期中重难点真题特训之易错必刷题型（86题39个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

期中重难点真题特训之易错必刷题型（86题39个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、二次根式的相关概念 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A． B． C． D． 易错必刷题二、二次根式有意义的条件 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．4050 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A．， B． C． D．且 4．（23-24八年级下·江苏·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题三、求二次根式的值 5．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）已知，则 ． 6．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）若，则 ． 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若求的值． 易错必刷题四、求二次根式的参数 8．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 易错必刷题五、利用二次根式的性质化简 9．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）若则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 11．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 易错必刷题六、复合二次根式的化简 12．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 14．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 易错必刷题七、二次根式的四则混合运算 15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算： (1) (2) 17．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）由，可知，则的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)已知与的小数部分分别为，且求的值； 易错必刷题八、最简二次根式 18．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）若与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 20．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 易错必刷题九、同类二次根式 21．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 易错必刷题十、分母有理化 22．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）对于有理数和，定义了一种新运算：，例如，则为 ． 24．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 易错必刷题十一、已知字母的值化简求值 25．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值：的值，其中． 26．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）先化简， 再求值： 其中 27．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 易错必刷题十二、比较二次根式的大小 28．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 易错必刷题十三、二次根式的应用 29．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）有一块长方形木板，甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求的长； (2)求变动后面积共增加了多少； (3)乙想从长方形木板中截出长为、宽为的长方形木条，最多能截出根这样的木条． 30．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）据报道某天有一个熊孩子把楼的啤酒瓶拿到楼然后扔下去，所幸并没有人员伤亡，熊孩子也被家长打得屁股开花；据研究从高空抛物到落地所需时间（单位：）和高度（单位：）近似的满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛物到落地所需时间的值是多少？ (2)从高空抛物到落地所需时间的值是多少？ (3)是的多少倍？ 31．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 易错必刷题十四、勾股定理的证明方法 32．（24-25八年级下·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 易错必刷题十五、以弦图为背景的计算题 33．（23-24七年级下·广西柳州·期中）【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 易错必刷题十六、用勾股定理解三角形 34．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在等腰中，，，且，以边、、为直径画半圆，其中所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（   ） A．8 B． C．2 D．4 35．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，已知在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为 时，能使 36．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，在中，，垂足为，为上一点，交于点，且，，， (1)求证：与全等； (2)求的长． 易错必刷题十七、勾股数问题 37．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数． (1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数； (2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数． 易错必刷题十八、勾股定理与网格问题 38．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的面积； (2)求四边形的周长． 易错必刷题十九、勾股定理与折叠问题 39．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． (1)求的周长． (2)求的长． 40．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 41．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）在四边形中，，，． (1)为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），当点落在边上时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并直接写出此时_______； (2)点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 易错必刷题二十、勾股定理的逆定理 42．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读理解试题：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则 (1)已知点，，求，两点间的距离； (2)已知点，，，判断的形状． 43．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，． (1)任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低（即证明）； (2)任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米． 44．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，，连接． (1)求的长； (2)求证：． 易错必刷题二十一、勾股定理的实际应用 45．（24-25八年级下·四川成都·期末）每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 46．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 47．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 易错必刷题二十二、勾股定理中的最短路径问题 48．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？ 49．（24-25八年级下·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 50．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 易错必刷题二十三、勾股定理中的是否受影响型问题 51．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 52．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 易错必刷题二十四、平行四边形的判定 53．（2024·河北沧州·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 54．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）四边形中，，对角线、交于点，增加下列条件不能使四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 55．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 易错必刷题二十六、平行四边形的性质 56．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 57．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 58．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 易错必刷题二十七、三角形的中位线 59．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点，分别是对角线，的中点，平分，则的长为 ． 60．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 如图，在中，点、分别是、的中点，连接．求证：，． 证明：如图，延长到点，使，连接，，． 点是的中点， ， 四边形是平行四边形．（依据1）， ，． 点是的中点， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ，，（依据2） ，． 任务： (1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”； (2)小宇继续探究，如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，，．求证：； (3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理： ． 61．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 易错必刷题二十八、矩形的判定 62．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，的对角线交于点O，点E、F、G、H分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 易错必刷题二十九、矩形的性质 63．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 64．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，点、分别在边、上，，，，求的长． 65．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知和的边、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)已知，，连接、、，当___________时，四边形是矩形． 易错必刷题三十、矩形中的折叠问题 66．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，当时，求的面积． 67．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，矩形纸片中，将矩形纸片翻折，使点B落在对角线上的点F处，折痕交于点，若，则的长度为 ． 68．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知长方形中，，，是边上一点，将长方形沿直线折叠，使点恰好落在对角线上，则的长为（   ） A．5 B．13 C． D．15 易错必刷题三十一、菱形的判定 69．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 70．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知：在中，分别过点B、D作于点E，于点F，如图．请从以下四个关系式中：①；②；③；④选择一个合适的作为已知条件，使是菱形． (1)你选择的条件是______． (2)添加了条件后，请证明为菱形． 易错必刷题三十二、菱形的性质 71．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF，BF． (1)求证：； (2)若∠ADC=110°，求的度数． 72．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的值． 易错必刷题三十三、菱形的面积计算 73．（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，．则菱形的面积是（　　） A． B．16 C． D． 74．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 易错必刷题三十四、正方形的判定 75．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 易错必刷题三十五、正方形的性质 76．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形中，，O、E、F、M分别为的中点，则的长等于（   ） A． B． C． D． 77．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 78．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 易错必刷题三十六、中点四边形 79．（23-24八年级下·山西朔州·期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是________，并证明你的结论． (2)当四边形的对角线满足________条件时，四边形是矩形． (3)在教材课本中你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？________ 易错必刷题三十七、平行四边形的存在性问题 80．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动停止时，______，线段的长为______； (2)①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 81．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，长方形，，．在上取一点，沿折叠，点恰好落在上的点处．    (1)点的坐标为___________． (2)求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 82．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． (1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ (4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 易错必刷题三十八、平行四边形的旋转问题 83．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．    (1)可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； (2)已知，，直接写出四边形的面积为________． 84．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）已知：如图，正方形中，点E是边上一点，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．    (1)补全图形：求证：． (2)以的中点G，连接，猜想的位置关系，并证明． 易错必刷题三十九、平行四边形中的最值 85．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 86．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之易错必刷题型（86题39个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、二次根式的相关概念 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可． 本题考查了二次根式的定义，掌握被开方数是非负数是关键． 【详解】解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意； B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意； C、由于，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，它无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 易错必刷题二、二次根式有意义的条件 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得，则，代入求值即可． 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【详解】解：由题意，得， 解得． ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A．， B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：要使代数式有意义，则且， ∴且， 故选：． 4．（23-24八年级下·江苏·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 易错必刷题三、求二次根式的值 5．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 6．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）若，则 ． 【答案】或 【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴2x-1=0或2x-1=1， 解得：或1． 故答案为或． 【点睛】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键． 7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 易错必刷题四、求二次根式的参数 8．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 易错必刷题五、利用二次根式的性质化简 9．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 10．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和二次根式的性质．先根据数轴推出，，再化简绝对值和利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解；由数轴可知，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的性质；关键在于理解二次根式的化简方法，即通过将根号内的数分解为质因数的乘积，然后利用根式化简的规则，提取平方根，最终得到最简形式． （1）根据二次根式的性质化简即可求解； （2）被开方数先化为分数，再根据二次根式的性质化简即可求解； （3）被开方数先化为假分数，再根据二次根式的性质化简即可求解； （4）根据二次根式的性质化简即可求解； （5）先提公因式，再根据二次根式的性质化简即可求解； （6）根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 易错必刷题六、复合二次根式的化简 12．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 【答案】(1)，， (2)猜想：，证明见解析 【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系， （1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子； （2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是： ，，； （2）猜想：（为自然数）． 证明：． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 14．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 易错必刷题七、二次根式的四则混合运算 15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的乘法运算； （1）先计算乘方，求解立方根，算术平方根，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可； （2）利用二次根式的乘法运算法则与分配律进行简便运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查二次根式的性质和化简，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先化简二次根式，先计算乘除法，再计算加减法即可； （2）先计算乘除法，再化简二次根式． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 17．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）由，可知，则的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)已知与的小数部分分别为，且求的值； 【答案】(1)4， (2) (3)或 【分析】（1）根据材料代入运算即可．； （2）根据题意可得，，，代入即可求解； （3）根据题意可得，，，代入即可求解． 本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为4 ∴的小数部分为． （2）∵即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为． ∴，， ∴． （3）已知与的小数部分分别为， ∵， ∴， ∴的整数部分为10，小数部分为， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，， ， ，或． 易错必刷题八、最简二次根式 18．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 19．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）若与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把化简成最简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 20．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 【答案】(1) (2)① ；②1 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可； （2）①只有同类二次根式才能合并，把化简为最简二次根式，即可求解；②利用二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得； （2）①， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴， 解得； ②由①可得：． 易错必刷题九、同类二次根式 21．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：． 易错必刷题十、分母有理化 22．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键． 将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 23．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）对于有理数和，定义了一种新运算：，例如，则为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据新定义代入计算求值即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）；的有理化因式是___________． (2)把下列式子分母有理化：． 【答案】(1)（答案不唯一）；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了有理化因式，以及分母有理化，理解有理化因式的定义是解答本题的关键． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）把分子、分母都乘以计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； （2）解：． 易错必刷题十一、已知字母的值化简求值 25．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值：的值，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 26．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）先化简， 再求值： 其中 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 27．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由得， 则， ∴， ∴． （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 易错必刷题十二、比较二次根式的大小 28．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是分母有理化： （1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案； （2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，且， ∴． 易错必刷题十三、二次根式的应用 29．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）有一块长方形木板，甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求的长； (2)求变动后面积共增加了多少； (3)乙想从长方形木板中截出长为、宽为的长方形木条，最多能截出根这样的木条． 【答案】(1) (2)174 (3)5根 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法侧． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算即可； （3）根据，得出最多能截出5根这样的木条． 【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为192cm的正方形， ∴正方形的边长为：， 答：的长为； （2）解：∵ ∴矩形木板ABCD的面积为； ∴变动后面积共增加了， 答：变动后面积共增加了174； （3）解：∵， 又∶， ∴从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm，宽为1.5cm的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 30．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）据报道某天有一个熊孩子把楼的啤酒瓶拿到楼然后扔下去，所幸并没有人员伤亡，熊孩子也被家长打得屁股开花；据研究从高空抛物到落地所需时间（单位：）和高度（单位：）近似的满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛物到落地所需时间的值是多少？ (2)从高空抛物到落地所需时间的值是多少？ (3)是的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）把代入公式计算即可求解； （）把代入公式计算即可求解； （）根据（）（）的结果计算即可求解； 本题考查了二次根式的实际应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，； （3）解：， 是的倍． 31．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 易错必刷题十四、勾股定理的证明方法 32．（24-25八年级下·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)小正方形的面积等于1． 【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积个正方形的面积个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积边长；写出、、之间的等量关系； （2）直接用（1）的结论求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 易错必刷题十五、以弦图为背景的计算题 33．（23-24七年级下·广西柳州·期中）【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 【答案】（1）4；25；（2）；（3）16尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，勾股定理的证明： （1）根据网格的特点，结合正方形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求得到，即； （3）根据（2）的结论求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，图（2）中正方形A的边长为2，则其面积为4； 图（3）中正方形B的边长为5，则其面积为25； 故答案为：4；25； （2）由（1）所求可得， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，由题意得，尺，尺，， ∴， ∴尺或尺（舍去）， ∴木杆折断之前有尺， 易错必刷题十六、用勾股定理解三角形 34．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在等腰中，，，且，以边、、为直径画半圆，其中所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（   ） A．8 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，阴影部分面积的计算，解题关键是熟练掌握勾股定理求出．先根据勾股定理求出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：在等腰中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 35．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，已知在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为 时，能使 【答案】5或11 【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解． 本题主要考查动点与三角形的综合运用，理解动点的规律与线段的关系，三角形全等的判定和性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键． 【详解】解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∴平， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 36．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，在中，，垂足为，为上一点，交于点，且，，， (1)求证：与全等； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，得到是解答关键． （1）根据得到，即可得到和是直角三角形，根据判定直角三角形全等的“”得到三角形全等； （2）由（1）可知，进而得到，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ，， ∴， （2）解：由（1）可知， ∴， ∴． 易错必刷题十七、勾股数问题 37．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数． (1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数； (2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数． 【答案】(1)10，24，26（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股数的定义：都是正整数且较小的两个数的平方的和等于最大的数的平方，进行作答即可； （2）先根据整理得，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴10，24，26是一组勾股数 故答案为：10，24，26（答案不唯一）； （2）解：依题意， ， ∴满足以上公式的是一组勾股数． 易错必刷题十八、勾股定理与网格问题 38．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的面积； (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，网格里求不规则图形的面积，熟练掌握利用分割法或补形法求不规则图形是解题关键． （1）利用补形法即可求解四边形的面积； （2）利用勾股定理求出、、、的值，即可求解． 【详解】（1）解：四边形的面积． （2）解：根据勾股定理，得：，， ，， 四边形的周长． 易错必刷题十九、勾股定理与折叠问题 39．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． (1)求的周长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由翻折易得，则的周长； （2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长． 本题考查了折叠性质以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将折叠，使点B与点A重合，折痕为， ∴， 则的周长； （2）解：由题意得； 设，则， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得； 即． 40．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 41．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）在四边形中，，，． (1)为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），当点落在边上时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并直接写出此时_______； (2)点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)图形见解析， (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中 ． 则． 在中 ，即 ． 解得 ． 即． （2）①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 易错必刷题二十、勾股定理的逆定理 42．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读理解试题：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则 (1)已知点，，求，两点间的距离； (2)已知点，，，判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】（1）根据两点间距离公式即可求解； （2）根据两点间距离公式得出，再根据勾股定理逆定理，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ∴，两点间的距离为． （2）， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 43．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，． (1)任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低（即证明）； (2)任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 根据垂线段最短知：道路设计方案的成本最低； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴修建后的路线比原来的路线缩短了． 44．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，，连接． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理的运用． （1）在中，利用勾股定理求出的长； （2）在中，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：在中，，，， 则． 是直角三角形． ． 易错必刷题二十一、勾股定理的实际应用 45．（24-25八年级下·四川成都·期末）每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1)的长为 (2)为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 46．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【答案】甲树原来的高度为米 【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， 米，米， （米）， （米）， （米）， 甲树原来的高度为（米）， 答：甲树原来的高度为米. 47．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里 (2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． 在中，， ∴． 