专题01 三角函数（考点串讲）高一数学下学期北师大版

北师大版2019·数学高一下期中考点大串讲 串讲01 三角函数 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 【清单01】终边相同的角的集合 【清单02】角度与弧度的换算 【清单03】扇形中的弧长公式和面积公式 【清单04】任意角的三角函数定义 【清单04】任意角的三角函数定义 【清单05】同角三角函数的基本关系 【清单06】正弦函数、余弦函数的图象和性质 【清单06】正弦函数、余弦函数的图象和性质 【清单07】正切（型）函数的性质 【清单08】两角和与差的余弦公式 【清单09】两角和与差的正弦公式 【清单10】两角和与差的正切公式 【清单11】二倍角的正弦、余弦正切公式 【清单12】半角公式 【清单13】辅助角公式： 【清单14】五点法作图 【清单15】根据图象求解析式 考点一：终边相同的角 考点二：终边在某条直线上的角的集合 【答案】ABC 考点三：区域角的表示 考点三：区域角的表示 考点四： 【答案】D 考点五：扇形弧长与面积（含最值）的计算 考点六：利用定义求三角函数值 【答案】B 考点七：根据三角函数值求参数 【答案】B 考点八： 考点九： 【答案】BD 考点十：五点法作图 考点十一：求方程的解或函数零点的个数问题 考点十一：求方程的解或函数零点的个数问题 考点十二：正（余）弦函数的周期性 【答案】ACD 考点十三：正（余）弦函数的单调性 考点十三：正（余）弦函数的单调性 【答案】A 考点十四：正余弦函数对称性 【答案】C 考点十五：正余弦函数的值域或最值 【答案】B 考点十五：正余弦函数的值域或最值 考点十六：正切函数的定义域 【答案】B 考点十七：正切函数的单调性，奇偶性，对称性 【答案】ACD 考点十八：正切函数的值域或最值 考点十九：给定角或者三角函数值，求三角函数值 【答案】C 考点十九：给定角或者三角函数值，求三角函数值 【答案】C 考点二十：给定三角函数值，求角 【答案】C 考点二十：给定三角函数值，求角 考点二十一：逆用两角和差公式 考点二十二：三角函数图象平移，伸缩变换 【答案】AC 考点二十二：三角函数图象平移，伸缩变换 考点二十二：三角函数图象平移，伸缩变换 【答案】A 考点二十三：看图求解析式 考点二十三：看图求解析式 考点二十三：看图求解析式 考点二十三：看图求解析式 考点二十四：三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点） 考点二十四：三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点） 考点二十四：三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点） 考点二十四：三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点） 考点二十四：三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点） 考点二十五：三角函数中的零点个数问题（核心考点） 考点二十五：三角函数中的零点个数问题（核心考点） 考点二十五：三角函数中的零点个数问题（核心考点） 考点二十五：三角函数中的零点个数问题（核心考点） 考点二十六：三角函数中的零点代数和问题（核心考点） 考点二十六：三角函数中的零点代数和问题（核心考点） 考点二十六：三角函数中的零点代数和问题（核心考点） 考点二十六：三角函数中的零点代数和问题（核心考点） 考点二十七：三角函数中新定义题 考点二十七：三角函数中新定义题 考点二十七：三角函数中新定义题 【答案】AC 【答案】ABD 所有与角终边相同的角为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 弧度与角度互换公式： ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ① ②； ； ③ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ① ② ③ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (其中) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（23-24高一下·上海·期中）在内与终边重合的角为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 所以在内与终边重合的角为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（多选）（24-25高一上·山东济南·阶段练习）下列表示中正确的是（    ） A．终边在x轴上的角的集合是{|=k，k∈Z} B．终边在y轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线y=x上的角的集合是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】A. 终边在x轴上的角的集合是{|=k，k∈Z}，A正确； B. 结合终边在轴上角，则终边在y轴上的角的集合是，B正确； C. 结合AB，终边在坐标轴上的角的集合是，C正确； D. 结合A，终边在直线y=x上的角的集合是，D错误． 故选：ABC． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（23-24高一下·北京）设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：因为是第二象限角， 所以 ， ， 当 时， ，在第一象限； 当 时， ，在第二象限； 当 时， ，在第四象限； 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，， 所以扇形的弧长； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由扇形面积，得， 则扇形周长为， 当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（23-24高一下·北京丰台）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点， 故， 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（23-24高一上·吉林延边）已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（    ） A． B． C．或 D．1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题设，且，即， ∴，则，解得或， 综上，. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求值. （2）已知，计算的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由角的终边经过点，可知， 则可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由，化简得， 因此. 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 即，即， 所以，故A错误； 又，，所以，则，则 ， 所以，故B正确、C错误； ，故D正确； 故选：BD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题10】（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，得： 0 x 0 1 0 0 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 画出函数在一个周期的图象，如图， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为， (1)设，求函数，的单调增区间； (2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），，，则， 时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 因此增区间是，减区间是； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）的最小正周期为，则，即， ，则， 由题意，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由于在和上递增，在上递减， 且，，，. 故方程在上有两个解等价于或，解得或. 所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式11-1】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)若函数在上有2个零点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）依题意，函数的最小正周期； 由，得， 所以函数对称轴方程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）， 故条件等价于方程在上有个解. 由，得，且和一一对应，所以条件等价于方程在上有两个解. 作出在上的图象如下： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D，最小正周期，当时，， 由复合函数单调性判断方法可知，此时单调递减，故D正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（多选）（24-25高三上·重庆·阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在为减函数的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于A，的最小正周期为，当时，，， 根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故A正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于B，的最小正周期，故B不正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于C，，所以最小正周期， 当时，，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故C正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求的单调递增区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令， 则， 所以的单调递增区间为. 又因为，分别取和，得到， 所以的单调递增区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式13-1】（2024高二上·北京）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14-1】（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得，， 所以， 由三角函数的诱导公式可得，， 所以， 故当时，的最小值为 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-1】（23-24高一上·广东汕头·期末）函数 的最小值是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 所以当时，， 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，， 所以当时，，故函数的最小值为． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（2024高一上·全国·专题练习）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得， 即， 所以，， 所以，，故B项正确. 故选:B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17-1】（多选）（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．的图象在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．在区间上有两个零点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，当时，，而当，即时， 无意义，因此函数的图象在上不单调，B错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于C，由，得， 因此的图象关于点对称，C正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D，由，得， 当或，即或时，， 所以在区间上有两个零点，D正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求函数的最大值和最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，因为，所以， 则，因为对称轴为，所以在上单调递减， 所以当时，； 当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（广西“贵百河——武鸣高中”2025届高三上学期11月摸底考试数学试题）已知，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 则，所以， 所以. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式19-1】（24-25高三上·辽宁·期中）已知，则（   ） A． B． C．或 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，可得，所以， 所以，即， 所以或. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20-1】（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因，所以.又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，，，所以. . 将转化为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20-2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知、为锐角，，． (1)求的值； (2)求的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，所以， 所以， 因为，且， 所以； 因为，且， 所以， 所以， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（23-24高一下·广东佛山·期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】（多选）（24-25高三上·陕西咸阳·期中）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变 B．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变 C．横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位 D．横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点 向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变， 或横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位， 故选：AC. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式22-1】（2024高二下·河北）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意，得. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析，并求出在上的值域； (2)若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由，得， 又点及附近点从左到右是上升的，则， 由，点及附近点从左到右是下降的， 且上升、下降的两段图象相邻，得， 联立解得，， 而，于是，， 当时，，所以， 即在上的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析，并求出在上的值域； (2)若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令将函数的图象向右平移个单位后得到的图象 所以， 由题意的图象曲线关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式23-1】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由图可知，，，所以，. 将点代入得，. 又，所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）（i）将的图象向左平移个单位长度， 得， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 所以， 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （ii）因为，所以，， 所以， 所以， 所以， 故在上的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知函数. (1)求的单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）. 由，解得， 所以函数的单调递减区间为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数 ， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，则，则， 对任意的、，， 则，故实数的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24-2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的值及函数的对称中心； (2)设，若对任意的都有，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） ， 因为的最小正周期为，所以，故. 所以， 令，解得. 所以的对称中心为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)设，若对任意的都有，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为对任意的都有， 所以. 因为， 令，当时，， 得函数. 则； 当时，，则， 所以，即 即解得， 故实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式24-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） ，                         则的最小正周期为：，                                         ，， 所以的对称中心的坐标为：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到，                            再向下平移1个单位得到，                                   再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到                                    即， ， ，             试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 可得 ，                                  令， 在上单调递减， 所以，                                         在上有解，需， ， 的取值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25】（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为；  试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得，解得. 