精品解析：吉林省松原市长岭县2024～2025学年下学期第一次月考 八年数学试卷

名校调研系列卷·八年下第一次月考试卷数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x=2 2. 如图，在中，，则的长是（　　） A. B. C. 2 D. 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（） A. 18 B. 24 C. D. 30 5. 下列各式中，计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 8. 如图，湖的两岸有A、C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A、C两点间的距离为___________米． 9. 已知x=3，y=4，z=5，那么÷的最后结果是________ 10. 已知直角坐标平面上点和点，则的长为____________． 11. 小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为________________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 计算：． 14. 如图，在中，，是的平分线，于点，，，求的长．     15. 嘉嘉和淇淇同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数，现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． （1）若嘉嘉摸到如图①所示的两个小球，请计算出结果； （2）如图②，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为，淇淇说的值能与合并，你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 16. 图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，按下列要求画图． （1）在图①中，以格点为顶点，为腰，画一个三边长都是无理数的等腰三角形； （2）在图②中，找到一个格点D，连接、、，使与全等． 17. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，如图②，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图②中的点、、、在同一平面上）．过点作于点，测得，，求的长． 18. 如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 19. 在中，，．点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F．连结，若． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 20. 某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，根据，因为，，所以______________，_____________，则可能得到化简．请将横线上缺少的数字写出来； 【学以致用】 （2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式． 21. 【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为______． 【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理． 【拓展】图①“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长． 22. 如图，在中，，，．点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒（）． （1）求边的长； （2）当线段的长取最小值时，求的值； （3）当将面积分成两部分时，求值； （4）当是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·八年下第一次月考试卷数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x=2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴2x﹣4≥0，解得：x≥2，则实数x的取值范围是：x≥2． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件． 2. 如图，在中，，则的长是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：D． 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 【详解】解：A、，故与不能合并，故A不符合题意； B、与不能合并，故B不符合题意； C、，故与不能合并，故C不符合题意； D、，故与能合并，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 4. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（） A. 18 B. 24 C. D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用勾股定理得，再根据可得答案． 【详解】解∶在中，， 由勾股定理得，， 分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点， ∴是等边三角形， ， 的周长为， 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及等边三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5. 下列各式中，计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘法运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键； 本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C； 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 8. 如图，湖的两岸有A、C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A、C两点间的距离为___________米． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，列式计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：9． 9. 已知x=3，y=4，z=5，那么÷的最后结果是________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的除法法则进行约分，代入具体的值再把结果化为最简二次根式. 【详解】÷====. 【点睛】此题主要考查二次根式的除法，解题的关键是熟知二次根式的运算，约去y. 10. 已知直角坐标平面上点和点，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面内两点间距离公式，熟练掌握平面直角坐标系中两点间距离公式，是解题的关键．根据点和点，结合平面内两点间距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵直角坐标平面上点和点， ∴． 故答案为：． 11. 小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为________________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可设，则，根据线段之间的关系建立方程求出x的值，进而求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，先计算乘方，再计算二次根式乘法，最后计算除法即可得到答案． 【详解】解： ． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 14. 如图，在中，，是的平分线，于点，，，求的长．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理、勾股定理．先根据角平分线的性质定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得． 15. 嘉嘉和淇淇同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数，现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． （1）若嘉嘉摸到如图①所示的两个小球，请计算出结果； （2）如图②，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为，淇淇说的值能与合并，你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可列出式子计算求解即可； （2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 16. 图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，按下列要求画图． （1）在图①中，以格点为顶点，为腰，画一个三边长都是无理数的等腰三角形； （2）在图②中，找到一个格点D，连接、、，使与全等． 【答案】（1） 如图①所示， ，， ∴，且三边都是无理数， ∴即为所求； （2） 如图②所示， ∵，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴点D即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，，，然后得到，且三边都是无理数，即可求解； （2）首先根据勾股定理得到，，然后证明出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，无理数的概念，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理：若直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则． 17. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，如图②，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图②中的点、、、在同一平面上）．过点作于点，测得，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，先证明，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ， 在中，由勾股定理，得， ． 18. 如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【小问1详解】 解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； 【小问2详解】 解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 19. 在中，，．点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F．连结，若． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 20. 某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，根据，因为，，所以______________，_____________，则可能得到化简．请将横线上缺少的数字写出来； 【学以致用】 （2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式． 【答案】（1），1；（2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，1； （2）， ． 21. 【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为______． 【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理． 【拓展】图①“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【答案】【感知】5； 【探究】图形的总面积可以表示为，， ∴，即． 【拓展】76 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 感知：观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 拓展：根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】解：感知：∵， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴小正方形的面积为． 故答案为：5． 探究：略 拓展：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 22. 如图，在中，，，．点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒（）． （1）求边的长； （2）当线段的长取最小值时，求的值； （3）当将面积分成两部分时，求值； （4）当是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用勾股定理即可求解； （）由垂线段最短和等面积法即可求出线段的最小值； （）分的面积的面积时和的面积的面积时两种情况分析即可； （）分当，当时，当时三种情况分析即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当的面积的面积时， 则有， ∴， 当的面积的面积时， 则有 ∴ 综上所述，当将面积分成两部分时，的值为或； 【小问4详解】 解：如图，当，则； 如图，当时，过点作于点， 同（）理可得，， ∴， 则； 如图，当时，过点作于点， ∴， 由（）得边上的高为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； 综上：当是等腰三角形时，满足条件的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $