精品解析：福建省漳州第一中学2024-2025学年高一下学期第一次段考（4月）数学试题

漳州一中2024～2025学年高一下学期 第一次阶段考试数学科 试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位若复数，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数的有关概念求解. 【详解】解：因为复数， 所以的虚部是1， 故选：A 2. 已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边AB上的中线的实际长度为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解. 【详解】的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是6和8，斜边AB的长度为10， 边AB上的中线的实际长度为5. 故选：D 3. 平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，，则（　　 ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先由变形，再结合向量数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意得，所以，两边平方得， 即，所以. 故选：C 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 故选：A 5. 已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由柱体的体积可得，长方体外接球的半径为，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面积的最小值. 【详解】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 6. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助投影向量定义可计算出，结合向量模长公式计算即可得. 【详解】由题意可得，向量在向量上的投影向量为， 则，解得，则， 故． 故选：D. 7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1和图2中溶液体积分别为，则（ ） A B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为4，在图2中，中间液面四边形的边长为5， 则， 所以. 故选：D. 8. 的内角的对边分别为,边上的中线长为,则面积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，通过和余弦定理可计算出，于是利用均值不等式即可得到答案. 【详解】根据题意可知，而，同理，而，于，即，又因为，代入解得.过D作DE垂直于AB于点E，因此E为中点，故，而 ，故面积最大值为4，答案为D. 【点睛】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是（ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出复数的形式，写出共轭，由复数的平方和模长的运算得到A错误；由复数的几何意义可得B正确；由复数的运算可得C错误；把根代入方程后由复数的意义可得D错误. 【详解】设，则，其中， A：，，故故A错误； B：因为，由复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心的单位圆上， 而表示圆上的点到点的距离，又圆心到的距离为， 所以圆上的点到的最大距离为，故B正确； C：因为，所以，复平面内对应的点位于第二象限，故C错误； D：是关于的方程的一个根， 所以，整理可得， 所以，解得，故D错误； 故选：ACD. 10. 已知、、分别为内角、、的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的平分线交于点，，则的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可得A正确、B正确；由二倍角的正弦公式结合诱导公式可得C错误；由三角形的面积公式结合基本不等式的乘“1”法可得D正确. 【详解】对于A，因为，由大边对大角可得， 由正弦定理可得，其中三角形外接圆半径，所以，故A正确； 对于B，如图，因为，，若有两解，则， 即，所以，则的取值范围是，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 选项D，平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得， 即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（ ） A. 该圆台高为 B. 该圆台体积为 C. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意结合台体的结构特征运算求解；对于B：根据台体的体积公式运算求解，对于C：由圆台补成圆锥，结合圆锥的侧面展开图分析求解；对于D：做辅助线，分析可知，结合几何知识运算求解. 【详解】对于选项A：如图1，作交于点E，易得， 则，所以圆台的高为，故A正确； 对于选项B：圆台的体积为，故B错误； 对于选项C：由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4，底面半径为2，侧面展开图的圆心角， M为AD的中点，连接CM，如图2， 可得，，，则， 此时到的距离为， 故从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5，C正确； 对于选项D：延长CM，BA交K点，连接HK，则F点在HK上，为中点，是与交点，如图3， 过作HK垂线，垂足为N，延长，过K作KQ垂直于，垂足为Q，如图4， 则，与相似， 可得，，解得， 由垂径定理知N为FH的中点， 则与相似，且都是等腰直角三角形， 所以，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长2，则球的半径，则球的体积，故答案为. 点睛：本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键；根据已知中，将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和圆的结构特征，就是正方体的内切球，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案. 13. 在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式，如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位所在直线与旗杆所在直线共面，在该列的第一个座位和最后一个座位测得旗杆顶端的仰角分别为和，且座位的距离为米，则旗杆的高度为__________米． 【答案】30 【解析】 【分析】根据示意图，根据题意可求得∠NBA和∠BAN，则∠BNA可求，然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN＝AN•sin∠NAM求得答案． 【详解】解：如图所示，依题意可知∠NBA＝45°， ∠BAN＝180°﹣60°﹣15°＝105° ∴∠BNA＝180°﹣45°﹣105°＝30° 由正弦定理可知 ∴AN＝ ＝20米 ∴在Rt△AMN中， MN＝AN•sin∠NAM＝20 × ＝30米 所以：旗杆的高度为30米 故答案为30． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理解三角形.此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决． 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形将所求数量积中的向量转化，化简为，从而只需求的取值范围，由图易得的最大最小值，代入即得. 【详解】 如图，取的中点,连接. 则, 因为圆的直径，长度为4，故得,要求的取值范围，即要求的取值范围. 根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时， 当点为正六边形的边的中点时(如图点)，故. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足为纯虚数，． （1）求以及； （2）设，若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）1或5 【解析】 【分析】（1）设复数的代数形式，利用复数的乘法运算化简，根据纯虚数概念求解； （2）利用复数的乘除、乘方化简，再由模的公式建立方程求解. 【小问1详解】 设，则， 由为纯虚数， 得①，且， 由，得②， 由①②解得，验证知，满足题意 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，得， 整理，得， 解得或. 故实数的值为1或5. 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量； （2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示结合两角和的正弦展开式和诱导公式以及特殊角的余弦值计算可得； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理可得. 【小问1详解】 ， 由正弦定理边化角， 即， ，， 又，，， 【小问2详解】 ，， ， ，， 的周长为． 18. 如图，在三棱锥的平面展开图中，、、三点共线，的内角、、所对的边分别为、、，且． （1）求的大小； （2）若，且，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦展开式和特殊角的正弦值求解即可； （2）由展开图的性质结合勾股定理求出，再由数量积的定义求出，然后在中，由余弦定理得，再结合勾股定理和半角公式求出，最后由余弦定理求解. 【小问1详解】 ， ， ， 又，， ，． 【小问2详解】 由展开图知，，， 由（1）知，又，，， 、、三点共线，且，， ，， ， 中，由余弦定理得 ，， ，， 中，由余弦定理得，． 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在－仿射坐标系中，若，求； （2）如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由坐标系新定义和向量的数量积以及模长的计算求解即可； （2）由坐标系新定义和中点坐标公式以及向量的数量积求出，再由余弦定理和正弦定理边化角以及降幂公式，辅助角公式化简可得. 【小问1详解】 由题意知，，， ，， ，． 【小问2详解】 设，且，， ， 为的中点，， 为中点，同理得， ， ，， ， 中，，， 代入上式得， 中，由正弦定理得， 设，则，，， ， 其中且，，， 当时，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州一中2024～2025学年高一下学期 第一次阶段考试数学科 试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位若复数，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. i D. 2. 已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边AB上的中线的实际长度为（ ） A. 4 B. C. D. 5 3. 平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，，则（　　 ） A. B. 1 C. D. 2 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则的值为（       ） A. B. C. D. 5. 已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. 7 B. C. D. 7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1和图2中溶液体积分别为，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 的内角的对边分别为,边上的中线长为,则面积的最大值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是（ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 已知、、分别为内角、、的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，的平分线交于点，，则的最小值为8 11. 如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（ ） A. 该圆台高为 B. 该圆台体积 C. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为__________． 13. 在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式，如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位所在直线与旗杆所在直线共面，在该列的第一个座位和最后一个座位测得旗杆顶端的仰角分别为和，且座位的距离为米，则旗杆的高度为__________米． 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足纯虚数，． （1）求以及； （2）设，若，求实数值． 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 17. 在中，角、、所对边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 如图，在三棱锥的平面展开图中，、、三点共线，的内角、、所对的边分别为、、，且． （1）求的大小； （2）若，且，，求． 19. 如图，设、是平面内相交成两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在－仿射坐标系中，若，求； （2）如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $