专题02 平面向量及其应用（考点串讲）高一数学下学期北师大版

北师大版2019高一数学下学期·期中大串讲 专题02 平面向量及其应用 （13考点&21题型） 北师大版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 平面向量基本概念  考点透视 清单02 平面向量线性运算  考点透视 清单02 平面向量线性运算  考点透视 清单03 平面向量共线定理  考点透视 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示  清单05平面向量数量积   考点透视 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围）  考点透视 清单07 向量的模   清单08 向量的夹角  清单09向量投影   考点透视 清单10解三角形   考点透视 清单11 三角形面积  考点透视 清单12三角形中线   考点透视 清单13 角平分线  题型剖析 【考点题型一】平面向量基本概念 【答案】B 题型剖析 【考点题型二】平面向量线性运算 【答案】D 题型剖析 【考点题型二】平面向量线性运算 【答案】C 题型剖析 【考点题型三】平面向量共线定理 题型剖析 【考点题型三】平面向量共线定理 题型剖析 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示 题型剖析 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示 【答案】C 题型剖析 【考点题型五】平面向量数量积 【答案】A 题型剖析 【考点题型五】平面向量数量积 题型剖析 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围） 【答案】B 题型剖析 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围） 题型剖析 【考点题型七】向量的模 题型剖析 【考点题型七】向量的模 【答案】D 题型剖析 【考点题型八】量的夹角 题型剖析 【考点题型八】量的夹角 【答案】D 题型剖析 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数 题型剖析 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数 【答案】C 题型剖析 【考点题型十】投影向量 【答案】D 题型剖析 【考点题型十一】解三角形 【答案】A 题型剖析 【考点题型十二】判断三角形的形状 【答案】B 题型剖析 【考点题型十二】判断三角形的形状 【答案】D 题型剖析 【考点题型十三】边角互化的应用 题型剖析 【考点题型十四】三角形周长 题型剖析 【考点题型十四】三角形周长 题型剖析 【考点题型十四】三角形周长 题型剖析 【考点题型十四】三角形周长 题型剖析 【考点题型十五】三角形面积 题型剖析 【考点题型十五】三角形面积 题型剖析 【考点题型十五】三角形面积 题型剖析 【考点题型十五】三角形面积 题型剖析 【考点题型十六】正余弦定理的应用 题型剖析 【考点题型十六】正余弦定理的应用 易错易混 【考点题型十六】正余弦定理的应用 【考点题型十七】三角形中线 题型剖析 【考点题型十八】角平分线 题型剖析 题型剖析 【考点题型十九】三角形边长（最值范围）问题 题型剖析 【考点题型十九】三角形边长（最值范围）问题 题型剖析 【考点题型十九】三角形边长（最值范围）问题 题型剖析 【考点题型十九】三角形边长（最值范围）问题 题型剖析 【考点题型二十】三角形面积（最值范围）问题 题型剖析 【考点题型二十】三角形面积（最值范围）问题 题型剖析 【考点题型二十】三角形面积（最值范围）问题 题型剖析 【考点题型二十一】新定义题 题型剖析 【考点题型二十一】新定义题 题型剖析 【考点题型二十一】新定义题 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 【答案】ACD 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知非零向量， （1）． （2） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知非零向量，是与的夹角，则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； （3）在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）中线向量化（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）等面积法 核心技巧 （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误； 对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小， 即，不能得出，C错误； 对于D，若，则，D错误， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-1】（23-24高二下·浙江·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，故A、B错误； ，故C错误； 由平行四边形法则可知，故D正确； 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式2-2】.（24-25高三下·广西·开学考试）在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（     ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为点M是边BC的中点，所以 因为点N在AM上，且 ，所以， 所以. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式3-1】.（24-25高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：因为向量与的方向相反， 所以，其中， 所以：， 联立可得：， 解得： 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，又， 所以，所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式4-1】.（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】∵向量，，，∴， ∵，∴，即得，解得， 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5-1】（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得， 设，所以， 当与半圆相切时，取得最大值，此时最大， 过作交于点，连接， 当取得最大值时，且， 因为，正方形边长为4，则，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以， 所以， 则，所以， 得，所以的最大值为. 所以最大值为. 故答案为：24. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】.（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7-1】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知向量，则的最大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且.故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】.（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）设两个单位向量，的夹角为，则（   ） A．1 B．21 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由已知得，，， 所以 . 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，设，则与的夹角为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由单位向量的夹角为，得， ， ， ， 因此，而，则， 所以与的夹角为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-2】（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知， ∴． ∵与的夹角为锐角，∴， 解得或． 当时，与方向相同，其夹角为，不符合题意， 故实数的取值范围是． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】.（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为向量与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10-1】（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11-1】（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，所以. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12-1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设， 因为， 所以， 因此 从而， 即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】.（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/0.125 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，由正弦定理可得， 又因为，可得， 可设，则， 所以. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-1】（2025·山西·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)求证：； (2)若. （i）求； （ii）若，且的面积为，求的周长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以原式左边右边，得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）（i）由（1）可得. 又由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（2025·山西·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)求证：； (2)若. （i）求； （ii）若，且的面积为，求的周长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （ii）由题知，由，得. 又由余弦定理，可得， 即，所以. 所以，故的周长为16. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设函数． (1)当时，求函数的最小值并求出对应的； (2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为 ， 因为，所以， 由的图象与性质知，当，即时，函数取到最小值为， 即当时，函数的最小值为，此时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设函数． (1)当时，求函数的最小值并求出对应的； (2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，由（1）得到， ， 即，又在中，则， 所以，即， 又，由余弦定理，得到， 又由基本不等式知，，当且仅当取等号， 所以，则， 又因为，所以， 所以周长的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-1】（2024·湖北荆州·模拟预测）已知. (1)求的单调区间和值域； (2)在中，的对边分别为，，求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） ， 令，得， 又，所以的增区间为及，减区间为， 因为，所以，， 故的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-1】（2024·湖北荆州·模拟预测）已知. (1)求的单调区间和值域； (2)在中，的对边分别为，，求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）， 或，又，所以或， 结合得，由， 所以，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式15-1】.