专题训练(2) 三角函数常见的数学模型应用（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

专题训练(二)　三角函数常见的数学模型应用 第一章 直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 模型一　背靠背型 模型分析 通过在三角形内作高，构造两个直角三角形，分别解这两个直角三角形，其中公共边(高)是解题的关键 图示 基础图形 图形演变一 图形演变二 总结 CD是公共边，AB＝AD＋BD CD是公共边，四边形ADCE为矩形⇒CE＝DA，CD＝EA⇒AB＝BD＋CE 四边形CDFE为矩形⇒CD＝EF，CE＝DF⇒AB＝AD＋CE＋BF 2 3 4 5 6 7 8 模型二　母子型 模型分析 通过在三角形外作高，构造有公共直角的两个直角三角形，分别解这两个直角三角形，其中公共边(高)是解题的关键 基础图形 AD是公共边，AD＝AC－CD 9 图形演变 AD＝AC－CD，BE＝EC－BC 四边形BCGF为矩形⇒BC＝FG，CG＝BF＝BD＋DF⇒EG＝EF＋BC，AG＝AC＋BD＋DF 10 11 12 13 14 15 16 模型三　拥抱型 模型分析 若两个直角三角形有一条公共边，则分别解这两个直角三角形，其中公共边是解题的关键 图示 基础图形 图形演变一 图形演变二 总结 BC为公共边 BC＝BF＋FE＋CE 四边形ABEG为矩形⇒AB＝GE，AG＝BE＝BC＋CE⇒DE＝AB＋DG 17 18 19 20 21 22 23 1．如图，建筑物AB的高为52 m，在其正前方广场上有人进行航模试飞．从建筑物顶端A处测得航模C的俯角α＝30°，同一时刻从建筑物的底端B处测得航模C的仰角β＝45°，求此时航模C的飞行高度(精确到1 m，参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73， eq \r(6) ≈2.45). 解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠ACD＝∠α＝30°，∠BCD＝∠β＝45°.设AD＝x m，∵在Rt△ACD中，CD＝ eq \f(AD,tan ∠ACD) ＝ eq \f(x,tan 30°) ＝ eq \f(x,\f(\r(3),3)) ＝ eq \r(3) x(m)，∴在Rt△BCD中，BD＝CD·tan ∠BCD＝ eq \r(3) x·tan 45°＝ eq \r(3) x(m).又∵AD＋BD＝AB，∴x＋ eq \r(3) x＝52，解得x＝26 eq \r(3) －26，∴BD＝ eq \r(3) x＝78－26 eq \r(3) ≈33(m)，∴此时航模C的飞行高度约为33 m 2.如图，投影仪的镜头A(看成一个点)到地面的距离AE为120 cm，投影在墙上的像BC的高度为156 cm.经测量，镜头A到像顶端B的仰角为17.7°，到像底端C的俯角为11.3°，求像底端C到地面的距离CD(结果保留整数，参考数据：sin 11.3°≈0.20，cos 11.3°≈0.98，tan 11.3°≈0.20，sin 17.7°≈0.30，cos 17.7°≈0.95，tan 17.7°≈0.32). 解：过点A作AF⊥BC于点F，则四边形AEDF为矩形，∴DF＝AE＝120 cm.设AF＝x cm，则在Rt△ABF中，BF＝AF·tan ∠BAF＝tan 17.7°x ≈0.32x(cm)，在Rt△ACF中，FC＝AF·tan ∠FAC＝tan 11.3°x≈0.20x(cm).又∵BF＋CF＝BC，∴0.32x＋0.20x≈156，解得x≈300，∴CF＝0.20x≈60(cm)，∴DC＝DF－CF≈120－60＝60(cm)，∴像底端C到地面的距离CD约为60 cm 3．如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的栈道AB，栈道AB与景区的道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西45°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏东32°方向．已知AC＝60 m，CD＝46 m，求栈道AB的长度(结果保留整数，参考数据： eq \r(2) ≈1.414，sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62). 解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形CEFD是矩形，∴CE＝DF，EF＝CD＝46 m．∵在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，AC＝60 m，∴AE＝AC·sin ∠ACE＝60sin 45°＝30 eq \r(2) (m)，CE＝AC·cos∠ACE＝60cos 45°＝30 eq \r(2) (m)，∴DF＝30 eq \r(2) m，∴在Rt△BDF中，BF＝DF·tan ∠BDF＝30 eq \r(2) tan 32°≈26.3(m)，∴AB＝AE＋EF＋BF≈30 eq \r(2) ＋46＋26.3≈115(m)，∴栈道AB的长度约为115 m 4.图①是某种路灯的实物图片，图②是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC、支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40 cm，求支架BC的长(结果精确到1 cm，参考数据： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732， eq \r(6) ≈2.449). 解：过点C作CD⊥MN于点D，∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝40 cm，∴CD＝AC·sin ∠CAD＝40sin 60°＝40× eq \f(\r(3),2) ＝20 eq \r(3) (cm).又∵在Rt△BCD中，∠CBD＝∠CAD－∠ACB＝60°－15°＝45°，∴BC＝ eq \f(CD,sin ∠CBD) ＝ eq \f(20\r(3),sin 45°) ＝ eq \f(20\r(3),\f(\r(2),2)) ＝20 eq \r(6) ≈49(cm)，∴支架BC的长约为49 cm 5．