专题02 复数（四大题型）（陕西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题02 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数范围内方程的根 题型03共轭复数 题型04复数的四则运算 ( 题型0 1 ) 复数的概念 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，求出坐标原点到圆心的距离，即可求出的最大值. 【详解】设，因为，即， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，而表示点到原点的距离， 又，所以的最大值为. 故答案为： 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】根据复数虚部的定义直接求解 【详解】复数的虚部为． 故答案为： 3．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，其中． (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的有关概念可得，解之即可求解； （2）根据复数的几何意义可得，解之即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得，． （2）由题意可得， 即或，解得， 即的取值范围是． ( 题型02 ) 复数范围内方程的根 4．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知是关于的方程的根，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】将代入计算即可得. 【详解】由题意可得， 则， 则有． 故选：B. 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）若是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D．关于的方程的另一个复数根为 【答案】AB 【分析】代入根计算得到，再根据复数的模，复数的几何意义以及共轭复数的定义依次判断每个选项即可. 【详解】是方程的一个复数根，则， 整理得到， 故，解得， 对选项A：，故A正确； 对选项B：，故B正确； 对选项C：，其在复平面内所对应的点为，位于第四象限，故C错误； 对选项D：，解得或，则另一个复数根为，故D错误. 故选：AB 6．（23-24高一下·陕西西安·期中）（1）在复数范围内解方程： （2）已知复数，若为纯虚数，求的值． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）利用配方法得到，再根据计算可得； （2）由条件，结合纯虚数的定义列方程求. 【详解】（1）因为，则，所以， 所以或，则或， 即方程的两根为，. （2）因为为纯虚数， 所以，且， 解得. ( 题型03 ) 共轭复数 7．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先代入实数根，即可求得的值，即可求解复数和其共轭复数. 【详解】由题意可知，，， 即， 则，得， 所以，. 故选：B 8．（23-24高一下·陕西安康·期中）若复数，为的共扼复数，则的虚部为 . 【答案】 【分析】根据共轭复数的概念可得，即可由复数的除法运算求解. 【详解】由可得，所以， 故，故虚部为， 故答案为： 9．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知复数，则的虚部为 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法法则及共轭复数的概念，即可得到答案． 【详解】由， 则，所以的虚部为. 故答案为：． ( 题型04 ) 复数的四则运算 10．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合复数的除法运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知（，），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据复数相等的充要条件得到方程组，求出、，即可得到复数，再根据共轭复数的定义判断A，根据复数的模判断B，根据复数代数形式的运算法则判断C、D. 【详解】依题意可得，则，解得，则， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD 12．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知复数与都是纯虚数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得，从而得到，即可求出其模； （2）由（1）可得，根据虚根成对原理得到也是方程的根，利用韦达定理计算可得. 【详解】（1）由题意可设， 则， 又为纯虚数， 则，解得，所以，则； （2）由（1）可得， 故是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 13．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知复数（为虚数单位，）. (1)若为实数，求的值; (2)若为纯虚数，是关于的方程的一个根，求方程的另一根. 【答案】(1)或 (2)3 【分析】（1）根据复数的定义计算即可； （2）根据复数的定义先求，再利用因式分解即可得解. 【详解】（1）根据复数的定义可知若为实数，则或； （2）根据复数的定义可知若为纯虚数，则， 则， 则由，得，所以另一个根为. 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法法则运算即可求解. 【详解】． 故选：C 2．（23-24高一下·陕西咸阳市武功县普集高中·期中）已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可由模长公式求解. 【详解】，所． 故选：C 3．（23-24高一下·陕西西安鄠邑区·期中）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B 二、多选题 4．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县·期中）已知为复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】根据复数的乘除法运算以及复数的类型，即可判断AB,由复数的模长即可判断D，根据复数的特性判断C. 【详解】设，由为实数，得，所以，故正确； 若，则，故B错误； 不全是实数的两个复数不能比较大小，故C错误； 设，则，故D正确. 故选:AD. 5．（23-24高一下·陕西西安奥林匹克花园学校·期中）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（    ） A．复数的共轭复数的虚部为2 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用共轭复数的定义可判断A；利用特殊值法可判断B；利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C；解方程可判断D. 【详解】对于A，因为，则，其虚部为2，故A正确； 对于B，取，此时，但，故B错误； 对于C，若，则，故，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 故选：AC. 6．（23-24高一下·陕西咸阳市武功县普集高中·期中）已知复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．是方程的一个根 【答案】BD 【分析】利用复数的概念、运算法则、几何意义一一判定选项即可. 【详解】因为，所以， 则的虚部为，故A错误； 由于，则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确； 由于，故C错误； 方程可化为，方程的根为，故D正确． 故选:BD． 三、填空题 7．（23-24高一下·陕西西安市临潼区临潼中学·期中）若复数，且为纯虚数，则 ，在复平面内对应的点位于第 象限． 【答案】 二 【分析】根据纯虚数定义可构造方程求得；由复数乘方运算和几何意义可确定对应点的坐标，由此可得对应点所在象限. 【详解】为纯虚数，，解得：； 对应的点为， 在复平面内对应的点为与第二象限. 故答案为：；二. 8．（23-24高一下·陕西宝鸡市扶风县法门高中·期中）已知复数满足，则复数的模长为 【答案】 【分析】先化简已知条件由复数除法运算求出，再求模长 【详解】由已知， 则 所以 故答案为：. 9．（23-24高一下·陕西咸阳市武功县普集高中·期中）已知复数满足，则的最大值是 . 【答案】6 【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果. 【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示复数对应的点到点的距离， 最大的距离为， 即的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一下·陕西师范大学附属中学·期中）已知复数满足：. (1)求复数； (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方程组，求出，从而可得出答案； （2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解. 【详解】（1）解：设复数， 根据题意得， ， 则， ； （2）解：由（1）得， 则 . 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数范围内方程的根 题型03共轭复数 题型04复数的四则运算 ( 题型0 1 ) 复数的概念 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）复数的虚部为 ． 3．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，其中． (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． ( 题型02 ) 复数范围内方程的根 4．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知是关于的方程的根，则（    ） A．6 B． C．4 D． 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）若是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D．关于的方程的另一个复数根为 6．（23-24高一下·陕西西安·期中）（1）在复数范围内解方程： （2）已知复数，若为纯虚数，求的值． ( 题型03 ) 共轭复数 7．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·陕西安康·期中）若复数，为的共扼复数，则的虚部为 . 9．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知复数，则的虚部为 ． ( 题型04 ) 复数的四则运算 10．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知（，），若，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知复数与都是纯虚数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值． 13．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知复数（为虚数单位，）. (1)若为实数，求的值; (2)若为纯虚数，是关于的方程的一个根，求方程的另一根. 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西咸阳市武功县普集高中·期中）已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D． 3．（23-24高一下·陕西西安鄠邑区·期中）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县·期中）已知为复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 5．（23-24高一下·陕西西安奥林匹克花园学校·期中）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（    ） A．复数的共轭复数的虚部为2 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24高一下·陕西咸阳市武功县普集高中·期中）已知复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．是方程的一个根 三、填空题 7．（23-24高一下·陕西西安市临潼区临潼中学·期中）若复数，且为纯虚数，则 ，在复平面内对应的点位于第 象限． 8．（23-24高一下·陕西宝鸡市扶风县法门高中·期中）已知复数满足，则复数的模长为 9．（23-24高一下·陕西咸阳市武功县普集高中·期中）已知复数满足，则的最大值是 . 四、解答题 10．（23-24高一下·陕西师范大学附属中学·期中）已知复数满足：. (1)求复数； (2)化简：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$