回顾与思考(1) 直角三角形的边角关系（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

回顾与思考(一)　直角三角形的边角关系 第一章 直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 B 3 A 4 5 6 D 7 9 10 11 12 B 13 14 15 16 17 18 20 12 22 23 考点1　锐角三角函数 1．如图，过点C(－2，5)的直线分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB＝( ) A． eq \f(2,5) B． eq \f(2,3) C． eq \f(5,2) D． eq \f(3,2) 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan ∠BDE的值为( ) A． eq \f(5,12) B． eq \f(12,5) C． eq \f(5,13) D． eq \f(12,13) 3．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格的交点，AD⊥BC于点D，则tan ∠BAD的值为__________． eq \f(3,4) 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin ∠ABE＝____________. eq \f(\r(10),10) 【解析】由折叠可知BA′＝BA＝6，∠BA′E＝∠A＝90°，∴A′C＝ eq \r(BC2－BA′2) ＝8，∴CE＝A′C＋A′E＝8＋AE.又∵CD2＋DE2＝CE2，即62＋(10－AE)2＝(8＋AE)2，∴AE＝2，∴BE＝ eq \r(AB2＋AE2) ＝2 eq \r(10) ，∴sin ∠ABE＝ eq \f(AE,BE) ＝ eq \f(\r(10),10) . 考点2　特殊角的三角函数值 5．已知∠α为锐角，且2sin (90°－α)＝1，则tan α的值为( ) A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(2),2) C．1 D． eq \r(3) 6.定义一种运算：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：当α＝45°，β＝30°时，sin (45°＋30°)＝sin 45°cos30°＋cos45°sin30°＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(\r(2),2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4) ，则sin 15°的值为________________． eq \f(\r(6)－\r(2),4) 7．计算： (1) eq \f(4sin 30°,2cos 30°－tan 45°) －tan260°； (2)3tan30°－ eq \f(1,cos60°) ＋ eq \r(8) cos 45°＋ eq \r(（1－tan 60°）2) . 解：原式＝ eq \f(4×\f(1,2),2×\f(\r(3),2)－1) －( eq \r(3) )2＝ eq \r(3) ＋1－3＝ eq \r(3) －2 解：原式＝3× eq \f(\r(3),3) － eq \f(1,\f(1,2)) ＋ eq \r(8) × eq \f(\r(2),2) ＋ eq \r(（1－\r(3)）2) ＝ eq \r(3) －2＋2＋ eq \r(3) －1＝2 eq \r(3) －1 考点3　解直角三角形 8．如图，将一副直角三角尺按图中方式叠放，若BC＝4，则BD＝__________． 2 eq \r(6) 9．如图，在△ABC中，sin B＝ eq \f(3,5) ，tan C＝2，AB＝10，则AC的长为__________． 3 eq \r(5) 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝ eq \f(3,5) ，点D在边BC上，且BD＝4，tan ∠DAC＝ eq \f(2,3) . (1)求边AC的长； (2)求tan ∠BAD的值． 解：(1)∵tan ∠DAC＝ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(2,3) ，∴CD＝ eq \f(2,3) AC.又∵sin ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,5) ，∴AB＝ eq \f(5,3) AC，∴BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(（\f(5,3)AC）2－AC2) ＝ eq \f(4,3) AC，∴BD＝BC－CD＝ eq \f(4,3) AC－ eq \f(2,3) AC＝ eq \f(2,3) AC＝4，∴AC＝6 (2)过点D作DE⊥AB于点E，由(1)知AB＝ eq \f(5,3) AC＝10，CD＝ eq \f(2,3) AC＝4，∴AD＝ eq \r(AC2＋CD2) ＝ eq \r(62＋42) ＝2 eq \r(13) .又∵S△ABD＝ eq \f(1,2) AB·DE＝ eq \f(1,2) BD·AC，即 eq \f(1,2) ·10DE＝ eq \f(1,2) ×4×6，∴DE＝ eq \f(12,5) ，∴AE＝ eq \r(AD2－DE2) ＝ eq \r(（2\r(13)）2－（\f(12,5)）2) ＝ eq \f(34,5) ，∴tan ∠BAD＝ eq \f(DE,AE) ＝ eq \f(6,17) 考点4　三角函数的实际应用 11.