精品解析：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

成都石室阳安学校2024-2025学年度上期高2024级 11月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4 2. 下列四个图形中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一次函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设则（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A. 或 B. C. D. 7. 已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，若恒成立，则k的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 函数的图象如图，则（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 11. 已知函数恰有两个零点，则实数可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是__________． 13. 已知函数为上的偶函数，当时，，则时，____________． 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是________． ①函数的最大值为； ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点 ④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 16. 已知函数． （1）在坐标系中画出函数的图象； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 18. 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设． （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”． （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室阳安学校2024-2025学年度上期高2024级 11月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解. 【详解】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 2. 下列四个图形中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义一一分析选项即可. 【详解】对于A，B，C选项中的图象，每一个的取值均有唯一的一个值与其对应， 符合函数定义，则A，B，C中图象均为函数图象； 对于D选项，每一个的取值，都有两个值与其对应，不符合函数的定义， 则D中图象不是函数图象． 故选：D 3. 已知是一次函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】充分性，因为可得到或， 若或时，可得，所以是的充分条件； 必要性，若，当时，满足，但， 故不是的必要条件， 故选：A 5. 设则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得答案． 【详解】∵，在上单调递增， ∴， ∴. ∵在上单调递减， ∴， ∴ 故选：A. 6. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和函数为奇函数，可求的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以，所以，或. 当时，为偶函数，故不合题意； 当时，为奇函数，故满足题意. 故选：D 7. 已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件将问题转化为为上的增函数，由此列出不等式组求解出的范围. 【详解】因为对任意，都有成立， 所以为上的增函数， 所以，解得，即， 故选：C. 8. 设，若恒成立，则k的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 10. 函数的图象如图，则（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的图像找到对应的定义域、值域和函数值. 【详解】由图像可知，当时，，所以，A对； 由图像可知，定义域为；值域为；B错、C对； 当时，只有时才有对应的与之对应，D对. 故选：ACD 11. 已知函数恰有两个零点，则实数可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数图象的两个交点，写出结果即可． 【详解】函数有两个零点， 则的图象有两个交点， 画出函数和的图象，如图 结合图象可知. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由“，使得成立”为假命题， 可得“，使得成立”为真命题， 设，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知函数为上的偶函数，当时，，则时，____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当时，，由函数的解析式求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是________． ①函数的最大值为； ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点 ④ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据高斯函数定义可得的解析式和图象，由图象判断各个选项即可. 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示， 对于①，函数，①错误；对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，函数满足，④正确； 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知函数． （1）在坐标系中画出函数的图象； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 【答案】（1） （2） 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 设， 则， 因为， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递减； 设， 则， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由的范围去掉绝对值符号，将写成分段函数，画出图象即可； （2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，利用单调函数的定义证明即可. 【小问1详解】 函数， 得， 得， 函数的图象如下： 【小问2详解】 略 【点睛】， 17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； （2）年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. 【小问2详解】 设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 18. 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设． （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程组，即可求解； （2）由题意得到，根据转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （3）化简得到，令，得到，根据题意转化为方程有两个根且，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得对称轴为， 当时，在上为增函数，可得，即， 解得； 当时，在上为减函数，可得，即， 解得， 因为，所以. （2）由（1）可得，所以， 方程化为，所以， 令，则， 因为，可得，令， 当时，可得，所以，即实数的取值范围是. （3）方程，可化为， 可得且， 令，则方程化为， 方程有三个不同的实数解， 所以由的图象知， 方程有两个根且， 记，则或， 解得， 综上所述，实数的取值范围是. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”． （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，理由：假设是区间上的“阶自伴函数”， 不妨取，则，由可得， 此时无解，所以假设不成立， 所以不是区间上的“阶自伴函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，取，然后判断出不存在，由此可作出判断； （2）根据定义，当时，用表示出，判断出对应函数单调性并求解出值域，根据值域与的包含关系求解出结果； （3）根据定义，先分析出在上值域的情况，然后结合区间与对称轴对进行分类讨论，从而求解出的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立， 即对任意的，总存在唯一的，使成立， 因为在上单调递减， 当时，，当时，， 因为对内的每一个，在内都存在唯一与之对应，且， 所以， 所以，解得. 【小问3详解】 由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立， 即对任意的，总存在唯一的，使成立， 因为，所以， 所以在上的值域包含且的值域在内对应的自变量是唯一的， 又，对称轴，且， 当时，在上单调递增， 所以，解得； 当时，在上单调递减， 所以，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：函数不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $