第五章 分式与分式方程（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第五章 分式与分式方程（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此可得答案． 【详解】解：在中分式有，共2个， 故选：B． 2．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简分式 【分析】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意． 故选：D． 3．若把分式的和都扩大2倍，则分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．是原来的一半 D．是原来的4倍 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质（利用分式的基本性质判断分式值的变化），熟练掌握利用分式的基本性质判断分式值变化的方法是解题的关键： 1、判断分式值变化的依据是分式的基本性质，即分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变； 2、分式值不变的条件要符合两个“同”，一是要同时作“乘法”或“除法”运算，二是“乘或除以”的对象必须是同一个不等于的整式； 3、分式的分子、分母加（减）一个整式，也要转化为乘（除），根据分式的基本性质进行判断； 4、判断分式值变化的方法：先根据已知条件进行相应的变化，再将分式整理成原式与某个数（代数式）的积，最后与原分式进行比较即可． 把分式的和都扩大2倍，然后代入原式进行计算即可得出答案． 【详解】解：把分式的和都扩大2倍， ， 故选：． 4．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式除法 【分析】本题考查分式的乘除法，熟知运算法则是正确解决本题的关键． 运用分式的乘除法运算法则逐选项进行判断即可得出正确答案． 【详解】解：A．，此选项错误，不符合题意；     B．，此选项错误，不符合题意； C．，此选项正确，符合题意；     D．，此选项错误，不符合题意； 故答案为：C． 5．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 6．小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了从实际问题抽象出分式方程，设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据走路线B的全程比走路线A少用15分钟列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选D． 7．如图所示的并联电路总电阻是，总电阻与的关系是，若，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解分式方程 【分析】本题考查解分式方程．根据题意将，是代入中解出，进而再求出即可． 【详解】解：∵是，， ∴将，是代入中得：，解得：， 经检验：为分式方程的解， ∴， 故选：D． 8．若关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的的值和为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，先解不等式组结合不等式组有解且最多有4个整数解得出，再解分式方程得出，结合分式方程的解为整数．且得出或或或或，求和即可得解． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程得：， ∵关于的分式方程的解为整数．且， ∴或或或或， ∴符合条件的的值和为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，解题的关键熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式的分母不能为0． 利用二次根式和分式有意义的条件即可解答此题． 【详解】解：根据二次根式和分式的意义可得， ， 解得，， 故答案为：． 10．若，则 ． 【答案】1 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式求值，由题意得出，把等式两边同时除以x即可得出答案． 【详解】解：， 当时，则，则， 则， ∴， 故答案为：1． 11．已知，，则 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握是解题的关键． 先通分再带入计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 12．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 当，方程无解， ∴， ∴原分式方程无解， 当时，，若分式方程无解，则， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或． 13．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知，求的值． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的运用，比例的性质，熟练掌握比例的性质，分式的化简求值是解题的关键．根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：设，则， ∴． 15．（5分） 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据分式的乘方以及乘除运算法则，对式子进行化简即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查分式的乘方以及乘除运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键． 16．（5分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后将代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 17．（5分）解方程： 【答案】无解 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是增根，分式方程无解． 18．（5分）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据x的值非负，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵x的值非负， ∴， ∴且． 19．（5分）有一项工程，甲、乙两人合作20天后，还需由乙单独做7天才能完成．如果甲每天比原来多做，乙每天比原来多做，那么全部工程两人合作20天就能完成，求原来甲和乙单独完成这项工程各需多少天？ 【答案】甲原来度量完成这项工程需要50天，乙原来度量完成这项工程需要45天 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程组的实际应用，设甲原来度量完成这项工程需要天，乙原来度量完成这项工程需要天，把工作总量看做单位“1”，表示出变化前后甲、乙的工作效率，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率建立方程组求解即可． 【详解】解：设甲原来度量完成这项工程需要天，乙原来度量完成这项工程需要天， 由题意得：， 整理得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：甲原来度量完成这项工程需要50天，乙原来度量完成这项工程需要45天． 20．（6分）已知方程． (1)若是方程的解，求m的值； (2)若，解方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程， 对于（1），将方程的解代入原方程，求出m的值即可； 对于（2），将m的值代入原方程，再根据解分式方程的步骤求出解，然后检验． 【详解】（1）解：∵是方程的解， ∴， 解得； （2）解：当时，， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，.是原方程的根． 21．（6分）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式，即可作答． （2）结合（1）的结论，易得，再把等式左边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ∴第4个等式； 故答案为：； （2）解：由（1）的规律得第个等式：， 证明如下： 左边 右边， ∴成立． 22．（8分）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用2400元购进甲坚果和用2000元购进乙坚果数量一样多． (1)求出甲、乙坚果每盒的进价分别为多少元？ (2)若超市共购进了甲、乙两种坚果100盒，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值？ 【答案】(1)甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元 (2)总利润的最大值是1570元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用． （1）设乙坚果每盒的进价是元，则甲坚果每盒的进价是元，根据“用2400元购进甲坚果和用2000元购进乙坚果数量一样多”列方程求解； （2）先根据“总利润=两种坚果的利润和”列出函数关系式，再根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙坚果每盒的进价是元，则甲坚果每盒的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴． 答：甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元； （2）解：设该超市购进盒甲坚果，则购进盒乙坚果， 根据题意得：， 解得：． 设两种坚果全部售完后获得的总利润为元，则 ， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵，且，均为正整数， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：总利润的最大值是1570元． 23．（8分）阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． （1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （3）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （3）解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴． 24．（7分）下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝ 解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度 任务： (1)解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________； A．步行的速度为 B．骑自行车的速度为 C．步行的时间为 (2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度． 【答案】(1)A，C (2)步行的速度为，骑自行车的速度为 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据等量关系列出方程． （1）根据列表中给出的等量关系得出结论； （2）根据分式方程的解法解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为； 解法二所列的方程中的x表示步行的时间为． 故答案为：A，C； （2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为； 解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为， 根据题意得：， 解得： ， 经检验，是原方程的解， 此时，， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为． 25．（8分）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【知识点】分式的判断、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 26．（8分）1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)670元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数的应用． （1）设滑动变阻器的最大电阻是．根据“滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了．”列出分式方程，求解即可； （2）设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍”列出不等式，得到．列出y关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意可列方程： ， 解得：， 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个． 由题意知： ， 解得：， 总费用 ，即， ∵ ， ∴ y随m的增大而减小． ∵ m是整数，                      ∴ 当时，y最小，此时，（元）， 答：学校买这批仪器至少要花费670元． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式与分式方程（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．若把分式的和都扩大2倍，则分式的值（   ） A．扩大2倍 B．不变 C．是原来的一半 D．是原来的4倍 4．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 6．小明用滴滴打车去火车站，他可以选择两条不同路线：路线A的全程是15千米，但交通拥堵；路线B的全程比路线A的全程多6千米，但平均车速是走路线A时速度的1.5倍，走路线B的全程比走路线A少用15分钟．设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（    ） A． B． C． D． 7．如图所示的并联电路总电阻是，总电阻与的关系是，若，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的一元一次不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的的值和为（   ） A． B．0 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．函数中，自变量的取值范围是 ． 10．若，则 ． 11．已知，，则 ． 12．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 13．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知，求的值． 15．（5分） 16．（5分）先化简，再求值：，其中． 17．（5分）解方程： 18．（5分）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 19．（5分）有一项工程，甲、乙两人合作20天后，还需由乙单独做7天才能完成．如果甲每天比原来多做，乙每天比原来多做，那么全部工程两人合作20天就能完成，求原来甲和乙单独完成这项工程各需多少天？ 20．（6分）已知方程． (1)若是方程的解，求m的值； (2)若，解方程． 21．（6分）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 22．（8分）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用2400元购进甲坚果和用2000元购进乙坚果数量一样多． (1)求出甲、乙坚果每盒的进价分别为多少元？ (2)若超市共购进了甲、乙两种坚果100盒，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值？ 23．（8分）阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 24．（7分）下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝ 解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度 任务： (1)解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________； A．步行的速度为 B．骑自行车的速度为 C．步行的时间为 (2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度． 25．（8分）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 26．（8分）1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$