如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5 m到点Q处，在点Q处测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3 m，求无人机飞行的高度(结果精确到1 m，参考数据： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732)． 解：延长BA，PQ交于点C，则BC⊥PC.设AC＝x m，则BC＝(x＋3)m，∴在Rt△APC中，PC＝ eq \f(AC,tan ∠APC) ＝ eq \f(x,tan 30°) ＝ eq \r(3) x(m)；在Rt△BCQ中，QC＝ eq \f(BC,tan ∠BQC) ＝ eq \f(x＋3,tan 45°) ＝(x＋3)(m)，∴PQ＝PC－QC＝ eq \r(3) x－(x＋3)＝5(m)，∴x＝4 eq \r(3) ＋4，∴BC＝x＋3＝4 eq \r(3) ＋7≈14(m)，∴无人机飞行的高度约为14 m 6．如图是一景区观光台侧面示意图，直达观光台顶的斜梯AB的长为15 m，其坡度i＝1∶0.75.由于游客量的增加，此斜梯存在一定的安全隐患，当地政府决定对其改建，在与B处位于同一水平面的C处起修建斜梯CD，AE和缓冲平台DE，其中AE＝10 m，DE＝3 m，且在A处看E处的俯角为30°，在C处看D处的仰角为45°，求B，C两处之间的距离． 解：过点A作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，∵斜梯AB的坡度为i＝1∶0.75，∴ eq \f(AF,BF) ＝ eq \f(1,0.75) ＝ eq \f(4,3) ，∴AF＝ eq \f(4,3) BF，∴AB＝ eq \r(AF2＋BF2) ＝ eq \f(5,3) BF＝15 m，∴BF＝9 m，AF＝12 m．延长DE交AF于点G，过点D作DH⊥BC于点H，则四边形DHFG为矩形，∴DH＝GF，DG＝FH.又∵∠AEG＝30°，∴AG＝ eq \f(1,2) AE＝ eq \f(1,2) ×10＝5(m)，EG＝AE·cos ∠AEG＝10cos 30°＝5 eq \r(3) (m)，∴DH＝FG＝AF－AG＝7 m，FH＝DG＝DE＋EG＝(3＋5 eq \r(3) )m，∴在Rt△CDH中，CH＝ eq \f(DH,tan C) ＝ eq \f(7,tan 45°) ＝7(m)，∴BC＝CH＋FH－BF＝7＋3＋5 eq \r(3) －9＝(5 eq \r(3) ＋1)(m)，∴B，C两处之间的距离为(5 eq \r(3) ＋1)m 7．如图，在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从24 m的综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，请你帮小明求出办公楼的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33， eq \r(3) ≈1.73). 解：由题意可知AB＝24 m，∠BDA＝53°，∴在Rt△ABD中，AD＝ eq \f(AB,tan ∠BDA) ＝ eq \f(24,tan 53°) ≈ eq \f(24,1.33) ≈18.05(m)，∴在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD≈18.05tan 30°＝18.05× eq \f(\r(3),3) ≈10.4(m)，∴办公楼的高度约为10.4 m 8．如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD为24 m，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73). 解：连接HF并延长交CD于点N，延长FH交AB于点M，则BM＝GH＝EF＝DN＝1.6 m，HF＝GE＝8 m，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24 m．设AM＝CN＝x m，则：在Rt△AFM中，MF＝ eq \f(AM,tan ∠AFM) ＝ eq \f(x,tan 45°) ＝ eq \f(x,1) ＝x(m)；在Rt△CNH中，HN＝ eq \f(CN,tan ∠CHN) ＝ eq \f(x,tan 30°) ＝ eq \f(x,\f(\r(3),3)) ＝ eq \r(3) x(m)，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋ eq \r(3) x－24＝8(m)，解得x＝16 eq \r(3) －16≈11.7，∴AM≈11.7 m，∴AB＝AM＋BM≈11.7＋1.6＝13.3(m)，∴教学楼AB的高度约为13.3 m 9．(河南中考)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸的大树BC的高度，他们在斜坡上的D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6 m到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度(结果保留整数，参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11， eq \r(3) ≈1.73)． 解：过点D分别作DG⊥BC于点G，DH⊥CE于点H，则四边形DHCG为矩形，∴DG＝CH，CG＝DH.又∵∠FAE＝30°，∴CG＝DH＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) ×6＝3(m)，AH＝AD·cos ∠FAE＝6cos 30°＝6× eq \f(\r(3),2) ＝3 eq \r(3) (m).设BC＝x m，则BG＝BC－CG＝(x－3)m，AC＝ eq \f(BC,tan ∠BAC) ＝ eq \f(x,tan 48°) (m)，∴DG＝ eq \f(BG,tan ∠BDG) ＝ eq \f(x－3,tan 30°) ＝ eq \f(x－3,\f(\r(3),3)) ＝( eq \r(3) x－3 eq \r(3) )(m)，CH＝AH＋AC＝(3 eq \r(3) ＋ eq \f(x,tan 48°) )m，∴ eq \r(3) x－3 eq \r(3) ≈3 eq \r(3) ＋ eq \f(x,tan 48°) ，解得x≈13，∴大树的高度大约为 13 m $$