如图，某停车场入口的栏杆AB从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4 m，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为( ) A． eq \f(4,sin α) m B．4sin α m C． eq \f(4,cos α) m D．4cos α m 12．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得：∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝40 cm，则AC的长为____________cm. 20 eq \r(6) 13.(2023•内江)某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5∶12的斜坡AB，长度为26 m，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4 m远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，求CD的长(结果保留根号). 解：过点B作BG⊥AD于点G，则四边形BFDG为矩形．∵BG∶AG＝i＝5∶12，∴BG＝ eq \f(5,12) AG，∴AB＝ eq \r(AG2＋BG2) ＝ eq \f(13,12) AG＝26 m，∴AG＝24 m，∴DF＝BG＝10 m．∵在Rt△BCF中，∠CBF＝45°，∴∠BCF＝45°＝∠CBF，∴CF＝BF.又∵在Rt△CEF中，CF＝EF•tan ∠CEF＝tan 60°EF＝ eq \r(3) EF，∴BF＝ eq \r(3) EF，即BE＋EF＝ eq \r(3) EF，即4＋EF＝ eq \r(3) EF，∴EF＝(2 eq \r(3) ＋2)m，∴CF＝(6＋2 eq \r(3) )m，∴CD＝CF＋DF＝6＋2 eq \r(3) ＋10＝(16＋2 eq \r(3) )(m) 14.(2023•锦州)如图①所示的是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了如图②所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120 cm，BD＝80 cm，∠ABD＝105°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5 cm.请你帮助该数学学习小组求出展板的最高点A到地面PF的距离(结果精确到1 cm，参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73)． \r(3) 解：过点A作AG⊥PF于点G，延长QE交AG于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N，则BM∥DH，四边形EFGH，四边形DHMN均为矩形，∴∠NBD＝∠BDQ＝60°，MH＝ND，HG＝EF＝5 cm，∴∠ABM＝∠ABD－∠NBD＝105°－60°＝45°，在Rt△BDN中，ND＝BD•sin ∠NBD＝80sin 60°＝40(cm)，∴MH＝ND＝40 eq \r(3) cm，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin ∠ABM＝120sin 45°＝60 eq \r(2) (cm)，∴AG＝AM＋MH＋GH＝60 eq \r(2) ＋40 eq \r(3) ＋5≈159(cm)，∴展板的最高点A到地面PF的距离约为159 cm 15.某校九年级“卓越数学”兴趣小组周末用他们所学到的知识测量附近一幢楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离被建筑护坡遮挡，不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房AB前有一斜坡CD，它的坡度i＝1∶ eq \r(3) .他们先在坡顶D处测量楼房顶部A的仰角∠ADM，接着沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房的方向继续行走至E处，再次测量楼房顶部A的仰角∠AEB，并测量了C，E之间的距离，最后测量了坡面C，D之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果(测角仪的高度忽略不计)如下表： 任务一：两次测量C，D之间的距离的平均值是_________m； 任务二：请你帮助“卓越数学”小组根据上表中的测量数据，求出该楼房AB的高(结果精确到0.1 m，参考数据： eq \r(3) ≈1.73， eq \r(2) ≈1.41)． 解：任务二：如图，延长DM交AB于点N，过点D作DF⊥CB交BC的延长线于点F，则四边形DFBN是矩形，DF∶CF＝1∶ eq \r(3) ，∴DF＝BN，DN＝FB，CF＝ eq \r(3) DF，∴CD＝ eq \r(DF2＋CF2) ＝ eq \r(DF2＋（\r(3)DF）2) ＝2DF＝12 m，∴DF＝6 m，∴BN＝DF＝6 m，CF＝ eq \r(3) DF＝6 eq \r(3) m.设BE＝x m，则AB＝BE·tan ∠AEB＝tan 60°x＝ eq \r(3) x(m)，DN＝BF＝CF＋CE＋BE＝(6 eq \r(3) ＋5＋x)m，∴AN＝DN·tan ∠ADM＝tan 30°(6 eq \r(3) ＋5＋x)＝(6＋ eq \f(5\r(3),3) ＋ eq \f(\r(3),3) x)(m).又∵AB＝AN＋BN，∴ eq \r(3) x＝6＋ eq \f(5\r(3),3) ＋ eq \f(\r(3),3) x＋6，解得x＝6 eq \r(3) ＋ eq \f(5,2) ，∴AB＝ eq \r(3) x＝18＋ eq \f(5\r(3),2) ≈22.3(m)，∴该楼房AB的高约为22.3 m $$