第二章 平面向量及其应用 单元测试02-2024-2025学年高一下学期数学北师大版必修第二册

北师大版（必修第二册） 第二章 平面向量及其应用 单元测试02 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为 N，则两个力的合力的大小为（    ） A．5 N B． N C． N D． N 3．已知向量，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 5．若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（    ）． A．2 B．1 C． D． 6．梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．设是平面直角坐标系中相异的四点，若，，且，则称调和分割，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（    ） A．C可能是线段的中点 B．D可能是线段的中点 C．C、D可能同时在线段上 D．C、D不可能同时在线段的延长线上 8．已知外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边，，的距离分别为，，.若，则（    ） A． B．1 C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．给出下列命题，其中不正确的是（    ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．若 (为实数)．则必为零 D．已知为实数，若，则与共线 10． 已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的重心，cos A＝，AO＝2，则（ ） A．＝＋ B．·≤3 C．△ABC的面积的最大值为3 D．a的最小值为2 11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（    ） A．为的外心 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则 ． 13．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论： ①越大越费力，越小越省力； ②的范围为； ③当时，； ④当时，. 其中正确结论的序号是 . 14．如图，在矩形中，，，，分别是和的中点，若是矩形内一点（含边界），满足，且，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在中，为重心，点分别是,,的中点，化简下列各式： (1); (2); (3). 16．如图，已知向量 (1)求作 (2)设，为单位向量，求的最大值． 17．已知与同向，，． （1）求的坐标； （2）若，求及的值． 18．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图)，若P在上，且＝λ＋μ. （1）求λ＋μ的最大值. （2）△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC，||＝1，P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋μ(λ≥0，μ≥0且λ＋2μ＝2)，求在上的投影向量的长度的取值范围. 19．如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）．    （1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB； （2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由． 1．A 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可. 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形. 故选：A 2．D 【知识点】力的合成 【分析】根据合力与分力的关系，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为一物体受到相互垂直的两个力的作用， 所以有， 所以两个力的合力的大小为： ， 故选：D 3．A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】首先求出的坐标，根据模的坐标公式，即可得解. 【详解】因为， 所以，所以， 故选：A. 4．B 【知识点】数量积的运算律、用向量证明线段垂直 【分析】根据向量数量积的分配率结合可得，即AG⊥CB，结合G为△ABC重心可得△ABC为等腰三角形，再根据几何关系即可求△ABC外接圆半径． 【详解】延长AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD为△ABC中线． ， 即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且， 则△ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA=OC， ∵∠OAC=，∴△OAC是等边三角形，∴OA=OC=AC=AB=1，即△ABC外接圆半径为1． 故选：B． 5．C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得，再由不等式求最值即可. 【详解】设，， 因为，所以，， 所以点G是的重心， 设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图， 又． 因为B、H、D三点共线，所以， 所以，当且仅当，即，时取等号，即的最小值是. 故选：C． 6．B 【知识点】向量坐标的线性运算解决几何问题 【分析】利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质可得结果. 【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系 设， 由， 所以 则 所以 令，则 所以 当时，有 故选：B 【点睛】本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计算，属难题. 7．D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、线段的定比分点 【分析】由题意设，，，，结合已知条件得，根据选项考查的解，一一分析即可. 【详解】由已知不妨设，，，， 由C，D调和分割A，B 可知，，， 代入得(∗) 对于AB，若C是线段AB的中点，则，代入(∗)得，d不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理D不可能是线段的中点，故AB错误； 对于C， 若C，D同时在线段AB上，则，代入(∗)得，， 此时C和D点重合，与已知矛盾，故C错误； 对于D，若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，，则，这与矛盾，所以C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是将问题坐标化，从而简化运算，抓住的条件一一分析即可. 8．B 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律、用向量证明线段垂直 【分析】根据题意：，则有，进而移项进行两两组合， ，进一步可以化简为：，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案. 【详解】∵外接圆半径为1，∴，∴， ∴， ∴，设边，，的中点分别为M,N,P， ∴,同理：，如图1： 若点O不与M,N,P任何一点重合，则，同时成立，显然不合题意； 如图2： 不妨设点O与点M重合，由，根据中位线定理有由AB⊥AC，则， ∴. 故选：B. 【点睛】类似这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍. 9．ACD 【知识点】平面向量的概念与表示、平行向量（共线向量） 【分析】由共线向量以及向量的概念即可判断正误. 【详解】对于A，两个具有公共终点的向量一定是共线向量，方向不确定，故错误； 对于B，两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，故正确； 对于C，若 (为实数)．则必为零.可能不为零，若向量，；故错误 对于D，已知为实数，若，则与共线，当其中一个为零向量时不成立，故错误； 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了共线向量以及向量的概念的运用，属于基础题. 10．解析：如图，延长AO交BC于点D.因为O是△ABC的重心，所以点D是BC中点，＝，则＝(＋).因为＝＝×(＋)＝＋，故A正确．由＝＋，得＋＝3，所以92＝(＋)2＝2＋2＋2·≥2||·||＋2·，当且仅当||＝||时等号成立．又因为·＝||||cos A＝||||，即||·||＝5·，AO＝2，所以2×5·＋2·≤9×22，即·≤3，当且仅当||＝||时等号成立，故B正确．因为||·||＝＝5·≤15，当且仅当||＝||时等号成立， sin A＝＝，所以S△ABC＝||·||sinA≤×15×＝3，故C正确．由92＝(＋)2＝2＋2＋2·，AO＝2，得||2＋||2＝92－2·＝36－2·＝36－||·||，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A可得a2＝||2＋||2－2||·||cos A＝36－||||≥36－×15＝24，即a≥2，当且仅当||＝||时等号成立，所以a的最小值是2，故D错误．故选ABC. 11．BCD 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、向量在几何中的其他应用、根据向量关系判断三角形的心 【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项． 【详解】解：因为， 同理，，故为的垂心，故A错误； ，所以， 又，所以， 又，所以，故B正确； 故，同理， 延长交与点，则 ， 同理可得，所以，故C正确； ， 同理可得，所以， 又，所以，故D正确． 故选：BCD． 12．/0.25 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义结合条件即得. 【详解】因为为在方向上的投影向量，， 所以，又，且， 所以. 故答案为；. 13．①④. 【知识点】比较余弦值的大小、力的合成 【解析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，所以单调递增， 即越大越费力，越小越省力；①正确. 对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误. 对于③，当时，，所以，③错误. 对于④，当时，，所以，④正确. 综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题 14． 【知识点】平面向量的混合运算、向量与几何最值、平面向量共线定理的推论 【分析】，设，，则，，三点共线，即点在直线上，且位于矩形内部（含端点），设的中点为，则，只需求的最小值即可. 【详解】由，得， 所以. 取，，则，，三点共线， 即点在直线上，且位于矩形内部（含端点），如图. 设的中点为，则. 因为，，，分别是和的中点， 所以，当时，最小，且最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的最小值问题，涉及到向量共线定理的结论，考查学生的等价转化与数形结合的思想，是一道较难的题. 15．(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的法则 【分析】（1）根据向量加法的三角形法则即可求解. （2）由三角形的运算法则即可求解. （3）由为重心且点分别是,,的中点可得，再由向量的加法运算法则即可求解. 【详解】解:（1） （2） （3）易知为三角形的一条中位线， 又∵点D是BC的中点， . 【点睛】本题主要考查向量加法的运算法则，需掌握向量加法的运算律，属于基础题. 16．(1)作图见解析 (2)3 【知识点】向量加法的法则 【分析】（1）由平面向量的加法运算作图 （2）由向量三角不等式求解 【详解】（1）（1）在平面内任取一点O，作，，，，则 （2）由向量三角不等式知，当且仅当同向时等号成立 故的最大值为3 17．（1） ；（2） ，，． 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】（1）设，运用数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，列出方程，解得即可得到； （2）运用向量的数量积的坐标表示和数乘运算，即可得到． 【详解】解：（1）设， ， 由于，则， 解得，，， 符合同向， 则； （2）， 即有；，，． 18.（1）解析：如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P(cos θ，sin θ)，θ∈[π，2π]，又A(－1，2)，B(－1，0)，C(1，0)，D(1，2)，则＝(cos θ＋1，sin θ－2)，＝(2，0)，＝(0，－2).因为＝λ＋μ，即(cos θ＋1，sin θ－2)＝λ(0，－2)＋μ(2，0)，所以解得λ＋μ＝＋＝(cos θ－sin θ＋3)＝，因为θ∈[π，2π]，则θ＋∈，所以当θ＋＝2π时，cos 取得最大值1，则λ＋μ的最大值为. （2）解析：设＝2，＝λ＋μ(λ≥0，μ≥0且λ＋2μ＝2)，则＝＋μλ≥0，μ≥0且＋μ＝1， 则P在线段QB上，如图所示， 当P与Q重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为||＝1；当P与B重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为||＝.故在上的投影向量的长度的取值范围是. 19．(1) AB为3米 OB为2米 (2) 当视角∠MSN取最大值时,cosθ=. 【知识点】用向量解决夹角问题 【详解】(1)如图,作SC⊥OB于C,    依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°. 又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB==3, 即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米. 在Rt△SCO中,SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan 30°=, 又BC=SA=,故OB=2,即立柱的高度OB为2米. (2)方法一:如图,以O为原点,以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系,连接SM,SN,    设M(cosα,sinα),α∈[0,2π), 则N(-cosα,-sinα),由(1)知S(3,-). 故=(cosα-3,sinα+), =(-cosα-3,-sinα+), ∵·=(cosα-3)·(-cosα-3)+(sinα+)·(-sinα+)=11. ||·||=· =· = =. 由α∈[0,2π)知||·||∈[11,13]. 所以cos∠MSN=∈[,1],易知∠MSN为锐角, 故当视角∠MSN取最大值时,cosθ=. 方法二:∵cos∠MOS=-cos∠NOS, ∴=- 于是得SM2+SN2=26从而 cosθ=≥=. 又∠MSN为锐角, 故当视角∠MSN取最大值时,cosθ=. 学科网（北京）股份有限公司 $