（单元讲义）第二单元 圆柱和圆锥（知识梳理+典例精讲+培优必刷）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第二单元 圆柱和圆锥 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】圆柱和圆锥的认识和特征 1、圆柱体简称圆柱，它由两个底面和一个侧面三部分组成。圆柱的上、下两个面叫作底面，底面是两个完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作侧面，圆柱两个底面之间的距离叫作高。 2、圆锥体简称圆锥，它由一个底面和一个侧面两部分组成，圆锥有一个顶点。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、圆柱和圆锥的特征比较 【知识点二】圆柱的侧面积和表面积 1、圆柱的展开图 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)。 2、圆柱的侧面积。 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)，这个长方形的长(或宽)等于圆柱的底面周长，宽(或长)等于圆柱的高，因为长方形的面积=长x宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，即S侧=Ch=πdh=2πrh 3、圆柱的表面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱的底面积=πr2 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2 圆柱表面积的字母公式是S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 【知识点三】圆柱的体积 1、圆柱的体积=底面积x高。如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱 的高，圆柱的体积公式可以写成：V=Sh。 由此进一步可知V=Sh=Πr2h=Π（）2h=Π（）2h。 2、在圆柱中，已知底面积（或底面半径、直径、周长）和高，就可以利用公式计算出圆柱的体积。 【知识点四】圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 【考点一】圆柱和圆锥的认识 【典例一】一个直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米（如下图），绕着一条直角边AB旋转一周，可以得到一个圆锥体，这个圆锥体的底面半径是（ ）厘米，高是（ ）厘米。 【典例二】琳琳刚刚学习了圆柱的体积，就对家里的圆柱体卷纸做起了研究：她想知道卷纸拉开究竟有多长。于是用工具测是了一些数据，她在计算过程中，还发现有一个数据是可以不用测量的。 （1）不用测量的这个数据是（    ）。 （2）你来算算看，卷纸拉开后长度是多少米？ 【典例三】一个圆锥的底面半径2厘米，高是7厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米？ 【考点二】圆柱的侧面积和表面积 【典例一】将一个高5厘米的圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，量得长方形的长是31.4厘米。那么长方形的宽是（ ），圆柱的底面周长是（ ），底面半径是（ ）。 【典例二】把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个长31.4厘米、宽10厘米的长方形，这个圆柱的侧面积是（ ）平方厘米。 【典例三】为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 【考点三】圆柱的体积 【典例一】把一张长4π分米、宽2π分米的长方形纸卷成一个圆柱。卷成的圆柱的体积是（ ）立方分米或（ ）立方分米。（接头处忽略不计，计算结果用含有π的式子表示） 【典例二】如图是一个底面内直径为6厘米的瓶子，瓶子内水的高度是5厘米，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是14厘米，这个瓶子的容积是（ ）毫升。 【典例三】一根圆柱形木料从中间切开（如图）后，表面积增加了56.52平方厘米，原来这根木料的体积是多少立方厘米？ 【考点四】圆锥的体积 【典例一】直角三角形的三条边分别长3分米、4分米、5分米，以任意一条直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形是（ ），它的体积最大是（ ）立方米。 【典例二】为探究圆锥体积的计算方法。小东做了如图的实验，结果得出等底等高的一个圆柱和一个圆锥体积相差36立方分米，那么这个圆锥的体积是（ ）立方分米。 【典例三】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 一、填空题（满分20分） 1．（2分）小新家楼下的羊肉汤店新近推出一圆烧饼，价格只有原来的一半，直径大约是原来的，薄厚没变。小新认为买小烧饼合算，好朋友小明却认为买大烧饭合算。你用数学的眼光看认为买( )（填“大”或“小”）烧饼更合算。 2．（2分）棱长是4厘米的正方体木料，加工成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是( )立方厘米。把它的表面刷上漆，刷漆的面积是( )平方厘米。 3．（2分）如图，有两种底面和高都相同的饮料杯，将一瓶600毫升的果汁全部倒完正好装满这三个杯子。一个圆柱形杯子能装( )毫升果汁，一个圆锥形杯子能装( )毫升果汁。 4．（2分）重阳节这天，优优亲自动手做了一个蛋糕准备送给奶奶。这个蛋糕的形状近似于圆柱，直径是8厘米、高是10厘米。这个蛋糕的体积约是( )立方厘米；如果再做一个精美的长方体纸盒把这块蛋糕正好装进去，做这个纸盒至少需要( )平方厘米的硬纸。 5．（2分）用塑料绳扎一个圆柱形礼盒（如图），打结处刚好是底面圆心，打结用去绳长25厘米。    (1)在它的侧面贴上商标，这部分的面积是( )平方厘米。 (2)扎这个礼品盒共用去塑料绳( )厘米。 6．（2分）一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，若以直角边为轴旋转一周，可以形成的立体图形是( )；以两条不同的直角边为轴旋转一周后，形成的立体图形体积相差( )立方厘米。 7．（2分）芳芳和妈妈在家做了一个半径为10厘米、高为8厘米的蛋糕（如图）。这个蛋糕的体积是( )立方厘米；芳芳要在这个蛋糕的表面涂上一层奶油（下底面不涂）。涂奶油部分的面积有( )平方厘米。 8．（2分）一个圆锥的底面半径为3分米，高为1分米，它的体积是( )立方分米，和它等底等高的圆柱的体积是( )立方分米。 9．（2分）去年冬天，某小区一根内直径2厘米的水管被冻裂导致大量水流失，水管内水流速度约为每秒8厘米，如果1小时不修好水管，将浪费水( )升。 10．（2分）奇思用橡皮泥做了一个底面直径是4厘米，高是3厘米的圆柱，现要将其切成相同的两部分，如果切成两个相同的小圆柱，则表面积增加( )平方厘米，如果切成两个相同的半圆柱，则表面积增加( )平方厘米。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）一个圆锥的底面周长是6.28分米，高是5分米，体积是15.7立方分米。( ) 12．（2分）把一张长方形的纸卷成一个圆柱形，横着卷或竖着卷所得的圆柱形的侧面积都相等。( ) 13．（2分）把一个圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥，高将缩小为原来的。 ( ) 14．（2分）一个圆锥的体积是30立方分米，底面积是10平方分米，则圆锥的高是3分米。( ) 15．（2分）一个圆锥的体积是28m3，高是6m，那么底面积为14m2。( ) 三、选择题（满分10分） 16．（2分）把一支新的圆柱形铅笔削尖，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的（    ）。 A． B． C． D．2倍 17．（2分）一段长为1米，横截面直径为20厘米的圆柱形木头横着浮在水面，它正好一半露出水面，则这段木头与水接触面的面积是（    ）平方厘米。 A． B．3140 C．314 D．3454 18．（2分）一个圆柱和一个圆锥底面积相等，体积比是，则圆柱和圆锥的高的比是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 19．（2分）把一个圆柱形木料加工成最大的圆锥，削去部分的体积是60立方厘米，原来圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．180 B．120 C．90 D．60 20．（2分）下面说法正确的有（    ）个。 ①如果一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么这个圆柱的底面直径等于高。 ②在一个扇形统计图中，所有扇形所占百分比加起来一定等于100%。 ③圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱和圆锥不一定等底等高。 ④底面周长相等、高也相等的长方体、正方体和圆柱，圆柱的体积最大。 A．1 B．2 C．3 D．4 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求出下面左图的表面积和右图的体积（单位：厘米）。 ​ 五、解答题（满分54分） 22．（6分）王叔叔每周三健身，教练建议他在健身当日需要喝水2000~2500毫升。王叔叔的水杯从里面量底面直径是6厘米，高是12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米（如下图）。照这样，王叔叔每周三用这个水杯喝8杯水，能否达到健身教练的要求？ 23．（6分）一个喷泉广场上有一个圆柱形水池，从里面量得水池的底面直径是20米，水池深0.5米。现要给水池的内侧和底部抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 24．（6分）“人强健，清尊素影，长愿相随”，强健的体魄是人生的基石。炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉，你知道吗？每毫升的冰激凌约产生6千焦的热量。吃一个冰激凌需要30分钟的运动才能消耗掉这些热量。这个冰激凌大约可以产生多少千焦热量？ 25．（6分）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加25.12平方厘米，原来这个物体的体积是多少立方厘米？（只列综合算式或方程，不计算。） 26．（6分）在一个底面直径为8厘米、高1分米的圆柱形量杯里放一些水，水面高9厘米。现在把一个底面半径是3厘米的圆锥完全浸没在水中，水面正好上升到杯口。这个圆锥的高是多少厘米？ 27．（6分）蛋糕店制作了一个双层蛋糕胚（如图）。现需要给这个蛋糕胚外面抹上奶油（底面不抹），抹奶油的面积是多少平方厘米？ 28．（6分）骆马湖沙滩公园为了修建沙雕，用一辆长9.42米，宽2.5米，高2米的卡车装满黄沙，倒在地面上堆成一个近似圆锥形沙堆，沙堆的底面半径是3米，这个沙堆的高是多少米？ 29．（6分）做两个无盖的圆柱形水桶，每个水桶的底面周长是6π分米，高是7分米，至少需要铁皮多少平方分米？（用“进一”法保留整数） 30．（6分）如图所示，一个底面直径是6厘米，高是8厘米的圆柱被截取了一部分，成为了如图所示的类似楔形圆柱体，求这个立体图形的体积是多少立方厘米？如果下面的图形中截取一个高为4厘米的最大圆锥，那么这个圆锥的体积是多少立方厘米？取 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第二单元 圆柱和圆锥 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】圆柱和圆锥的认识和特征 1、圆柱体简称圆柱，它由两个底面和一个侧面三部分组成。圆柱的上、下两个面叫作底面，底面是两个完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作侧面，圆柱两个底面之间的距离叫作高。 2、圆锥体简称圆锥，它由一个底面和一个侧面两部分组成，圆锥有一个顶点。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、圆柱和圆锥的特征比较 【知识点二】圆柱的侧面积和表面积 1、圆柱的展开图 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)。 2、圆柱的侧面积。 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)，这个长方形的长(或宽)等于圆柱的底面周长，宽(或长)等于圆柱的高，因为长方形的面积=长x宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，即S侧=Ch=πdh=2πrh 3、圆柱的表面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱的底面积=πr2 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2 圆柱表面积的字母公式是S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 【知识点三】圆柱的体积 1、圆柱的体积=底面积x高。如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱 的高，圆柱的体积公式可以写成：V=Sh。 由此进一步可知V=Sh=Πr2h=Π（）2h=Π（）2h。 2、在圆柱中，已知底面积（或底面半径、直径、周长）和高，就可以利用公式计算出圆柱的体积。 【知识点四】圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 【考点一】圆柱和圆锥的认识 【典例一】一个直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米（如下图），绕着一条直角边AB旋转一周，可以得到一个圆锥体，这个圆锥体的底面半径是（ ）厘米，高是（ ）厘米。 【分析】根据圆锥体的特征可知，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周，得到一个圆锥体，3厘米的直角边就是圆锥体的高，4厘米的直角边是圆锥体的底面半径。 【解答】由分析可知，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周，可以得到一个圆锥体，圆锥体的底面半径是4厘米，高是3厘米。 【典例二】琳琳刚刚学习了圆柱的体积，就对家里的圆柱体卷纸做起了研究：她想知道卷纸拉开究竟有多长。于是用工具测是了一些数据，她在计算过程中，还发现有一个数据是可以不用测量的。 （1）不用测量的这个数据是（    ）。 （2）你来算算看，卷纸拉开后长度是多少米？ 【分析】（1）计算卷纸拉开究竟有多长，不需要知道卷纸的高，即不用测量的数据是卷纸的高。 （2）卷纸拉开底面由圆转化成长方形，长方形的面积＝底面积，长方形的宽＝卷纸的厚度，长方形的长就是卷纸拉开后的长度，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出底面积，即长方形面积，根据长方形的长＝面积÷宽，即可求出卷纸拉开后的长度。 【解答】（1）不用测量的这个数据是卷纸的高。 （2）6÷2＝3（厘米） （厘米） 答：卷纸拉开后长度是14.13米。 【典例三】一个圆锥的底面半径2厘米，高是7厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米？ 【分析】沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是圆锥底面直径，高是圆锥的高，也就是说底是4厘米，高是7厘米，所以每个切面的面积是14平方厘米。 【解答】2×2×7÷2＝14（平方厘米） 答：每个切面的面积是14平方厘米。 【点评】关键是熟悉圆锥特征，确定切面图形的形状。 【考点二】圆柱的侧面积和表面积 【典例一】将一个高5厘米的圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，量得长方形的长是31.4厘米。那么长方形的宽是（ ），圆柱的底面周长是（ ），底面半径是（ ）。 【分析】圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，据此解答。 【解答】31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 长方形的宽是5，圆柱的底面周长是31.4，底面半径是5。 【典例二】把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个长31.4厘米、宽10厘米的长方形，这个圆柱的侧面积是（ ）平方厘米。 【分析】圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的面积＝圆柱侧面积，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，根据长方形面积＝长×宽，可以推导出圆柱侧面积＝底面周长×高。据此计算即可。 【解答】31.4×10＝314（平方厘米） 这个圆柱的侧面积是314平方厘米。 【典例三】为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 【分析】帽子顶和帽檐合在一起就是一个大圆，先求出大圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，分别计算大圆的面积和帽顶部分的侧面积，最后将两者相加就是所需硬纸片的总面积。 【解答】20÷2＝10（厘米） 10＋20＝30（厘米） 3.14×30² ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 3.14×20×20＝1256（平方厘米） 2826＋1256＝4082（平方厘米） 答：他至少要用硬纸片4082平方厘米。 【点评】本题关键是求出大圆的半径，明确帽檐的面积与帽顶的面积和等于大圆的面积。 【考点三】圆柱的体积 【典例一】把一张长4π分米、宽2π分米的长方形纸卷成一个圆柱。卷成的圆柱的体积是（ ）立方分米或（ ）立方分米。