专题01 三角函数全章节20个题型（期中复习讲义）高一数学下学期北师大版

专题01 三角函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 任意角的概念 题型02 象限角及其表示 题型03 扇形的弧长与面积计算 题型04 扇形的弧长与面积的最值 题型05 终边上三角函数的定义求值 题型06 单位圆与周期性 题型07 各象限内三角函数的符号 题型08 同角关系求值 题型09 与正余弦和差积有关的求值 题型10 同角公式中弦化切求值 题型11 诱导公式的化简求值 题型12 诱导公式中角的拼凑及综合同角公式的求值 题型13 三角函数的值域与最值 题型14 三角函数的二次型最值 题型15 三角函数的单调性及求参数 题型16 三角函数的奇偶性及求参数 题型17 三角函数的对称性及求参数 题型18 三角函数的图像与变换 题型19 三角函数由图像求解析式 题型20 三角函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与弧度制 能准确辨析正角、负角、零角，清晰判断任意角所在的象限或轴线 能熟练写出与已知角终边相同的角的集合，不遗漏的条件 能快速、准确完成角度与弧度的互化，不混淆单位 能正确套用扇形弧长、面积公式，明确公式中必须为弧度制 命题趋势 期中必考基础题，多以选择题、填空题形式出现，侧重基础计算，难度偏低，重点考查弧度与角度互化、终边相同角的集合、扇形面积/弧长计算. 高频易错点 角度与弧度混用（如用角度代入扇形公式计算） 写终边相同角的集合时，遗漏，或角度与弧度不统一 计算扇形面积时，忘记公式中为弧度制，直接代入角度值 三角函数的定义与符号判断 能根据角终边上任意一点的坐标，准确求出该角的三个三角函数值 能识别单位圆中的三角函数线，并用其简单判断三角函数值的大小 能快速判断任意象限角的、、的正负，不混淆象限规律 能解决“已知三角函数符号，判断角所在象限”的基础题 命题趋势 期中基础必考题，选择题、填空题为主，偶尔结合终边相同角考查，侧重定义的直接应用和符号判断，难度偏低，注重基础落实 高频易错点 计算三角函数值时，混淆、的对应关系，或忘记计算 判断三角函数符号时，记错各象限正负规律（如误以为第三象限为正） 忽略正切函数的定义域（，即角终边不在轴上） 同角三角函数基本关系 能熟练记忆并灵活运用同角三角函数的平方关系和商数关系 能根据已知的一个三角函数值，结合角的象限，求出另外两个三角函数值（不遗漏符号） 能运用同角关系化简简单的三角式，做到步骤规范、结果简洁 能解决“已知，求、相关代数式的值”的基础题 命题趋势 期中高频基础题，选择题、填空题、解答题（第一问）均可能出现，侧重公式的灵活运用，常结合诱导公式、二倍角公式考查，难度中等偏下 高频易错点 平方关系开方时，不结合角的象限判断符号，直接写正负，导致多解或漏解 忽略商数关系的定义域，在时仍使用 化简三角式时，过度变形，导致符号错误或结果不简洁 诱导公式 能准确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，熟练记忆常用诱导公式 能运用诱导公式，将任意角（负角、大角）的三角函数化简为锐角三角函数 能结合同角关系，利用诱导公式完成简单的三角函数求值、化简 化简、求值时，做到符号判断准确、函数名变换正确 命题趋势 期中高频考点，贯穿选择、填空、解答题，是三角化简、求值的基础工具，常与同角关系、二倍角公式结合考查，难度中等 高频易错点 对“奇变偶不变”理解不清，为奇数时忘记变换函数名（如误写为） 符号判断错误：把看作锐角时，判断所在象限失误，导致符号写错 化简时，遗漏诱导公式的应用，导致计算复杂或出错 正弦、余弦、正切的图像与基本性质 能准确画出三个基本三角函数的图像，识别图像的关键特征（顶点、零点、渐近线） 能熟练写出三个函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性 能准确写出三个函数的单调区间、对称轴、对称中心，不遗漏 能判断给定区间内三角函数的单调性，或比较两个三角函数值的大小 命题趋势 期中核心考点，选择题、填空题、解答题均会考查，侧重图像识别、性质应用，常结合图像变换、参数求解题考查，难度中等 高频易错点 记错正切函数的定义域和周期（误记为） 写单调区间时，遗漏，或区间端点写错 混淆与的对称轴、对称中心（如的对称轴误记为） 判断单调性时，忽略的取值范围，直接套用基本单调区间 函数的图像与参数意义 能准确说出、、的几何意义，熟练计算函数的周期 能规范完成到的图像变换，明确两种变换顺序的区别 能根据函数图像的最值、周期、特殊点，准确求出、、的值，写出解析式 能结合图像，分析的定义域、值域、周期性、单调性 命题趋势 期中高频中档题，选择题、填空题、解答题均可能出现，侧重图像变换和由图像求解析式，是三角函数图像与性质的核心考查题型，难度中等 高频易错点 图像变换时，先伸缩后平移，平移量误算为，未除以 求时，代入特殊点不当，或未结合图像的单调性判断的取值（导致多解） 忽略的正负对图像变换和单调区间的影响 混淆、、的意义，如误将当作周期 知识点01 任意角与终边相同角 定义：射线绕端点旋转形成的图形，逆时针为正角，顺时针为负角，不旋转为零角 分类： 象限角：终边在第几象限即为第几象限角，终边在坐标轴上为轴线角（不属于任何象限） 终边相同角：，核心是相差的整数倍 易错点：忽略角的正负；遗漏；混淆“终边相同”与“角度相等” 知识点02 弧度制与扇形相关公式 弧度制定义：单位圆中，弧长等于半径的弧所对的圆心角为 互化公式：，， 扇形公式（弧度制下）： 弧长：（为圆心角弧度数，为半径） 面积： 易错点：弧度与角度混用；互化计算失误；用角度代入扇形公式；忽略 知识点03 三角函数的定义与三角函数线 定义：角终边任一点，（），则，，（） 单位圆定义：时，，，（） 三角函数线（单位圆内）： 正弦线（对应），余弦线（对应），正切线（对应） 作用：判断三角函数正负、比较大小 易错点：混淆、对应关系；忘记计算；忽略定义域；混淆三角函数线对应关系 知识点04 同角三角函数基本关系与诱导公式 同角关系： 平方关系：（变形：，） 商数关系：（） 诱导公式（基础常用）： 核心口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 常用公式：，，，，， 易错点：平方关系开方不判断符号；忽略商数关系、诱导公式定义域；混淆诱导公式符号与函数名变换 知识点05 三角函数的图像与性质 基本三角函数（、、）： 定义域、值域：、定义域，值域；定义域，值域 周期性：、最小正周期；最小正周期 奇偶性：、奇函数；偶函数 单调性与对称性：按对应区间记忆，注意标注 函数（，）： 参数意义：（振幅，值域），（周期），（相位） 图像变换：先平移后伸缩（平移量）或先伸缩后平移（平移量） 解析式求解：由图像最值求，周期求，特殊点求 题型一 任意角的概念 解｜题｜技｜巧 明确任意角定义（射线绕端点旋转形成，分正角、负角、零角），解题核心是区分旋转方向（逆时针为正、顺时针为负）；涉及角的表示时，需化为最简形式（结合，），明确取值范围，避免混淆正、负角 【典例1】（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·云南临沧·期末）下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项；利用象限角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，小于，但不是锐角，A错； 对于B选项，是第二象限的角，是第一象限角，但，B错； 对于C选项，，但和的终边不相同，C错； 对于D选项，钝角一定是第二象限的角，D对. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·宁夏固原·期末）下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定是锐角 C．是第三象限角 D．角度制与弧度制不能互相转换 【答案】C 【分析】根据象限角的定义及终边相同的角，弧度制的概念判断可得. 【详解】对A：如与终边相同，但角不相等，故A错误； 对B：如，所以是第一象限角但不是锐角，故B错误； 对C：因为，所以是第三象限角，故C正确； 对D：角度制与弧度制能互相转换，故D错误. 故选：C. 【变式3】（25-26高一上·天津·期末）已知集合第一象限角锐角 小于90°的角，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三个集合的范围，进而结合特殊角度判断ABC，根据判断D. 【详解】由题知第一象限角 ， 锐角 ， 小于90°的角 对于A，三个集合的范围完全不同，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，，但，故错误； 对于D，，故正确. 故选：D 题型二 象限角及其表示 解｜题｜技｜巧 第一步将角化为（，），根据终边位置判断象限；表示象限角时，按象限规范书写集合（如第一象限：），注意轴线角不属于任何象限，需单独标注 【典例1】【多选题】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BCD 【分析】根据角的终边在第四象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断. 【详解】由为第四象限角，得， 得， 令，时，，，得的终边在第四象限； 令，时，，，得的终边在第二象限， 令，时，，，得的终边在第三象限， 故选：BCD. 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）的角是第______象限. 【答案】三 【分析】根据终边相同的角即可求解. 【详解】由于，为第三象限角， 故是第三象限角. 故答案为：三. 【变式2】（24-25高一上·天津津南·期中）如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是 ______________   【答案】 【分析】根据图形分别表示终边为，的角的集合即可得到结果. 【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据角与角的终边相同，，所以与的终边落在同一象限，判断所在象限即可. 【详解】因为，又因为的终边落在第四象限， 所以的终边落在第四象限． 故选：D 题型三 扇形的弧长与面积计算 解｜题｜技｜巧 核心前提是将圆心角化为弧度制（避免角度与弧度混用），牢记公式：弧长、面积（为弧度数，为半径）；解题时先明确已知量，代入对应公式，注意取绝对值，保证弧长、面积为正数 【典例1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为___________.（用弧度制表示） 【答案】 【分析】求出扇形的半径，从而利用扇形面积公式进行求解 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 又扇形弧长，故扇形面积为. 故答案为： 【变式1】（25-26高三上·安徽·期中）已知扇形的面积为，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的弧长、面积、周长公式求解即可. 【详解】记扇形的弧长、半径、圆心角分别为，，，， 则扇形的面积为，解得，则弧长为， 所以扇形的周长为． 故选：D 【变式2】（25-26高三上·陕西商洛·月考）若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式进行求解即可. 【详解】根据扇形面积公式， 因为， 所以，解得， 故选：A. 【变式3】（2025·河南·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（   ）    A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】设，，则圆弧，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设，，则圆弧， 由题意得，解得， 所以. 故选：D 题型四 扇形的弧长与面积的最值 解｜题｜技｜巧 先确定变量（半径或圆心角），结合转化变量，建立单变量函数关系式；根据变量取值范围（、），利用基本不等式或二次函数性质求最值，验证等号成立条件 【典例1】【多选题】（24-25高一下·辽宁大连·期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（   ） A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6 C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为 【答案】ABD 【分析】设出扇形半径，表示弧长及扇形面积，求出最大值的条件，再逐项判断即得. 【详解】对于C，设扇形半径为，则弧长，扇形面积， 当且仅当时取等号，C错误 对于B，扇形的弧长，B正确； 对于A，扇形的圆心角为，A正确； 对于D，扇形圆心角所对弦长为，D正确. 故选：ABD 【变式1】（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·河南安阳·期中）用一根长度为的绳子围成一个扇形，则该扇形面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中，利用扇形的面积公式与基本不等式可求得该扇形面积的最大值. 【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中， 故该扇形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该扇形面积的最大值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答. 【详解】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，， 于是扇形的面积， 即当时，，此时， 所以所求圆心角的弧度为. 故选：B 题型五 终边上三角函数的定义求值 解｜题｜技｜巧 第一步找角终边上任一点，计算（）；第二步代入定义公式：、、（）；第三步结合象限判断函数值正负，确保结果准确 【典例1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义可得，从而计算出答案. 【详解】终边过点，故， 所以. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则_______. 【答案】 【分析】由三角函数的定义列方程，求解即得. 【详解】由已知，， 所以， 所以，且， 解得. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·河南·期中）已知角的终边经过点，且，则______． 【答案】-24 【分析】根据三角函数定义和正切值得到方程，求出答案. 【详解】因为，且角的终边经过点，所以，解得． 故答案为：-24 【变式3】（24-25高三上·海南海口·月考）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 【答案】B 【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数即可. 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得， 故选：B. 题型六 单位圆与周期性 解｜题｜技｜巧 利用单位圆简化求值（时，、）；牢记周期规律：、最小正周期，最小正周期，可通过单位圆直观判断角的周期性重复 【典例1】【多选题】（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆与轴正半轴交于点．已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用弧长公式、三角函数的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，由单位圆的半径为1，，由弧长公式得，A正确； 对于B，点是的一边与单位圆的交点，则是对应的正弦值， 是对应的余弦值，若，则，B错误； 对于C，当时，，即，C错误； 对于D，当，即时，一定成立，D正确． 故选：AD 【变式1】（24-25高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为________；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是________ 【答案】 （或写作） 【分析】由题意解出重合时刻t的值，进而可得P点位置，可求坐标. 【详解】设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为； 设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为， 由起点坐标为，则点P相对于其起点的位移的大小为. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：由点P和Q的位置和旋转方向可知，时P与Q重合，由，由的值，可确定P点位置，求出坐标 【变式2】（23-24高一下·上海·月考）设是正整数，集合，若集合A有100个元素，则（    ） A．200或198 B．199或200 C．198或197 D．199或198 【答案】D 【分析】原问题等价于单位圆盘n等分后，相应横坐标的所有可能数与n的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及即可. 【详解】如果集合A有100个元素，等价于单位圆盘n等分后，即相应横坐标的所有可能数为100， 则可能是和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标（它们关于轴对称），即此时 还有一种可能：即和，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标（它们关于轴对称）， 即此时， 综上所述，若集合A有100个元素，则或． 故选：D 【变式3】（24-25高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】根据正余弦的函数值，在单位圆中画出对应角的范围即可知α的集合. 【详解】（1）如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于两点，则，， 故α的范围是．    （2）如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于两点，则， 故α的范围是 题型七 各象限内三角函数的符号 解｜题｜技｜巧 可牢记口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，或结合定义（、正负）判断；角终边在坐标轴上时，对应函数值为0或无意义（在轴无意义） 【典例1】【多选题】（24-25高一下·云南保山·期中）下列选项中，符号为负的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由特殊角的三角函数可判断A，B；判断所在象限可判断C，D. 【详解】，，故A正确，B错误； 因为，是第二象限角，所以，，故C、D正确. 故选：ACD． 【变式1】（25-26高一下·全国·月考）如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在单位圆中作出角的正弦线、余弦线、正切线即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中作出角的正弦线、余弦线、正切线，， 由图知，即． 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·四川南充·期末）“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得且，是第三、四象限角，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由可得：且， 所以是第三或第四象限角， 所以“角θ是第四象限角”能推出“”， “”不能推出“角θ是第四象限角”， 所以“角θ是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式3】（25-26高一上·云南楚雄·期末）“角为第二象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的符号法则判断. 【详解】若角为第二象限角，则，，； 若，则，异号，角为第二象限角或第四象限角. 故“角为第二象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 题型八 同角关系求值 解｜题｜技｜巧 已知一个三角函数值，先由平方关系求另一个（开方结合象限定符号），再用商数关系验证；已知象限优先定符号，避免多解、错解 【典例1】（25-26高一上·天津·期末）已知是第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义与同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为是第四象限角，，所以，所以. 故选：D. 【变式1】（24-25高三上·北京房山·期中）在中，若，则________. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可. 【详解】由题意可知， 所以，即， 所以. 故选：. 【变式2】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知角满足. (1)若，求，的值； (2)若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系结合可求出答案； （2）由题意可得，求出，再对所求式同时除以，代入化简即可. 【详解】（1），即，又， 故，， 又，故，； （2）角的终边与角的终边关于轴对称，则，， ，， 故. 【变式3】（25-26高一上·山西长治·期末）（1）已知，且为第二象限角，求，的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系与商数关系即可求解； （2）化为齐次式，进而化为的代数式可求值. 【详解】（1）因为，且为第二象限角，所以， 所以； （2）. 题型九 与正余弦和差积有关的求值 解｜题｜技｜巧 利用平方变换，将和差、积相互转化；联立已知条件求解，最后结合象限判断符号，得出最终结果 【典例1】（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用，实现与的转化求值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 所以，所以，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式1】（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即， 则. 【变式2】（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 【答案】A 【详解】因为，① 所以， 解得，又， 所以， 又， 所以，② 联立①②解得， 所以. 【变式3】（24-25高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则______. 【答案】/ 【分析】根据条件确定，，再结合关系求结论. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：, 题型十 同角公式中弦化切求值 解｜题｜技｜巧 已知时，将式子分子、分母同除以（），转化为关于的代数式，代入求值；避开（）的情况 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，则 （1）______． （2）______． 【答案】 1 1 【详解】（1）； （2） . 【变式1】（25-26高三上·福建福州·期中）已知，则的值（   ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 【变式2】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用弦化切可得出所求代数式的值； （2）由已知得出，结合弦化切可得出所求代数式的值； （3）根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】（1）因为，所以. （2） . （3）因为为第一象限角，由同角三角函数的基本关系可得， 解得，. 【变式3】（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用“1”的代换得到关于正余弦的齐次式，再由弦化切求值即可. 【详解】由 . 故选：C 题型十一 诱导公式的化简求值 解｜题｜技｜巧 遵循“奇变偶不变，符号看象限”口诀；第一步判断中的奇偶性，确定是否变函数名；第二步将看作锐角，判断原角象限定符号；第三步化简求值，整理为最简形式 【典例1】（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）、；（2） 【分析】（1）根据题意可得，结合任意角三角函数的定义运算求解即可； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以、； （2）因为， 所以 . 【变式1】（2025·山东烟台·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值； （2）利用诱导公式求解. 【详解】（1）∵是第三象限角，且， ∴， ∴； （2） 【变式3】（25-26高一上·广西·期中）已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）利用平方关系可得，再由同角三角函数之间的基本关系可得；（2）利用诱导公式将化简，将（1）中的值代入即可求得结果；（3）利用诱导公式计算. 【详解】（1）由可得，， 所以. 又为第三象限角，所以；. 所以，. （2）利用诱导公式可得， 将代入可得， 即. （3）因为， ， 所以. 题型十二 诱导公式中角的拼凑及综合同角公式的求值 解｜题｜技｜巧 观察角的特点，将非特殊角拼凑为特殊角或已知角（如），利用诱导公式化简；再结合同角关系分步求值，先化简角，再化简函数式，避免计算失误 【典例1】（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，应用诱导公式及已知即可求解. 【详解】由， 所以 . 故选：B 【变式1】（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】(1). (2)（i），（ii）. 【分析】（1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. 【详解】（1） （2）∵ ∴， 则 （i） （ii） 【变式2】（24-25高一下·北京房山·期中）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义和同角的平方关系计算即可求解； （2）根据诱导公式计算即可求解； （3）根据三角恒等变换的化简计算即可求解. 【详解】（1）因为圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 所以． 所以． （2）原式 ． （3）由（1）知，，且为锐角， 所以，． 所以 ． 【变式3】（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】由题意，. 故选：A 题型十三 三角函数的值域与最值 解｜题｜技｜巧 分三种情况：①基本三角函数：、值域，值域；②简单复合函数（如），结合基本值域用不等式性质求解；③结合角的取值范围，确定函数值区间再求最值 【典例1】（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是______． 【答案】 【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域． 【详解】当时，， ，即的值域为． 故答案为：． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，.当时，则的最大值为_____. 【答案】2 【分析】应用正弦型函数的性质求区间最大值即可. 【详解】由，则 ，故， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【变式2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由周期公式求得，然后由换元法即可求解. 【详解】由题意，解得，， 所以的最大值为3. 故选：D. 题型十四 三角函数的二次型最值 解｜题｜技｜巧 将函数整理为（或），令（或），转化为（）；结合二次函数开口方向、对称轴，结合的范围求最值，注意不超出 【典例1】（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】令，得，换元得，根据二次函数单调性求得最大值. 【详解】由， 令，，则， 则， 当，即或时，取得最大值. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 【变式2】（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先化简函数的解析式，再利用复合函数的值域，求实数的取值范围. 【详解】 ， 设，，函数的对称轴为 且，，， 因为函数在区间的值域为，所以在区间上能取得，但是不能小于0， 所以. 故选：C 【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ） A． B． 或 C． 或 D．或 【答案】D 【分析】利用换元法，结合二次函数和余弦函数的图象进行求解即可. 【详解】，，，分别作出它们的图象如下，              要使得关于x的方程在内有解，必须. 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时，只有一个解，不符合题意； 当时，，此时方程，有两个不同的解； 当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意， 综上，或. 故选：D 题型十五 三角函数的单调性及求参数 解｜题｜技｜巧 牢记基本三角函数单调区间，结合复合函数“同增异减”原则（与单调性相反）；求参数时，建立单调区间与题干区间的不等式，标注，验证参数合理性 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式先将的系数化为正，再由正弦函数性质列不等式计算即可求得单调区间. 【详解】因为， 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为． 故选：C 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的性质并结合题意得到，再求出取得的最大值的横坐标，建立不等式组得到，最后确定即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得， 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上所述，得到，即，故D正确. 故选：D 【变式2】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出取值范围，根据余弦函数单调性的求法得出其单调递减区间，结合子区间法即可求解. 【详解】因为，所以，令， 由，得，则在上单调递减， 又在上单调递减，所以，即． 综上，的取值范围为． 【变式3】（25-26高一上·河南·月考）函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的单调性求解即可 【详解】令 ，得 ， 故 的单调递增区间为 ， 令,则函数 的一个单调递增区间是. 故选：B 题型十六 三角函数的奇偶性及求参数 解｜题｜技｜巧 先判断定义域是否关于原点对称（不对称则非奇非偶）；奇函数满足（如需），偶函数满足（如需）；求解参数后验证定义域 【典例1】（25-26高一下·江西赣州·月考）已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以，解得：，又因为，故取，得. 