所以，的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式25-1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称， （ⅰ）求φ的最小值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：因为 ， 所以；由，解得， 所以函数的单调递增区间为：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称， （ⅰ）求φ的最小值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：（ⅰ）由题意可得， 又因为的图象关于对称， 所以， 解得， 又因为， 所以当时，； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （ⅱ）令，则， 即的图象与直线在上有交点. 又因为， 所以， 因为，所以， 所以，， 即，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例26】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， ， 所以，即的最小正周期为. 由，，解得，， 所以的单调递增区间为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由. 根据，的图象： 由图可知，当时，方程有两个不同的实根. 所以实数的取值范围是：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式26-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）依题意，函数， 由函数为奇函数，得，又，则， 由函数图象的相邻两对称轴间的距离为，得的周期，解得， 所以函数的解析式是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数， 由方程，，解得， 即，当时，，则或或或， 即原方程有四个实数根，不妨设为， 因此， 解得，所以原方程所有根之和为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例27】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. (1)当时， 函数和是否具有性质? (2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式 的解集. (3)已知函数具有性质，， 且的图象是轴对称图形. 若在上有最大值，且存在，使得，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），具有性质.因为 ，所以； 不具有性质. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式 的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）若，函数具有性质，则存在常数，对任意，使得， 又当时， 故当时，有，即，所以， 所以当时，，， 即时， 故当时，不等式为，无解， 当时，不等式为， 又，故不等式解为，即解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (3)已知函数具有性质，， 且的图象是轴对称图形. 若在上有最大值，且存在，使得，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）已知函数具有性质，则存在常数，使得，都有， 所以， 所以函数的图像端点为和， 由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①若，因为时，， 所以对任意，有， 由基本不等式得，有， 所以对任意，有， 根据图像的对称性，得对任意，有， 这样与存在矛盾. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ②若，由，得， 又，由图像的对称性知，， 且，所以， 这与在上有最大值矛盾. 综上：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（多选）（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将向左平移个单位长度，得到函数 D．若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对A：由图可知，，故，，， 又，故当且仅当时，满足题意，故A正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对B：由A可知，，令，解得， 令，解得，故B错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对C：将向左平移个单位长度，得到， 又，故C正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对D：，即，令， 故只需在上有个不相等的实数根，又在单调递增，在单调递减， 又，故只需，即，故D错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（多选）（24-25高三上·山东济南·期中）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．的表达式可以写成 B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C．的对称中心 D．若方程在上有且只有6个根，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对A，由图分析可知：得； 由，得，即， 又，所以，又， 所以，即得，，又，所以， 所以，故A正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对B，向右平移个单位后得 ，为奇函数，故B正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于C，， 令（）得（）， 所以对称中心，，故C不正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D，由，得， 因为，所以， 令，，，，，，解得，，，，，． 又在（0，m）上有6个根，则根从小到大为，，，，，． 再令，解得，则第7个根为，，故D正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，方程(※)无解，故只有时方程(※)有四个不同的解，且， 由余弦函数的性质知关于直线对称，故①， ② 为方程，即0的两个实根，③， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，或，由可得. 把①②③代可得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 即故对任意恒成立， ，当且仅当时等号成立， ，即， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数，关于的方程在上有四个不同的解，，，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】(※)， ，即或， 作出的图象如图所示， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若关于的方程在区间上恰有两个不等实根，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数 ， 函数的最小正周期. 由，，得， 所以函数的单调递增区间为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）得，由， 得，由，得， 由，得，函数在上单调递增，函数值从增大到2， 由，得，在上单调递减，函数值从2减小到1， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 依题意，在上恰有两个不等实根， 则直线与在上的图象有两个交点，则， 所以实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在区间上，若函数满足:对给定的非零实数，存在，使成立，则称函数在区间上有“性质”. (1)若区间为，给定，判断函数是否在区间上具有“性质”，并说明理由； (2)若函数在区间上具有“性质”，求的取值范围； (3)给定，若函数在区间（其中）上具有“性质”，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）假设函数在区间上具有“性质”，则， 而， 故函数在区间上不具有“性质”. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意得， 令函数，则是函数在上的零点， 且函数在上单调递增， 所以函数在单调递增， ，即，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在区间上，若函数满足:对给定的非零实数，存在，使成立，则称函数在区间上有“性质”. (1)若区间为，给定，判断函数是否在区间上具有“性质”，并说明理由； (2)若函数在区间上具有“性质”，求的取值范围； (3)给定，若函数在区间（其中）上具有“性质”，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）， 化简得，得， 解得，只需， 解得， 即的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$