第五章 分式与分式方程（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第五章 分式与分式方程（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．分式 有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 4．把分式中的分子、分母的x、y同时变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不改变 5．如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B． C． D． 6．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（    ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 7．小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如果分式的值是0，那么 ． 10．分式的最简公分母是 ． 11．若关于x的分式方程的解是，则a的值为 ． 12．已知，且，则的值为 ． 13．对于任意的x值都有，则 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）若式子有意义，化简：． 15．（5分）计算：． 16．（5分）解方程：． 17．（5分）如果分式无意义，的值为0，求的值． 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 19．（5分）已知，求的值． 20．（6分）若关于y的方程的解为非负数，求a的取值范围． 21．（6分）某商场文具专柜以每支（为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为元，你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗？每支钢笔的进价是多少元？ 22．（6分）一项工程，甲单独做x天完成，乙单独做需y天完成． (1)甲乙合作，需多少天完成？ (2)工程完成后共得劳动报酬m元，甲乙应各分得多少元？ 23．（7分）已知关于x的分式方程 (1)若解得方程有增根，且增根为x=-2，求m的值 (2)若方程无解，求m的值 24．（8分）某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． (1)原计划每年产量为多少万台？ (2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 25．（8分）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”成轴对称，，半径，且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度即与之间的距离； (2)经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 26．（10分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式与分式方程（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，注意：分式的实质是分母中含有字母．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； B、分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； C、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意； D、分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．分式 有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为零求解即可． 【详解】解：分式 有意义的条件是，即， 故选：A． 3．已知，则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，进一步即可求出. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查了分式的求值，属于基本题目，掌握求解的方法是关键. 4．把分式中的分子、分母的x、y同时变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不改变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的分子、分母的x、y同时变为原来的3倍， 得＝， 故分式的值不变． 故选：D． 5．如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键．根据分式的乘除法法则进行解题即可． 【详解】解： ∵运算的结果为整式， ∴中式子一定含有的单项式， 故只有B项符合． 故选：B． 6．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（    ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】B 【分析】本题考查最简公分母，根据找数字的最小公倍数，字母找最高指数即可得到答案； 【详解】解：与的最简公分母是，故A正确，不符合题意， 与的最简公分母是，故B错误，符合题意， 与的最简公分母是，故C正确，不符合题意， 与的最简公分母是，故D正确，不符合题意， 故选：B． 7．小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线B的平均速度为千米/时，利用时间路程速度，结合走“走路线B比路线A时间节省20分钟”，即可得出关于x的分式方程，找出等量关系是解答本题的关键． 【详解】设走路线A的平均速度为千米/小时，则走路线B的平均速度为千米/时， 由题意得：， 故选：D． 8．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解答本题时，易漏掉，这是因为忽略了这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视． 先解方程，用含有m的式子表示出方程的解，再根据分式方程的解为正数，并且分母不为零，可得到满足条件的m的范围． 【详解】解： 去分母，可得， 解得， ∵关于x的分式方程的解为正实数， ∴，解得， 又∵， ∴， 综上，且， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如果分式的值是0，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为0，即分子为0，分母不为0，据此列式计算即可作答． 【详解】解：∵分式的值是0， ∴ 解得 故答案为：． 10．分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】先把的分母分解因式，即可确定最简公分母． 【详解】解：∵， ∴的最简公分母为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握分解因式． 11．若关于x的分式方程的解是，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的解．解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．根据方程解的定义，将代入已知分式方程，列出关于的一元一次方程，通过解该一元一次方程即可求得的值． 【详解】解：关于的分式方程的解为， 满足关于的分式方程， ， 解得，； 故答案为：1． 12．已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的加减运算等知识点，正确对代数式进行变形成为解题的关键．由可得，然后整体代入即可解答． 【详解】解：由可得，即， ∴． 故答案为：． 13．对于任意的x值都有，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握异分母分式相加要先通分． 先将等式右边通分合并，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 右边 ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）若式子有意义，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及绝对值的性质，确定的取值范围是解答本题的关键． 首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，求解不等式确定的取值范围，然后根据的取值范围结合绝对值的性质对原式进行化简即可． 【详解】解：有意义， ， ， ． 15．（5分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 16．（5分）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键．根据解分式方程的方法进行计算，注意要检验． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， 是原方程的解． 17．（5分）如果分式无意义，的值为0，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为0的条件，根据分母为0时，分式无意义，分子为0，分母不为0时，分式的值为零，求出的值即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴； ∵的值为0， ∴且， ∴； ∴． 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，值为． 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（5分）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入法是解题关键．由已知条件可得，再整体代入分式化简求值即可． 【详解】解：， ， ， ． 20．（6分）若关于y的方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解、求不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先解分式方程得出，根据题意得出且，则有且，即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 关于y的分式方程的解为非负数， 且， 且， 解得：且， a的取值范围为且． 21．（6分）某商场文具专柜以每支（为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为元，你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗？每支钢笔的进价是多少元？ 【答案】文具专柜共购进了400支钢笔，每支的进价是5元 【详解】本题主要考查了分式的实际应用．设文具专柜共购进了支钢笔，可得，再结合，且为整数，为正整数，可得或，即可求解． 解：设文具专柜共购进了支钢笔，则 ． 因为，且为整数，为正整数， 所以是7的约数， 所以或． 所以或（不符合题意．舍去）． 当时．． 答：文具专柜共购进了400支钢笔，每支的进价是5元． 22．（6分）一项工程，甲单独做x天完成，乙单独做需y天完成． (1)甲乙合作，需多少天完成？ (2)工程完成后共得劳动报酬m元，甲乙应各分得多少元？ 【答案】(1)天 (2)甲分得元，乙分得元 【分析】本题主要考查了如何列代数式，解题时要能根据题意列出式子是本题的关键． （1）本题须先分别求出甲乙的工作效率，再用总工作量除以总工作效率即可； （2）先求出工程完成后甲、乙分别完成的工作量，然后再分别乘以劳动报酬m元即可． 【详解】（1）解：∵甲单独完成需要x天，乙单独完成需要y天， ∴甲单独完成的工作效率是，乙单独完成的工作效率是， ∴两人合作需要的时间为：； ∴甲乙合作，需要天； （2）解：∵甲单独完成的工作效率是，乙单独完成的工作效率是， ∴工程完成后，甲完成，应分得（元）， 乙完成，应分得（元）． 23．（7分）已知关于x的分式方程 (1)若解得方程有增根，且增根为x=-2，求m的值 (2)若方程无解，求m的值 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）将分式方程化为整式方程，将增根代入求解即可； （2）将分式方程化为整式方程，根据无解的两种情况，一是有增根，二是整式方程无解进行计算即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘 得： 移项合并同类项得： 将代入得： 解得： （2）解：由（1）可知： ∵方程无解： ①整式方程无解：，解得： ②分式方程有增根：或x+2=0，解得： 当时： 当时：，解得： 故当或或时，方程无解． 【点睛】本题考查根据分式方程的解的情况判断参数的值，注意分式方程无解包括两种情况，一种是整式方程无解，一种是分式方程有增根． 24．（8分）某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． (1)原计划每年产量为多少万台？ (2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 【答案】(1)原计划每年产量为万台 (2)实际平均每年产量至少还要增加万台 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台，根据“预计可提前2年完成任务”列出分式方程，解分式方程即可得出答案； （2）由（1）可得，实际每年产量就是万台，设实际平均每年产量至少还要增加万台，根据“要求从2023年初后续不超过5年完成”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴原计划每年产量为万台； （2）解：由（1）可得，实际每年产量就是万台， 设实际平均每年产量至少还要增加万台， 由题意得：， 解得：， ∴实际平均每年产量至少还要增加万台． 25．（8分）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”成轴对称，，半径，且它们之间的距离为． (1)求闸机通道的宽度即与之间的距离； (2)经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1)闸机通道的宽度即与之间的距离为 (2)一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人 【分析】本题考查含角的直角三角形、分式方程的应用，掌握在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半、列分式方程并求解是解题的关键． （1）连接，延长交于点G；延长交于点H，则，，根据“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”分别求出、，再由计算闸机通道的宽度即与之间的距离即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列关于x的分式方程并求解，再计算的值即可． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点G；延长交于点H． 由题意可知，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴闸机通道的宽度即与之间的距离为． （2）解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （人）． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人． 26．（10分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，解分式方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求出的值即可得到答案； （2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案； （3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 令，则， 解得， ∴， 经检验，是原方程组的解； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$