【变式1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C 【变式2】（25-26高一上·新疆和田·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的最小正周期的计算公式，可得答案. 【详解】对于A，函数不是周期函数，且为偶函数，故A错误； 对于B，函数的最小正周期，且为偶函数，故B错误； 对于C，函数的最小正周期，且为奇函数，故C正确； 对于D，函数的最小正周期，且为偶函数，故D错误. 故选：C 【变式3】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为函数是偶函数，则， 所以，又因为，故， 故选：D. 题型十七 三角函数的对称性及求参数 解｜题｜技｜巧 牢记基本函数对称规律，复合函数：对称轴满足，对称中心满足（）；将题干对称点/对称轴代入，建立方程求解并验证 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，求得，再由的图像关于点中心对称，得到，且，结合三角函数的性质，求得，进而求得的值． 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 可得， 又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且， 所以，即，可得， 解得，由，可得，，即， 所以． 故选：A. 【变式1】（25-26高一上·陕西商洛·期末）记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据周期公式及条件，可得范围，根据余弦函数的对称性，可得的表达式，即可得值，进而可得解析式，代入数据，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得， 因为的图象关于点中心对称， 所以，且，所以， 解得，令，得， 所以， 所以． 故选：B 【变式2】（25-26高一下·河南商丘·月考）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得函数与的最小正周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】对函数，令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为函数与的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期，且与图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又的最小正周期，所以，得， 故， 令，则，即的对称中心为， 所以，得， 又，所以. 【变式3】（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知函数在区间上具有单调性，若，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到点与关于函数的对称中心对称，进而求得函数的对称中心，根据对称性得，，再代入求解即可. 【详解】令，得， 所以函数的对称中心为 因为，且函数在区间上具有单调性， 所以点与关于函数的对称中心对称， 所以， 所以. 故选：B 题型十八 三角函数的图像与变换 解｜题｜技｜巧 明确两种核心顺序，避免混淆：①先平移后伸缩：（平移量）；②先伸缩后平移：（平移量）；分步标注解析式 【典例1】【多选题】（25-26高三上·宁夏吴忠·期中）先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在上单调递减 C．时， D．其图象关于点对称 【答案】AC 【分析】利用给定变换求出函数的解析式，根据可判断A；利用整体代换的方法，根据的范围，求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质可判断B和C；根据关于点对称，的图象向上平移后对称中心也向上平移一个单位，可判断D. 【详解】将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到， 再把图象向右平移个单位长度，得到， 最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到. 对于A，，故A正确； 对于B，因为在单调递增， 当时，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，，， 所以，故C正确； 对于D，当时，函数满足， 所以函数关于点对称， 所以关于点对称，故D错误. 故选：AC 【变式1】（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先进行图象变换，再由函数的对称性求解． 【详解】解析：平移后，， 所以. 所以，因为，所以最小值为. 所以. 故选：B 【变式2】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．若且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用三角函数的性质得，再结合条件，由奇函数的性质，可求出的值，即可求解； （2）根据条件，利用图象的变换，可得到，再结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）由题知，得到，所以， 由题有，得到，又，所以， 所以. （2）由题知， 因为，所以，得到， 所以，即， 又，所以. 【变式3】（25-26高二上·广西南宁·期中）已知函数的图象与的图象关于轴对称，将图象的横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得函数的图象. (1)求图象的对称中心； (2)求取最大值时自变量的取值集合. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据图象变换的法则得到函数的解析式，再利用图象与平衡位置的交点为对称中心求解即可； （2）根据函数取得最大值的条件进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 图象的横坐标缩短为原来的可得， 再将所得函数图象向左平移个单位长度可得 ， 令，解得， 故图象的对称中心为. （2）因为， 令, 得， 所以取最大值时自变量的取值集合为. 题型十九 三角函数由图像求解析式 解｜题｜技｜巧 步核心：①求：；②求：（为图像完整周期）；③求：代入特殊点（最高点、最低点），结合求解，结合单调性避免多解 【典例1】（25-26高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （2）利用根据正弦函数的图象与性质解不等式，结合即可求解. 【详解】（1）由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 【变式1】【多选题】（25-26高一上·江西宜春·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】AC 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】由图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 因，则的图象关于点对称，A正确； 因，则的图象不关于对称，B不正确； 因，则，所以在上为增函数，C正确； 的图象向右平移个单位长度，得到是偶函数，D不正确. 故选：AC 【变式2】（25-26高三上·天津西青·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：    ①的最小正周期为； ②在区间上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中错误结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象中两个零点间的距离，可直接求得的最小正周期，判断①；求得的解析式，用整体代换的思想判断②，③；由图象平移的规则知函数的图象向左平移个单位长度得到函数的解析式，可判断④. 【详解】对于①，由图可知的最小正周期为.所以①错误； 对于②，由①知，，所以. 根据图象有，即，所以 解得，所以. 当时，. 令，因为是增函数，在是增函数，所以在区间上单调递增； 所以②正确； 对于③，由②知，. 当时，，所以. 所以③错误； 对于④，函数的图象向左平移个单位长度得到函数，所以④错误. 所以四个结论中错误的个数为3. 故选：C. 【变式3】【多选题】（25-26高三上·吉林长春·期中）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象向左平移个单位长度后得到函数 C．的图象关于直线对称 D．若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【分析】先根据函数图象求出函数的解析式，再结合三角函数的性质对选项逐一分析即可. 【详解】由图象可知，函数的最大值为，即，，，又，，， 又图象过点，，，解得， 而的最小正周期需要满足，即，解得，，，正确， 函数的图象向左平移个单位长度后，得到新函数，错误， ，的图象关于直线对称，正确， ， 若方程在上有且只有6个根，则，正确. 故选：. 题型二十 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 第一步审题，将实际问题转化为三角函数模型（通常为或）；第二步结合实际条件（最值、周期、初始值）确定参数、、、；第三步利用函数性质求解问题，回归实际验证合理性 【典例1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为________分钟. 【答案】6 【分析】根据给定信息，由正弦函数的实际应用求出运动轨迹的函数解析式，再列出不等式并求得答案. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，， 依题意得为轨迹最低点，，周期，解得， 由，得，则，， 由，得，即， 而，即，因此，解得， 所以在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为. 故答案为：6 【变式1】【多选题】（24-25高一上·江苏淮安·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【答案】BC 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 【变式2】（2025高二下·陕西·学业考试）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过_________可以达到最高点（精确到1s）. 【答案】 【分析】根据实际含义分别求的值，列方程，解简单三角方程得结果. 【详解】振幅即为半径，即； 因为逆时针方向每分转1.5圈，所以； ； ， 所以，将代入， 可得， 得， 当时，. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1) (2)该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 【分析】（1）画出散点图，根据图象可求出，，，进而可求得； （2）依题意，其中，解不等式即可. 【详解】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （2）由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用扇形的弧长公式求出扇形的半径，最后利用面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则， 又扇形的圆心角为，由弧长公式得， ，解得，， 该扇形的面积为. 故选：. 2．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)角的终边过点，（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求得正确答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D 3．(25-26高一上·河南安阳天一大联考·期中)已知点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】分析得出，，根据角终边的位置与三角函数值符号的关系可得出结论. 【详解】因为点在第二象限，则，， 若，则角的终边在第三象限、轴负半轴或第四象限， 若，则角的终边在第一象限或第三象限， 综上所述，角的终边在第三象限. 故选：C. 二、多选题 4．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)下列说法中正确的是（   ） A．终边在轴上角的集合是 B．角终边落在第一象限，则角为锐角 C．角是第二象限角，则是在二，三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【答案】AD 【分析】利用角的终边与象限角的性质分析判断选项ABC，运用扇形公式结合基本不等式分析选项D． 【详解】选项A：终边落在轴上角的集合是，故A正确； 选项B：终边落在第一象限的角的集合为， 角不一定为锐角，例如，故B错误； 选项C：角是第二象限的角， ， ， 当时， ，位于第一象限； 当时， ，位于第三象限； 为第一，三象限的角，故C错误； 选项D：设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：， 扇形面积为， 、均大于零， ，即，整理有， 当且仅当时，扇形面积取最大值， 此时，解得，故D正确． 故选：AD． 5．(25-26高一上·福建厦门外国语学校·期中)如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用特殊角的三角函数，以及扇形的弧长和面积公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由点，可得，扇形的面积为，所以A正确； 对于B，经过，点转过了，所以点的坐标为，所以B正确； 对于C，经过，在的终边上，在的终边上， 所以扇形的弧长为，所以C错误； 对于D，要使得第二次相遇，则有走过的弧长减去走过的弧长=， 即设经过秒后，有，解得，所以D正确. 故选：ABD. 6．(25-26高三上·福建福州平潭翰英中学·期中)函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为减函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 【答案】AD 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可． 【详解】由已知，则， 图象过， 又， 显然的图象关于点对称，A正确； 令，得的对称轴为， 令，得，故B错误； 时，令在上递增，因此C错误； 把的图象向右平移个单位长度， 得函数表达式为，它是偶函数，D正确． 故选：AD． 三、解答题 7．(25-26高一上·江苏盐城集团校·期中)（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用三角函数的定义，先求出点到原点的距离，再得到和的值，进而计算. （2）借助同角三角函数的基本关系，将转化为含的表达式，代入的值求解. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以点到坐标原点的距离， 所以， 所以． （2）由， 因为， 所以． 8．(23-24高一上·云南曲靖民族中学·期末)已知，且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【详解】（1）因为，且为第三象限角， 所以， 则. （2）=. 9．(25-26高一上·山东新泰第一中学·)已知函数． (1)求的单调递增区间和对称中心的坐标； (2)当 ，求的最值及此时的值． 【答案】(1)单调递增区间为；对称中心为 (2)当时，取最大值；当时，取最小值 【分析】（1）根据正弦函数单调性及对称中心即可求出的单调递增区间和对称中心； （2）根据正弦函数的图象即可求出答案. 【详解】（1）令， 解得， 所以的单调递增区间为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）因为，所以， 不妨设， 当时，取最大值，的最大值为，此时，解得， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值，的最小值为，此时，解得， 所以当时，取最小值． 所以当时，取最大值；当时，取最小值． 10．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在区间上的单调性； 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）由求得，确定最小正周期求出，再结合五点法求得即可求解； （2）由，求得，再结合正弦函数单调性即可求解. 【详解】（1）由图象可知，解得：， 又由于，所以， 由图象及五点法作图可知：，，所以，， 因为，所以， 所以 （2）由（1）知，， 因为，所以， 结合正弦函数的单调性可知： 当时，即时，单调递增， 当时，即时，单调递减， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式列出方程计算即可. 【详解】由题意可得圆弧六边形的面积为： ①， 圆弧六边形的周长为： ，即②， 联立①②，解得，，所以. 故选：D 2．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与射线交于点，已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则所对圆心角为 D．若所对圆心角为 ，则 【答案】D 【分析】设点在角的终边上，根据三角函数定义及诱导公式逐一判断.A项由得与关系可判断错误；B项由与可得的关系从而判断错误；C项由关系举特例判断错误；D项由，可得. 【详解】如图，因为单位圆与射线交于点， 即点在角的终边上， 设点在角的终边上，则，. 对于A，因为点的坐标是， 由题意可知， 如图，若，则，， 即， 此时或，故A错误； 对于B，由题意可得， 则或， 则或， 故B错误； 对于C，由图可知，设对应的圆心角为， 由A项可知，或， 即或， 例如：当时，则满足， 此时，即此时对应的圆心角为， 而，故C错误； 对于D，若所对圆心角为，则， 则，故D正确. 故选：D. 二、多选题 3．(25-26高一上·河南安阳天一大联考·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项. 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 4．(24-25高一下·辽宁凤城第二中学·期中)下列说法正确的是（    ） A．若终边上一点的坐标为，则 B．若角为锐角，则为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D．若，且，则 【答案】CD 【分析】对于A，根据三角函数的定义，可得其正误；对于B，利用举反例，可得其正误；对于C，根据弧长公式以及扇形的面积公式，可得其正误；对于D，利用同角三角函数，建立方程，可得其正误. 【详解】对于A，点到原点的距离为， 若，则，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，设扇形的半径为，则，解得，所以扇形的面积，故C正确； 对于D，因为，即，所以， 所以，解得或， 因为，，且， 所以，所以，故D正确． 故选：CD． 5．(24-25高一下·辽宁凤城第二中学·期中)已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小正周期是 B． C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 【答案】BC 【分析】利用周期函数定义判断A；根据给定的图象，结合正弦型函数的图象性质求解判断BC；利用方程根的个数求出范围判断D. 【详解】对于A，， ， ，则的最小正周期不是，A错误； 对于B，由图分析知：，得或， 而，则，得，即，， 于是，，即，， 又，因此，，B正确； 对于C，，由得， 因此函数的对称中心为，C正确； 对于D，由，得，由，得， 由，得， 又在上有个根，则根从小到大为，因此，D错误． 故选：BC 6．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．是函数的对称轴 D．在上的最小值为 【答案】ACD 【分析】首先求出函数图象平移后的函数解析式，然后根据余弦函数的周期、单调性、对称轴、最值等性质对每个选项进行求解和判断. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得函数的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等． 函数的图象向左平移个单位长度后得： ，最小正周期为，A正确； 时，单调递减. 为的单调递减区间， 当时，递减区间为，故B错误； 令，得， 当时，，故C正确； ，，， 最小值为，故 D正确. 故选：. 7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．的表达式可以写成 B． C．在区间上单调递增 D．若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由的部分图象求出和，写出函数的解析式，再利用诱导公式化为余弦型函数；对于B，利用诱导公式化简再与比较即可；对于C，由x的范围，求得整体角的范围，结合正弦函数的单调性，即可判断；对于D，由求出方程在上的6个根与第7个根，依题意即可求得m的取值范围． 【详解】对于A，由的部分图象知，，所以， 因为，所以， 又，由图知函数在区间上单调递增， 根据五点法可得，解得， 所以，故A正确； 对于B，因为 ，故B正确； 对于C，时，，因函数在上单调递减， 故在上单调递减，故C错误； 对于D，由，得，所以或，； 解得或，；由在上有6个根， 则6个根从小到大依次为，，，，，； 第7个根为，所以m的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 8．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知函数，若方程在上恰好存在6个实数根，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】由程可得或，结合实数根的个数可得，进而可得. 【详解】由，得，得， 由得或， 由题意知在上恰好存在6个实数根, 又因，故的可能取值为， 故，得， 故答案为： 四、解答题 9．(24-25高三上·河南许平汝名校·期中)（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求 的值； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意得到的值，将除以，分子分母同时除以，即可得到有关的式子，代入即可得到答案； （2）先根据完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，构造等式即可求得结果. 【详解】（1）由，得或， 是方程的一个实根，且是第三象限角，， . （2）， ，则， ，所以， 故， . 10．(25-26高一上·广东深圳宝安中学·期中)已知. (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由角终边过点，得到，代入求值； （2）化简求得，代入利用诱导公式化简求值； （3）由求得，代入求值. 【详解】（1）的终边过点； （2） ； （3）因为，所以，即， 从而， 因为，所以，因此， 从而，故 11．