（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以， 整理得，则， 由余弦定理得. 又，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式15-1】.（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由的面积为，得， 即，解得， 由余弦定理得， 因为，，所以， 即，而，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16-1】（24-25高一下·福建福州·阶段练习）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设，分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，在，两点用测角仪测得的仰角分别是和，测角仪器的高度是，，由此可计算出建筑物的高度.若，，则此建筑物的高度是 （答案用，表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】首先：. 在中，. 在中，. 又，所以. 所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16-2】（24-25高一下·河南·阶段练习）某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． (1)求该人工圆形湖泊的直径； (2)若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 即， 故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R， 故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）易得， 因为A，B，C，D四点共圆，所以， 设，，由余弦定理可得， 所以， 当且仅当时取等号， 故四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17-1】（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，证明：； (2)若，是的中线，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由正弦定理得，即，即， 由余弦定理知和， 得，即， 即，因为，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，，所以， 故，当且仅当，即时等号成立， 故； 由是的中线，得， 即得 ， 即得，故的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例`18】（24-25高三上·重庆·期中）在中，角的对边分别为．已知，； (1)求角的值； (2)的角平分线交于点，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知， 由余弦定理得， 则可得， 由，可得，所以， 因为，即， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19-1】（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），， 两边同时乘以得，， 由正弦定理得，； 在中，，， ，， 又，，， 或， 若，且，则，，不合题意，舍去. . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19-1】（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由(1)可知，又，， ，， 又由已知可得，，， ， ， ，， ，， 的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19-2】（23-24高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为， 所以， 即，由正弦定理得， 显然，，所以，所以， 因为，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19-2】（23-24高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为外接圆的半径为，所以，所以，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即，即． 令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减， 在上单调递增，且，，， 所以，即， 所以，即的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求A； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设的外接圆半径为，所以所以， 由正弦定理得， 故 又即， ，当且仅当时取等号， 故面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式20-1】.（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且． (1)求的取值范围； (2)若，求面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，由正弦定理可得： ，则， 所以或，即或， 所以， 因为为锐角三角形，可得，即， 解得：，所以，，， 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式20-1】.（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且． (1)求的取值范围； (2)若，求面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）在中，由正弦定理可得 ，又， ， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为， 当时，，         当时，， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 又，在上单调递增， 当时，的面积最小，最小值为. 综上所述，三角形面积的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21-1】（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. (1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）对于①，设， 则可得，所以，线性无关；                           对于②设， 则可得，所以，， 可取不全为零，故，线线性相关； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设， 则， 因为向量，，线性无关， 所以，，， 解得， 所以向量，，线性无关； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）①， 如果某个，，2，……，m， 则， 因为任意个都线性无关， 所以，，……，，，……，都等于0， 所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②因为，所以，，……，全不为零， 所以由， 可得， 代入，可得， 所以， 所以，……，， 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（23-24高一下·吉林·期中）已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】向量，，且与的夹角为钝角， 所以，且与不共线； 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）在△中，角所对的边分别为且． (1)求△的外接圆半径； (2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以， 由， 可得：，即， 又，所以， 所以，， 所以， 所以△的外接圆半径为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）在△中，角所对的边分别为且． (1)求△的外接圆半径； (2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，， 由正弦定理有， 所以 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（多选）（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题知，设， 则 ， 因为， 所以，则，且，A正确，B不正确； ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当且仅当时，等号成立，C正确； 又 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二上·湖南·期中）在中，内角所对的边分别为. (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，点在内，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 化简得， 则，而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二上·湖南·期中）在中，内角所对的边分别为. (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，点在内，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，在中，，由，得， 由，得，则， ，于是， 在中，，由，得， 在中，设，则， 由正弦定理，得，即， 整理得，即，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知向量，函数. (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， 令，得， 的单调递增区间为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知向量，函数. (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由正弦边角关系， 即， 所以， 即， 可得，由可得， 由知． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，，． 由正弦定理知，， 可得，， 故周长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由是锐角三角形知，，，即，． 又，故，， ， 故，， 所以， 故周长的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·北京延庆·期中）设的内角对应的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），由正弦定理 得， 在中，， ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·北京延庆·期中）设的内角对应的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）若选①，则 由余弦定理，得， 解得 . 若选条件②：由可得，解得，此时三角形不唯一， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·北京延庆·期中）设的内角对应的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若选③，， 故, 由正弦定理可得： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$