答：小岛A与港口C的距离为150海里； （2）解：过点C作于点D， 当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（小时）． 答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A． 易错必刷题二十二、勾股定理中的最短路径问题 48．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，若蚂蚁的爬行速度为内蚂蚁能否爬到点？ 【答案】内蚂蚁能爬到点 【分析】本题考查平面展开 - 最短路径问题与勾股定理应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开在同一平面内， ， ． ， ， 内蚂蚁能爬到点． 49．（24-25八年级下·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 50．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 易错必刷题二十三、勾股定理中的是否受影响型问题 51．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)农场会受到台风的影响，理由见解析； (2)小时． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键． （1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解； （2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下： 如图，过作于， ， ， ， 的面积， ， ， ， 农场会受到台风的影响； （2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，， ， ， ， 由勾股定理得， ， 台风中心的移动速度为， 台风影响该农场持续时间是（小时）． 52．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)持续小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当，时，正好影响港口，利用勾股定理得出，，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； （2）解：如图，假设当，时，正好影响港口， ∴，， ∴， ∵台风的速度为千米/小时， ∴（小时）， 答：海港受台风影响的时间会持续小时． 易错必刷题二十四、平行四边形的判定 53．（2024·河北沧州·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识，掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意； B．根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意； C．根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，符合题意； D．根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故不符合题意． 故选：C． 54．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）四边形中，，对角线、交于点，增加下列条件不能使四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质．根据平行四边的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：B． 55．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出结论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 易错必刷题二十六、平行四边形的性质 56．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，和分别平分和，交于，．与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，结合角平分线得出，，得，，则可得出，即可证明； （2）利用，得出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 57．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是平行四边形，则，从而得出垂直平分，故有，所以的周长为，再由为即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ， ∵为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 58．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ∴， 故答案为：． 易错必刷题二十七、三角形的中位线 59．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点，分别是对角线，的中点，平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，含的直角三角形的性质，平行线的判定及性质等知识点，取、边上的中点、，连接，，，根据中位线的性质可知，，，，，进而可得，，再结合含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：取、边上的中点、，连接，，， ∵点，分别是对角线，的中点， ∴，，，，， 则，， ∴， ∵，则， ∴、、在同一直线上，则， ∴， ∴， 故答案为：． 60．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 如图，在中，点、分别是、的中点，连接．求证：，． 证明：如图，延长到点，使，连接，，． 点是的中点， ， 四边形是平行四边形．（依据1）， ，． 点是的中点， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ，，（依据2） ，． 任务： (1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”； (2)小宇继续探究，如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，，．求证：； (3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理： ． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查三角形中位线定理的证明及其应用，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过添加辅助线，利用平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形是平行四边形，构造出平行四边形，得，，从而证明四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得．因为点是的中点，即，得出．根据三角形中位线定理，得，进而证明结论； （3）答案不唯一，合理即可．如平行四边形的对角线互相平分，或在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】（1）解：依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 依据：平行四边形的对边平行且相等； （2）点、分别是、的中点， ， ，点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ； （3）答案不唯一，合理即可．如平行四边形的对角线互相平分；在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半． 61．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 易错必刷题二十八、矩形的判定 62．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，的对角线交于点O，点E、F、G、H分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，，同理，，再由平行四边形的性质得，则，，即可得出结论； （2）连接，由平行四边形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，得，然后证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵G，F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴，， 同理可得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵G，H分别是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 易错必刷题二十九、矩形的性质 63．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，得，即，根据平行线的性质得，又点是边的中点，所以，然后由三角形的判定方法即可求证； （）由四边形为矩形，则，，，则，然后由三角形的外角性质和等腰三角形的性质得， 再通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的度数为． 64．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，点、分别在边、上，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 连接，由矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，，继而得出，求出． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 65．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知和的边、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)已知，，连接、、，当___________时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，然后由证明即可； （2）由勾股定理得，证明，可得，当时，，可得，则四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是矩形，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ∴， 在和中，， ； （2）解：，，， ， 由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ，， ∴当时，， ∴， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 此时， ， ∴当时，四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定、平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 易错必刷题三十、矩形中的折叠问题 66．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形中，，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形与折叠性质，全等三角形性质，勾股定理，掌握全等三角形的性质及勾股定理是解决此题关键． (1)由折叠的性质得，根据全等三角形性质及角平分线概念得，再由矩形性质可得答案； (2)延长交的延长线于点，由矩形性质及折叠性质可得，设，则，根据勾股定理及三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ， 平分， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ； （2）解：延长交的延长线于点， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得，， ，，， ， ， 设，则， ， ， 在中，， 即， ， ，， ， ， ， ． 67．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，矩形纸片中，将矩形纸片翻折，使点B落在对角线上的点F处，折痕交于点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据矩形的性质易得，由折叠的性质可得，得到，利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：矩形纸片中，， ∵将矩形纸片折叠，使点落在对角线上的点处， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， 在中，， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 68．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知长方形中，，，是边上一点，将长方形沿直线折叠，使点恰好落在对角线上，则的长为（   ） A．5 B．13 C． D．15 【答案】C 【分析】根据勾股定理，得到，，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据折叠的性质，得，，， ∴， 设，则， ∴ 解得． ∴， 故选：C． 易错必刷题三十一、菱形的判定 69．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，是菱形；故选项A符合题意； B，C，D三个选项都不能推出是菱形； 故选A． 70．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知：在中，分别过点B、D作于点E，于点F，如图．请从以下四个关系式中：①；②；③；④选择一个合适的作为已知条件，使是菱形． (1)你选择的条件是______． (2)添加了条件后，请证明为菱形． 【答案】(1)③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法． （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，选择条件：③； （2）证，可得一组邻边相等，可证是菱形． 【详解】（1）解：选择的条件是③：， 故答案为：③； （2）证明：， ， ∵四边形为平行四边形； 为菱形． 易错必刷题三十二、菱形的性质 71．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF，BF． (1)求证：； (2)若∠ADC=110°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠FDC=75°． 【分析】（1）连接BF，由线段垂直平分线的性质得AF=BF，再证△BCF≌△DCF（SAS），得BF=DF，即可得出结论； （2）由菱形的性质得∠DCA=∠DAC=35°，由AF=DF以及三角形的外角性质，得到∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°，据此求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接BF，如图所示： ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=DC，∠BCF=∠DCF， 在△BCF和△DCF中， ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴BF=DF， ∴AF=DF； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=110°， ∴AD=DC，∠DCA=∠DAC=(180°-∠ADC)=×70°=35°， ∵AF=DF， ∴∠FDA=∠DAC=35°， ∴∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°， ∴∠FDC=180°-∠DFC-∠DCA=180°-70°-35°=75°． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明△BCF≌△DCF是解题的关键． 72．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理： （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， 四边形是菱形， ， ， ． 易错必刷题三十三、菱形的面积计算 73．（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，．则菱形的面积是（　　） A． B．16 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，得到，由菱形的面积公式即可求出菱形的面积．关键是掌握菱形的面积公式． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 菱形的面积． 故选：D． 74．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）过点作于点，解直角三角形求出 结果即可； 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是中点， ， 四边形是菱形； （2）过点作于点，则，如图： ， ， ， 在中，， 根据勾股定理可得，， 在中，，，，， ， 是的中点， ， ． 易错必刷题三十四、正方形的判定 75．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 易错必刷题三十五、正方形的性质 76．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形中，，O、E、F、M分别为的中点，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则；在中，由勾股定理求得，由直角三角形斜边上中线的性质，求得，从而求得． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴； ∵四边形为正方形，， ∴，； ∵点E为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点F为直角三角形斜边上中点， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 77．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，先求得，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 是四个全等的直角三角形，， ，， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 78．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图1，求证：； (2)如图2，过点作交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，即可； （2）连接，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得，，，根据，四边形的内角和，则，推出，根据平角的性质，可，等量代换，可得，根据等边对等角，可得，根据三角形的内角和，即可； （3）延长到，使，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得 ，，由（2），根据角的数量关系，可得，根据全等三角形的判定和性质，可得，，再根据线段之间的数量关系，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是正方形，是对角线 ∴， ∵是公共边 ∴ ∴． （2）解：证明如下： 连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （3）解：延长到，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形，全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，进行解答，即可． 易错必刷题三十六、中点四边形 79．（23-24八年级下·山西朔州·期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是________，并证明你的结论． (2)当四边形的对角线满足________条件时，四边形是矩形． (3)在教材课本中你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？________ 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2) (3)矩形 【分析】（1）连接BD，然后根据三角形中位线可进行求解； （2）根据矩形的判定定理可进行求解； （3）由矩形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：四边形的形状是平行四边形，理由如下： 如图1，连结． ∵、分别是、中点， ∴，， 同理，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形的对角线满足时，四边形是矩形；理由如下： 连结AC，如图所示： 由（1）可知四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：由（1）可知四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 故答案为矩形． 【点睛】本题主要考查中点四边形、三角形中位线、矩形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握中点四边形、三角形中位线、矩形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键． 易错必刷题三十七、平行四边形的存在性问题 80．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动停止时，______，线段的长为______； (2)①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；；；② (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用： （1）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的的长即可； （2）①根据题意列出对应的代数式即可；②根据题意可得当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，则，据此列出方程求解即可； （3）根据题意可得四边形为平行四边形，则，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点P运动9秒后停止，即， ∴， 故答案为：；； （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：；；； ②∵， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是矩形， ∴此时有， ∴， 解得； （3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且， ∴此时四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得． 81．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，长方形，，．在上取一点，沿折叠，点恰好落在上的点处．    (1)点的坐标为___________． (2)求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，即可求解； （2）设，则，计算出线段即可利用勾股定理求解，进而可求点的坐标； （3）根据“平行四边形的对角线互相平分”即可分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点的坐标为 故答案为： （2）解：由题意得： ∴ 设，则 在中： 解得： ∴点 （3）解：由题意得可得： 设点 为对角线，则有： 解得： 故 为对角线，则有： 解得： 故 为对角线，则有： 解得： 故 综上所述： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理．熟记相关结论是解题关键． 82．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts． (1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？ (4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)不存在，理由见解析 (3)6 (4)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质进行求解即可； （2）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （3）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （4）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm， ∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm， ∵，要， ∴四边形CDPQ为平行四边形， ∴DP＝CQ， ∴12﹣t＝2t， ∴t＝4， 即t＝4时，PQCD； （2）不存在，理由： ∵四边形PQCD是菱形， ∴CQ＝CD， ∴2t＝10， ∴t＝5， 此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm）， 而DP≠CD， ∴四边形PQCD不可能是菱形； （3）如图，∵∠B＝90°，ADBC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， 即t＝18﹣2t， 解得：t＝6， ∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形； （4）由当t＝6时，四边形PQBA是矩形， ∴AP＝6cm， ∵AB＝8cm， ∴AP≠AB， ∴矩形PQBA不能是正方形， 即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置． 易错必刷题三十八、平行四边形的旋转问题 83．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．    (1)可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； (2)已知，，直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1)是由绕点A顺时针旋转得到 (2)25 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． （1）根据正方形的性质得，，则可根据“”证明，于是根据旋转的定义，将绕A点顺时针方向旋转90度得到； （2）由得，所以，然后根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ∴， ∴， 可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到； （2）解：∵，， ∴， ， ， ． 84．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）已知：如图，正方形中，点E是边上一点，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．    (1)补全图形：求证：． (2)以的中点G，连接，猜想的位置关系，并证明． 【答案】(1)补全图形以及证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据可证，根据可证，即可求证； （2）取的中点O，连接，先证，可得，进而可知点A，E，D，C在以为直径的同一个圆上，即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示：    证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∴， 取的中点O，连接， ∴， ∴点A，E，D，G在以为直径的同一个圆上， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、斜中半定理、四点共圆问题等知识点．熟记相关知识点并进行严密的几何推理是解题关键． 易错必刷题三十九、平行四边形中的最值 85．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)点C在线段和交点处时最小为10 (2)10 【分析】本题主要考查勾股定理及矩形的判定，熟练掌握勾股定理及矩形的性质与判定是解题的关键； （1）根据两点之间线段最短及结合勾股定理可进行求解； （2）根据（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可知：当A、C、E三点共线时，即点C在线段和交点处时的值最小，如图所示： 过点A、D分别作，，交于一点F， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10； （2）解：由（1）可知：的最小值为10； 故答案为10． 86．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△AB P′≌△AD P′，即可求解； （2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小． 理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC， ∵AP′=AP′， ∴△ABP′≌△ADP′， ∴BP′=DP′， ∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE， 即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小； （2）解：由（1）得：B P′=DP′， ∴P′B＋P′E＝DE． ∵BE＝2，AE＝3BE， ∴AE＝6． ∴AD＝AB＝8． ∴DE＝＝10． ∴PB＋PE的最小值是10． ∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$