专题训练(1) 求锐角三角函数的方法归类（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

专题训练(一)　求锐角三角函数的方法归类 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 10 3 4 5 6 方法二　参数法 【方法指导】若已知两边的比值，或一个锐角三角函数值，而不能直接求出要求锐角三角函数相应边的长度时，可采用设参数的方法，先用参数表示出要求锐角三角函数相应边的长度，再代入三角函数公式计算即可． 7 3x 8 D 9 10 11 方法三　等角转换法 【方法指导】若待求角的三角函数值不容易求出，但易得与这个角相等的另一个角的三角函数值时，则可用等角转化的方法解决问题． 12 13 14 15 16 方法四　构造直角三角形法 【方法指导】若待求三角函数值的角不在直角三角形中，可以考虑根据已知条件构造直角三角形创造条件解决. 17 18 19 20 22 方法一　定义法 【方法指导】直接根据定义求锐角三角函数值时，首先要求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可；也可利用相似等得到相应边的比值，从而求得三角函数的值． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，则sin B＝________． 【思路点拨】由CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线可知AB＝________，再根据正弦的定义即可得到sin B＝ eq \f(AC,AB) ＝________． eq \f(3,5) eq \f(3,5) 1.如图，已知直线y＝ eq \f(3,4) x＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，则cos ∠ABO的值是__________． eq \f(3,5) 2.如图，点A，B分别在反比例函数y＝－ eq \f(8,x) (x＜0)，y＝ eq \f(18,x) (x＞0)的图象上，且OA⊥OB，求tan ∠ABO的值． 解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵点A，B分别在反比例函数y＝－ eq \f(8,x) (x＜0)，y＝ eq \f(18,x) (x＞0)的图象上，∴S△AOC＝ eq \f(1,2) ×|－8|＝4，S△BOD＝ eq \f(1,2) ×|18|＝9.∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴∠OAC＋∠AOC＝90°.又∵OA⊥OB，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴ eq \f(S△AOC,S△BOD) ＝( eq \f(OA,OB) )2＝ eq \f(4,9) ，∴tan ∠ABO＝ eq \f(OA,OB) ＝ eq \f(2,3) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝ eq \f(4,5) ，则tan B的值为________． 【思路点拨】根据sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,5) 可设BC＝4x，AB＝5x，再由勾股定理可得AC＝______，从而可得tan B＝ eq \f(AC,BC) ＝________． eq \f(3,4) eq \f(3,4) 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则cos B的值为( ) A． eq \f(2,3) B． eq \f(\r(6),3) C． eq \f(\r(10),5) D． eq \f(\r(15),5) 4．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，若cos A＝ eq \f(3,5) ，则tan ∠BDE的值为________． eq \f(1,2) 5.如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC，tan ∠AOB＝ eq \f(1,2) ，则sin C的值为__________． 图①　　　　　　　　　图② eq \f(\r(30),6) 如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则tan B′的值为__________． 【思路点拨】由旋转的性质可得∠B′＝∠B，从而可求得tan B′＝tan B＝ eq \f(CD,BD) ＝__________． eq \f(1,3) eq \f(1,3) 6．如图，直线y＝－ eq \r(3) x＋ eq \f(\r(3),3) 与x轴、y轴分别交于A，B两点，OC⊥AB于点C，则cos ∠AOC＝__________． eq \f(\r(3),2) 7.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB于点E，交AC于点F，则sin ∠DFC的值为__________． eq \f(4,5) 8．(锦州一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin ∠BFD的值为_________． eq \f(1,3) 【解析】由∠EDF＝∠A＝∠B，∠BFD＋∠B＝∠CDF＝∠EDF＋∠CDE可得∠BFD＝∠CDE，∴sin ∠BFD＝sin ∠CDE＝ eq \f(CE,DE) ＝ eq \f(AC－AE,AE) ＝ eq \f(4－3,3) ＝ eq \f(1,3) . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，3)和点B(7，0)，则tan ∠ABO的值为_________． 【思路点拨】过点A作AC⊥OB于点C可构造出∠ABO所在的Rt△ABC，从而在此直角三角形中可求得tan ∠ABO＝ eq \f(AC,BC) ＝____________． eq \f(3,4) eq \f(3,4) 9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均是格点，则cos ∠BAC的值为____________． eq \f(2\r(5),5) 10．如图，在平面直角坐标系中放置了三个长均为3，宽均为1的矩形，则sin ∠BAC＝__________． eq \f(3\r(10),10) 【解析】分别过点A，C作AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，则AD＝BD＝2，BC＝3，CD＝1，∴AB＝ eq \r(AD2＋BD2) ＝2 eq \r(2) ，AC＝ eq \r(AD2＋CD2) ＝ eq \r(5) .又S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AD＝ eq \f(1,2) AB·CE，∴CE＝ eq \f(3\r(2),2) ，∴sin ∠BAC＝ eq \f(CE,AC) ＝ eq \f(3\r(10),10) . 11．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan ∠BCD＝ eq \f(1,3) ，求tan A的值． 解：过点B作BE⊥BC交CD于点E，则∠CBE＝90°＝∠ACB，∴AC∥BE.又∵AB＝BD，∴AC＝2BE.又∵tan ∠BCD＝ eq \f(BE,BC) ＝ eq \f(1,3) ，∴BC＝3BE，∴tan A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(3BE,2BE) ＝ eq \f(3,2) $$