（接头处忽略不计，计算结果用含有π的式子表示） 【分析】这个长方形的纸的面积相当于圆柱的侧面积；圆柱的侧面积＝底面周长×高，则可分别令4π分米、2π分米作为圆柱的底面周长和圆柱高；半径＝底面周长÷2÷π，圆柱的体积＝πr2h。 【解答】当圆柱的底面周长为4π，高为2π： 半径：4π÷2÷π＝2（分米） 体积： π×22×2π ＝π×4×2π ＝8π2（立方分米） 当圆柱的底面周长为2π，高为4π： 半径：2π÷2÷π＝1（分米） 体积： π×12×4π =π×1×4π ＝4π2（立方分米） 卷成圆柱的体积是2π2立方分米或4π2立方分米。 【典例二】如图是一个底面内直径为6厘米的瓶子，瓶子内水的高度是5厘米，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是14厘米，这个瓶子的容积是（ ）毫升。 【分析】根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，求出水的高度为5cm的圆柱的容积；再求出高度为14cm无水部分圆柱的容积，再把它们相加，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】3.14×（6÷2）2×5＋3.14×（6÷2）2×14 ＝3.14×32×5＋3.14×32×14 ＝3.14×9×5＋3.14×9×14 ＝28.26×5＋28.26×14 ＝141.3＋395.64 ＝536.94（立方厘米） 536.94立方厘米＝536.94毫升 这个瓶子的容积是536.94毫升。 【典例三】一根圆柱形木料从中间切开（如图）后，表面积增加了56.52平方厘米，原来这根木料的体积是多少立方厘米？ 【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱形木料横截成两段，表面积增加的是两个截面的面积，据此可以求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h＝Sh，把数据代入公式解答。 【解答】 （立方厘米） 答：原来这根木料的体积是282.6立方厘米。 【考点四】圆锥的体积 【典例一】直角三角形的三条边分别长3分米、4分米、5分米，以任意一条直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形是（ ），它的体积最大是（ ）立方米。 【分析】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 直角三角形较短的两条边是直角边，以3分米的直角边为轴，旋转得到的圆锥，底面半径是4分米，高是3分米；以4分米的直角边为轴，旋转得到的圆锥，底面半径是3分米，高是4分米，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出体积，比较即可。 【解答】3.14×42×3÷3 ＝3.14×16×3÷3 ＝50.24（立方分米） ＝0.05024（立方米） 3.14×32×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝37.68（立方分米） ＝0.03768（立方米） 0.05024＞0.03768 直角三角形的三条边分别长3分米、4分米、5分米，以任意一条直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形是圆锥，它的体积最大是0.05024立方米。 【典例二】为探究圆锥体积的计算方法。小东做了如图的实验，结果得出等底等高的一个圆柱和一个圆锥体积相差36立方分米，那么这个圆锥的体积是（ ）立方分米。 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份；用圆柱和圆锥的体积差除以份数差，求出一份数，即是圆锥的体积。 【解答】圆锥的体积： 36÷（3－1） ＝36÷2 ＝18（立方分米） 那么这个圆锥的体积是18立方分米。 【典例三】将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【解答】26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）小新家楼下的羊肉汤店新近推出一圆烧饼，价格只有原来的一半，直径大约是原来的，薄厚没变。小新认为买小烧饼合算，好朋友小明却认为买大烧饭合算。你用数学的眼光看认为买( )（填“大”或“小”）烧饼更合算。 【正确答案】大 【解题思路】根据题意，两种烧饼的薄厚相同，也就是高相同，只有比较相同价格下两种烧饼底面积的大小即可，利用圆的面积公式：面积＝π×半径2；设出大烧饼的直径，求出大烧饼和小烧饼的面积；再根据小烧饼的价格是原来大烧饼的价格的一半，求出小烧饼的面积乘2，再求出大烧饼的面积，进行比较，谁大，谁合算。 【详细解答】设大烧饼的直径为2，则小烧饼的直径是2×。 大烧饼的面积： 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×1 ＝3.14 小烧饼的面积： 3.14×（2×÷2）2 ＝3.14×（×）2 ＝3.14× ＝1.1304 1.1304×2＝2.2608 2.2608＜3.14 买大的更合算。 【考点点评】利用圆的面积公式进行解答，关键是熟记公式。 2．（2分）棱长是4厘米的正方体木料，加工成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是( )立方厘米。把它的表面刷上漆，刷漆的面积是( )平方厘米。 【正确答案】50.24 75.36 【解题思路】根据题干可得，圆柱的高是正方体的棱长4厘米，圆柱的底面是正方体一个面中的最大圆，所以底面直径是4厘米，由此利用圆柱的表面积＝2个底面积＋侧面积，圆柱的体积＝底面积×高，即可计算得出答案。 【详细解答】圆柱的底面半径是：4÷2＝2（厘米） 底面积是： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 体积是：12.56×4＝50.24（立方厘米） 表面积是： 12.56×2＋3.14×4×4 ＝25.12＋50.24 ＝75.36（平方厘米） 【考点点评】解答此题关键是根据正方形内最大圆的特点，得出圆柱的底面直径。 3．（2分）如图，有两种底面和高都相同的饮料杯，将一瓶600毫升的果汁全部倒完正好装满这三个杯子。一个圆柱形杯子能装( )毫升果汁，一个圆锥形杯子能装( )毫升果汁。 【正确答案】360 120 【解题思路】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3；设圆锥形杯子能装x毫升果汁，则圆柱形杯子能装3x毫升果汁；两个圆锥形杯子能装x＋x毫升果汁与一个圆柱形杯子能装3x毫升果汁，一共是600毫升，列方程：x＋x＋3x＝600，解方程，即可求出一个圆锥形杯子能装果汁多少毫升，一个圆柱形杯子能装多少毫升果汁。 【详细解答】解：设一个圆锥形杯子能装x毫升果汁，则一个圆柱形杯子能装3x毫升果汁。 x＋x＋3x＝600 2x＋3x＝600 5x＝600 x＝600÷5 x＝120 圆柱形杯子：120×3＝360（毫升） 【考点点评】利用等底等高的圆柱体积与圆锥体积之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 4．（2分）重阳节这天，优优亲自动手做了一个蛋糕准备送给奶奶。这个蛋糕的形状近似于圆柱，直径是8厘米、高是10厘米。这个蛋糕的体积约是( )立方厘米；如果再做一个精美的长方体纸盒把这块蛋糕正好装进去，做这个纸盒至少需要( )平方厘米的硬纸。 【正确答案】502.4 448 【解题思路】根据圆柱的体积公式：V＝Sh＝πr2h将数据代入，即可得出蛋糕的体积。至少能进去意味着长方体的体积在是最小的情况下也要比蛋糕大，由至少得知，直径8厘米 也就是圆柱最宽的长度为8厘米，那么长方形的长和宽就可以此为标准，得长方形的长、宽均为8厘米，体积最小的情况也就是剩余的空间最少，则长方形的高与圆柱的高相等，即为10厘米，从而可以求出纸盒的表面积S＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，也就是至少需要的硬纸的面积。 【详细解答】3.14×（8÷2）2×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方厘米） （8×8＋8×10＋8×10）×2 ＝（64＋80＋80）×2 ＝224×2 ＝448（平方厘米） 【考点点评】解答此题的关键是明白：让长方体的长和宽都等于圆柱的底面直径，高等于圆柱的高，则需要的硬纸面积最小。 5．（2分）用塑料绳扎一个圆柱形礼盒（如图），打结处刚好是底面圆心，打结用去绳长25厘米。    (1)在它的侧面贴上商标，这部分的面积是( )平方厘米。 (2)扎这个礼品盒共用去塑料绳( )厘米。 【正确答案】(1)471 (2)125 【解题思路】（1）在它的整个侧面贴上商标，说明就是求它的侧面积，根据底面周长×高进行计算； （2）这根绳长是圆柱的4个直径与4个高的和，再加打结用的绳长即可。 【详细解答】（1）3.14×10×15 ＝31.4×15 ＝471（平方厘米） 这部分面积是471平方厘米。 （2）（15＋10）×4＋25 ＝25×4＋25 ＝100＋25 ＝125（厘米） 扎这个礼盒共用去塑料绳125厘米。 【考点点评】本题主要考查圆柱的侧面积的计算方法，同时要注意最后绳子算出来长度之后加上打结处的长度。 6．（2分）一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，若以直角边为轴旋转一周，可以形成的立体图形是( )；以两条不同的直角边为轴旋转一周后，形成的立体图形体积相差( )立方厘米。 【正确答案】圆锥 12.56 【解题思路】根据圆锥的意义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；当以3厘米长的直角边为轴旋转一周时，得到的圆锥高为3厘米，底面半径为4厘米；当以4厘米长的直角边为轴旋转一周时，得到的圆锥高为4厘米，底面半径为3厘米；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，分别求出两个圆锥的体积，进而解答。 【详细解答】一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，若以直角边为轴旋转一周，可以形成的立体图形是圆锥。 高为3厘米，底面半径为4厘米的圆锥： 3.14×42×3× ＝3.14×16×3× ＝50.24×3× ＝150.72× ＝50.24（立方厘米） 高为4厘米，底面半径为3厘米的圆锥： 3.14×32×4× ＝3.14×9×4× ＝28.26×4× ＝113.04× ＝37.68（立方厘米） 50.24－37.68＝12.56（立方厘米） 一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，若以直角边为轴旋转一周，可以形成的立体图形是圆锥；以两条不同的直角边为轴旋转一周后，形成的立体图形体积相差12.56立方厘米。 7．（2分）芳芳和妈妈在家做了一个半径为10厘米、高为8厘米的蛋糕（如图）。这个蛋糕的体积是( )立方厘米；芳芳要在这个蛋糕的表面涂上一层奶油（下底面不涂）。涂奶油部分的面积有( )平方厘米。 【正确答案】2512 816.4 【解题思路】根据圆柱体积＝底面积×高，圆柱表面积＝侧面积＋底面积，代入数值计算即可解答。 【详细解答】3.14×102×8 ＝3.14×800 ＝2512（立方厘米） 2×3.14×10×8＋3.14×102 ＝3.14×160＋3.14×100 ＝3.14×260 ＝816.4（平方厘米） 这个蛋糕的体积是2512立方厘米，涂奶油部分的面积有816.4平方厘米。 【考点点评】本题考查的是圆柱体积和表面积，熟记公式是解答关键。 8．（2分）一个圆锥的底面半径为3分米，高为1分米，它的体积是( )立方分米，和它等底等高的圆柱的体积是( )立方分米。 【正确答案】9.42 28.26 【解题思路】 圆锥的体积＝底面积×高÷3，用字母表示为V＝，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此解答。 【详细解答】 ＝ ＝ ＝9.42（立方分米） 9.42×3＝28.26（立方分米） 一个圆锥的底面半径为3分米，高为1分米，它的体积是9.42立方分米，和它等底等高的圆柱的体积是28.26立方分米。 9．（2分）去年冬天，某小区一根内直径2厘米的水管被冻裂导致大量水流失，水管内水流速度约为每秒8厘米，如果1小时不修好水管，将浪费水( )升。 【正确答案】90.432 【解题思路】据题意可知，水管是圆柱形的，1小时＝3600秒，要求1小时流失的水的体积，每秒流失水的高为8厘米，根据圆柱体积＝底面积×高，先求出圆柱每秒流失的体积，然后乘时间即可，注意单位名数的换算。 【详细解答】1小时＝3600秒 3.14×（2÷2）2×8×3600 ＝3.14×12×8×3600 ＝3.14×1×8×3600 ＝3.14×8×3600 ＝25.12×3600 ＝90432（立方厘米） 90432立方厘米＝90.432升 去年冬天，某小区一根内直径2厘米的水管被冻裂导致大量水流失，水管内水流速度约为每秒8厘米，如果1小时不修好水管，将浪费水90.432升。 10．（2分）奇思用橡皮泥做了一个底面直径是4厘米，高是3厘米的圆柱，现要将其切成相同的两部分，如果切成两个相同的小圆柱，则表面积增加( )平方厘米，如果切成两个相同的半圆柱，则表面积增加( )平方厘米。 【正确答案】25.12 24 【解题思路】 如果切成两个相同的小圆柱，表面积比原来增加了2个截面的面积，截面是与底面相同的圆形，利用“”求出增加部分的面积；如果切成两个相同的半圆柱，表面积比原来增加了2个截面的面积，截面是以圆柱的底面直径为长，以圆柱的高为宽的长方形，利用“”求出增加部分的面积，据此解答。 【详细解答】3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14××2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（平方厘米） 4×3×2＝24（平方厘米） 所以，如果切成两个相同的小圆柱，则表面积增加25.12平方厘米，如果切成两个相同的半圆柱，则表面积增加24平方厘米。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）一个圆锥的底面周长是6.28分米，高是5分米，体积是15.7立方分米。( ) 【正确答案】× 【解题思路】底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详细解答】3.14×（6.28÷3.14÷2）2×5÷3 ＝3.14×12×5÷3 ＝3.14×1×5÷3 ≈5.23（立方分米） 一个圆锥的底面周长是6.28分米，高是5分米，体积是5.23立方分米，选项说法错误。 故答案为：× 12．（2分）把一张长方形的纸卷成一个圆柱形，横着卷或竖着卷所得的圆柱形的侧面积都相等。( ) 【正确答案】√ 【解题思路】根据圆柱的侧面展开图与长方形的关系进行解答。 【详细解答】圆柱的侧面沿高展开后的到一个长方形，无论底面周长为长，还是高为长，它的侧面积都等于长方形的面积，长方形的长与宽不变（乘积一定），所以把一张长方形的纸卷成一个圆柱形，横着卷或竖着卷所得的圆柱形的侧面积都相等。 故答案为：√ 【考点点评】本题主要考查圆柱的侧面展开图，解题的关键是抓住长方形的长、宽不变。 13．（2分）把一个圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥，高将缩小为原来的。 ( ) 【正确答案】× 【解题思路】根据题意可知，在揉橡皮泥的过程中，它的总体积不变，即圆柱形橡皮泥揉成与它等底的圆锥，它俩的体积不变，底面积相同，再根据圆柱的体积和圆锥的体积公式即可得到答案。 【详细解答】设圆柱的高为H，圆锥的高为h，它俩的底面积为S S×H＝S×h× H＝h h＝3H 由此即可知道：圆锥的高应扩大为原来的3倍 故正确答案为：× 【考点点评】本题主要考查圆柱和圆锥的体积关系，熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式并灵活运用。 14．（2分）一个圆锥的体积是30立方分米，底面积是10平方分米，则圆锥的高是3分米。( ) 【正确答案】× 【解题思路】根据圆锥的体积公式可知，圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此解答。 【详细解答】30×3÷10 ＝90÷10 ＝9（分米），圆锥的高是9分米。原题说法错误。 故答案为：× 【考点点评】此题考查了圆锥体积公式的灵活运用，注意求圆锥的底面积或高，需要先让体积×3再计算。 15．（2分）一个圆锥的体积是28m3，高是6m，那么底面积为14m2。( ) 【正确答案】√ 【解题思路】根据圆锥的体积公式可得：圆锥的底面积＝体积×3÷高，据此代入数据即可判断。 【详细解答】28×3÷6 ＝84÷6 ＝14（m2） 一个圆锥的体积是28m3，高是6m，那么底面积为14m2；原题说法正确。 故答案为：√ 【考点点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 三、选择题（满分10分） 16．（2分）把一支新的圆柱形铅笔削尖，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的（    ）。 A． B． C． D．2倍 【正确答案】C 【解题思路】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱削成最大的圆锥，它与圆柱等底等高，所以削去部分的体积是圆柱体积的，进而求出圆锥的体积是削去部分体积的几分之几，据此解答。 【详细解答】 即笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的。 故答案为：C 17．（2分）一段长为1米，横截面直径为20厘米的圆柱形木头横着浮在水面，它正好一半露出水面，则这段木头与水接触面的面积是（    ）平方厘米。 A． B．3140 C．314 D．3454 【正确答案】D 【解题思路】求这段木头与水接触面的面积就是这个圆柱形木头的表面积的一半；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【详细解答】1米＝100厘米 [3.14×（20÷2）2×2＋3.14×20×100]÷2 ＝[3.14×102×2＋62.8×100]÷2 ＝[3.14×100×2＋6280]÷2 ＝[314×2＋6280]÷2 ＝[628＋6280]÷2 ＝6908÷2 ＝3454（平方厘米） 一段长为1米，横截面直径为20厘米的圆柱形木头横着浮在水面，它正好一半露出水面，则这段木头与水接触面的面积是3454平方厘米。 故答案为：D 18．（2分）一个圆柱和一个圆锥底面积相等，体积比是，则圆柱和圆锥的高的比是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【正确答案】C 【解题思路】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积∶圆锥的体积＝3∶1；设圆柱的体积是3；圆锥的体积是1；圆柱的高＝体积÷底面积；圆锥的高＝圆锥的体积÷底面积×，据此求出圆柱的高和圆锥的高，再根据比的意义，求出圆柱的高和圆锥的高的比。 【详细解答】设圆柱的体积是3，圆锥的体积是1。 圆柱的高＝3÷底面积 圆锥的高＝1÷底面积÷ 圆锥的高＝1÷底面积×3 圆锥的高＝3÷底面积 圆柱的高∶圆锥的高＝（3÷底面积）∶（3÷底面积） 圆柱的高∶圆锥的高＝1∶1 一个圆柱和一个圆锥底面积相等，体积比是3∶1，则圆柱和圆锥的高的比是1∶1。 故答案为：C 19．（2分）把一个圆柱形木料加工成最大的圆锥，削去部分的体积是60立方厘米，原来圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．180 B．120 C．90 D．60 【正确答案】C 【解题思路】根据题意，把一个圆柱形木料加工成最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的； 把圆柱的体积看作单位“1”，最大圆锥的体积占圆柱体积的，那么削去部分的体积占圆柱体积的（1－），单位“1”未知，用削去部分的体积除以（1－），即可求出圆柱的体积。 【详细解答】60÷（1－） ＝60÷ ＝60× ＝90（立方厘米） 原来圆柱的体积是90立方厘米。 故答案为：C 20．（2分）下面说法正确的有（    ）个。 ①如果一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么这个圆柱的底面直径等于高。 ②在一个扇形统计图中，所有扇形所占百分比加起来一定等于100%。 ③圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱和圆锥不一定等底等高。 ④底面周长相等、高也相等的长方体、正方体和圆柱，圆柱的体积最大。 A．1 B．2 C．3 D．4 【正确答案】C 【解题思路】 ①圆柱的侧面展开后，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高； ②扇形统计图中用整个圆表示总数量100%，圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数量的百分比； ③当圆锥和圆柱等底等高时，圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，但圆锥的体积等于圆柱体积的时，它们不一定等底等高，举例说明即可； ④周长相等的平面图形中，图形越接近圆形面积越大，则圆的面积＞正方形的面积＞长方形的面积，再利用“底面积×高”比较它们体积的大小关系，据此解答。 【详细解答】①如果一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么这个圆柱的底面周长等于高，题目说法错误； ②在一个扇形统计图中，所有扇形所占百分比加起来一定等于100%，题目说法正确； ③假设圆锥的底面积为9，高为2，圆锥的体积为；假设圆柱的底面积为2，高为9，圆柱的体积为2×9＝18，圆锥的体积÷圆柱的体积＝6÷18＝，所以圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱和圆锥不一定等底等高，题目说法正确； ④长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，它们的高相等，圆柱的底面积＞正方体的底面积＞长方体的底面积，则圆柱的体积＞正方体的体积＞长方体的体积，圆柱的体积最大，题目说法正确。 综上所述，说法正确的有②③④，一共3个。 故答案为：C 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求出下面左图的表面积和右图的体积（单位：厘米）。 ​ 【正确答案】​135.275平方厘米；175.84立方厘米 【解题思路】半圆柱的表面积＝一个底面的面积＋侧面积的一半＋长方形的面积，右图组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积。据此解答即可。 【详细解答】3.14×（5÷2）2＋3.14×5×9÷2＋9×5 ＝3.14×2.52＋15.7×9÷2＋45 ＝3.14×6.25＋141.3÷2＋45 ＝19.625＋70.65＋45 ＝90.275＋45 ＝135.275（平方厘米） 3.14×（4÷2）2×123.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×123.14×22×6 ＝3.14×4×123.14×4×6 ＝12.56×1212.56×6 ＝12.56×1212.56×6 ＝150.72＋12.56×2 ＝150.72＋25.12 ＝175.84（立方厘米） 左图的表面积是135.275平方厘米，右图的体积是175.84立方厘米。 五、解答题（满分54分） 22．（6分）王叔叔每周三健身，教练建议他在健身当日需要喝水2000~2500毫升。王叔叔的水杯从里面量底面直径是6厘米，高是12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米（如下图）。照这样，王叔叔每周三用这个水杯喝8杯水，能否达到健身教练的要求？ 【正确答案】能达到 【解题思路】水杯高12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米，则水的高度是12－2＝10（厘米）。圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，据此求出王叔叔喝一杯水喝了多少毫升，再乘8即可求出喝8杯水喝了多少毫升，据此解答。 【详细解答】3.14×（6÷2）2×（12－2）×8 ＝3.14×32×10×8 ＝3.14×9×10×8 ＝2260.8（立方厘米） ＝2260.8（毫升） 2260.8毫升在2000~2500毫升之间。 答：能达到健身教练的要求。 23．（6分）一个喷泉广场上有一个圆柱形水池，从里面量得水池的底面直径是20米，水池深0.5米。现要给水池的内侧和底部抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【正确答案】345.4平方米 【解题思路】抹水泥的面积是圆柱形水池的底面积和侧面积。底面积根据“圆面积＝πr2”求出，侧面积根据“底面周长×高”求出，再将底面积和侧面积相加即可。 【详细解答】20÷2＝10（米） 3.14×102＋3.14×20×0.5 ＝3.14×100＋31.4 ＝314＋31.4 ＝345.4（平方米） 答：抹水泥的面积是345.4平方米。 24．（6分）“人强健，清尊素影，长愿相随”，强健的体魄是人生的基石。炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉，你知道吗？每毫升的冰激凌约产生6千焦的热量。吃一个冰激凌需要30分钟的运动才能消耗掉这些热量。这个冰激凌大约可以产生多少千焦热量？ 【正确答案】847.8千焦 【解题思路】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这个圆锥形冰激凌的体积；再用冰激凌的体积×6，即可解答，注意单位名数的换算。 【详细解答】3.14×（6÷2）2×15× ＝3.14×32×15× ＝3.14×9×15× ＝28.26×15× ＝423.9× ＝141.3（立方厘米） 141.3立方厘米＝141.3毫升 141.3×6＝847.8（千焦） 答：这个冰激凌大约可以产生847.8千焦热量。 25．（6分）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加25.12平方厘米，原来这个物体的体积是多少立方厘米？（只列综合算式或方程，不计算。） 【正确答案】25.12÷2×3＋25.12÷2×3× 【解题思路】如果把圆柱和圆锥重新分开，则表面积增加2个底面积，圆柱和圆锥的底面积相同，用25.12÷2即可求出每个底面积；然后根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可。 【详细解答】25.12÷2×3＋25.12÷2×3× ＝37.68＋12.56 ＝50.24（立方厘米） 答：原来这个物体的体积是50.24立方厘米。 26．（6分）在一个底面直径为8厘米、高1分米的圆柱形量杯里放一些水，水面高9厘米。现在把一个底面半径是3厘米的圆锥完全浸没在水中，水面正好上升到杯口。这个圆锥的高是多少厘米？ 【正确答案】厘米 【解题思路】圆锥完全浸没在水中，则圆锥的体积就是水面上升的圆柱的体积，圆柱水面从9厘米上升到了1分米，也就是10厘米，即水面上升了1厘米，则体积＝底面积×水面上升的高度＝，再根据圆锥得出。注意：可以不用将π先带进式子算出最后的结果，可以将结果保留π，可以简便计算。 【详细解答】1分米＝10厘米 10－9＝1（厘米） π×（8÷2）2×1 ＝π×42 ＝16π（立方厘米） π×32 ＝π×9 ＝9π（平方厘米） 16π×3÷9π ＝48π÷9π ＝48÷9 ＝（厘米） 答：这个圆锥的高是厘米。 27．（6分）蛋糕店制作了一个双层蛋糕胚（如图）。现需要给这个蛋糕胚外面抹上奶油（底面不抹），抹奶油的面积是多少平方厘米？ 【正确答案】499.26平方厘米 【解题思路】通过观察可知，抹奶油的面积相当于下面圆柱的侧面积＋下面圆柱的一个底面积＋上面圆柱的侧面积。根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱的底面积公式：S＝πr2，代入数据即可求出抹奶油的面积。 【详细解答】3.14×14×5＋3.14×8×5＋3.14×（14÷2）2 ＝3.14×14×5＋3.14×8×5＋3.14×72 ＝3.14×14×5＋3.14×8×5＋3.14×49 ＝219.8＋125.6＋153.86 ＝499.26（平方厘米） 答：抹奶油的面积是499.26平方厘米。 28．（6分）骆马湖沙滩公园为了修建沙雕，用一辆长9.42米，宽2.5米，高2米的卡车装满黄沙，倒在地面上堆成一个近似圆锥形沙堆，沙堆的底面半径是3米，这个沙堆的高是多少米？ 【正确答案】5米 【解题思路】卡车的车厢是个长方体，于是先利用长方体的体积公式计算出沙子的体积，再根据圆锥的体积公式：，那么得到圆锥的高，即沙堆的高。据此解答即可。 【详细解答】9.42×2.5×2÷÷（3.14×） ＝47.1×3÷（3.14×9） ＝141.3÷28.26 ＝5（米） 答：这个沙堆的高是5米。 29．（6分）做两个无盖的圆柱形水桶，每个水桶的底面周长是6π分米，高是7分米，至少需要铁皮多少平方分米？（用“进一”法保留整数） 【正确答案】321平方分米 【解题思路】先根据圆的半径＝周长÷π÷2求出圆柱形底面半径，再根据πr2求出圆柱的一个底面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高求出圆柱的侧面积，再把底面积和侧面积相加即可得到做一个无盖水桶需要的铁皮，最后乘2即可得到做两个无盖水桶需要的铁皮，注意：结果要用“进一”法保留整数，即直接去掉得数小数点后面的数，再给个位加上一。 【详细解答】6π÷π÷2 ＝6÷2 ＝3（分米） 3.14×32＋3.14×3×2×7 ＝3.14×9＋18.84×7 ＝28.26＋131.88 ＝160.14（平方分米） 160.14×2≈321（平方分米） 答：至少需要铁皮321平方分米。 30．（6分）如图所示，一个底面直径是6厘米，高是8厘米的圆柱被截取了一部分，成为了如图所示的类似楔形圆柱体，求这个立体图形的体积是多少立方厘米？如果下面的图形中截取一个高为4厘米的最大圆锥，那么这个圆锥的体积是多少立方厘米？取 【正确答案】169.56立方厘米；37.68立方厘米 【解题思路】该立体图形可以分为上下两部分，下部分是一个高为4厘米的圆柱，上部分为高厘米的圆柱的一半；圆柱的体积，代入数值计算出上下两部分体积再相加即可。 截取的最大的圆锥与该立体图形的下半部分圆柱体等底等高，因此，用下半部分圆柱体的体积乘即可。 【详细解答】 （立方厘米） （立方厘米） 答：这个立体图形的体积是169.56立方厘米；这个圆锥的体积是37.68立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$