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象； 0 (2)若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程. 【答案】(1)表格见详解，图象见详解 (2)，，. 【分析】（1）根据余弦函数的五个关键点填写表格，再根据作图的一般步骤，列表-描点-连线，即可做出函数的图象； （2）先根据函数为奇函数求出值，进而得到的解析式，再根据正弦的对称轴方程求解即可. 【详解】（1）列表如下： 0 2 0 0 2 再描点连线，得图象如下： （2）因为，所以， 令， 因为为奇函数，所以， 所以，. 又因为，所以当时，， 所以， 所以的对称轴方程为，， 即的对称轴方程为，. 12．(24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中)如图所示，摩天轮直径为110m，最高点距离地面120m，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30min． (1)某游客自最低点处登上摩天轮，请问5min后他距离地面的高度是多少？ (2)若甲、乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，确定游客的高度与时间的关系，再把代入求函数值即可. （2）先求弧所对圆心角的大小，再解三角形求弦长即可. 【详解】（1）设游客高度为，所用时间为，依题意：（,,）. 由 ；由 . 由 ；由 ，所以. 所以. 当时， . 所以游客自最低点处登上摩天轮，5min后他距离地面的高度是 . （2）因为之间间隔15个座舱，所以. 在中，. 所以A，B两个座舱的直线距离为 . 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数；        ②在区间单调递增； ③在有3个零点；    ④的最大值为2． 其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，①正确；分别在和两种情况下求得解析式，结合偶函数的对称性可得图象，结合图象可判断出②③④的正误. 【详解】的定义域为，且，为偶函数，①正确； 当时，；当时，； 又为偶函数，图象关于轴对称，则可得图象如下图所示：    由图象可知：在上单调递减，②不正确； 在上有，和三个零点，③正确； ，由图象可知，④正确. 故选：C 2．(24-25高一下·江西鹰潭余江区第一中学·期末)已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性可得周期性，即可作出两函数图象，根据图象交点个数即可求解. 【详解】由于是定义域为的奇函数，故，故， 所以，当时，， 又由，可得， 故是周期函数，且周期为4， 当时，，则， 又，所以时， 当时，，则， 又由，得到，所以当时，， 当时，，则， 所以当时，， 故 在同一坐标系中，作出的图象如下, 又当时，，而，故当后，两个函数图象再无交点， 由函数图象可知：的图象有4个不同的交点，故有4个零点， 故选：A 3．(24-25高一下·北京房山区·期中)气候变化是人类面临的全球性问题，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，其图象如图．则下列结论正确的是（   ）    A． B．函数的最小正周期为 C．， D．若是偶函数，则的最小值为2 【答案】D 【分析】根据图象的最大值和最小值求，再根据对称轴间的距离求周期和，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数解析式，然后逐个分析判断. 【详解】根据题图可知得所以． 根据题图可知，，B错误． ，，，即． 又，所以，所以，解得，A错误． ，， 所以，C错误． 因为是偶函数， 所以，，得，，所以当时，取最小值为2，D正确． 故选：D． 二、填空题 4．(24-25高一下·上海育才中学·期中)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 【答案】; 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故答案为：. 5．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·月考)已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则_______． 【答案】/ 【分析】根据扇形的面积公式结合均值不等式得到，再利用诱导公式化简得到答案. 【详解】根据题意：，故， ， 当，即时等号成立. . 故答案为：. 6．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)对于函数，给出下列四个命题： ①该函数的最小值为； ②该函数是以为最小正周期的周期函数； ③当且仅当（）时，该函数取得最大值； ④当且仅当（）时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【分析】作出函数的图象，结合函数图象逐一判断各个命题即得. 【详解】依题意，， 则， ，因此函数为周期函数，是的一个周期， 作出函数的图象（图中实线），如图： 观察函数图象，得： 对于②，函数的最小正周期为，②正确； 对于①，函数的最小值为，①错误； 对于③，当且仅当或时，函数取得最大值，③错误； 对于④，当且仅当时，，④正确. 所以所有正确结论的序号是②④. 故答案为：②④ 7．(24-25高一下·山东潍坊·期中)函数在上的零点从小到大依次为，则的值为________. 【答案】 【分析】转化为函数与在上的交点问题，结合其对称性，数形结合，即可求得结果. 【详解】令，则， 当时，， 由题意，函数在上的零点从小到大依次为， 则转化为函数与在上的交点问题， 且交点的横坐标从小到大依次为， 画出函数与在上的大致图象，    由图象可知，函数与有4个交点，即， 又，，， 则，，， 则. 故答案为：. 8．(24-25高一下·上海金山中学·期中)定义在上的函数（，，），其图象与水平直线的交点从左往右分别记为，，…．若，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】振幅仅是保证与总有交点，的变化仅是改变函数的周期，与线段长度的比无关，令即可，由题意研究图象解出的取值范围即可. 【详解】 由题意，振幅仅是保证与有交点， 且它们的交点不可能为正弦型函数的最值点或零点，否则， 故且， 又的变化仅改变函数的周期(长度)，与线段长度的比无关， 要使，第一与第二个交点距离大于半个周期长，而第二与第三个交点距离小于半个周期长， 不妨令，，作出(注意代换且)的图象， 如图： 由，且，， 所以，由图象得：，或，结合， 所以的取值范围为：. 所以的最大值是 故答案为： 三、解答题 9．(24-25高一下·广东江门培英高级中学·期中)已知函数部分图象如图所示． (1)求和的值； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值． 【答案】(1)， (2)， (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）由图象观察周期，计算，由最大值求出； （2）利用整体代换求出单增区间； （3）先求出，转化为，在上有解,令，求出的值域，即可求出a的最小值和最大值. 【详解】（1）由图象可知：，所以，则， 又，，得， 又，所以. （2）由（1）知， 令，， 解得：，. 令，得，因，则， 令，得，因，则， 所以在上的单调递增区间为，. （3）由题意，， 则， 由函数在上存在零点， 则在上有解， 令，由，则，即， 则， 所以，即， 故a最小值为，最大值为. 10．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示. 驾驶行为类别 阈值 饮酒驾车 醉酒驾车 经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量（单位：）随时间（单位：h）变化的函数模型可表示为，根据上述条件： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计；参考数据：，） 【答案】(1)1.5小时，最大值是53毫克/百毫升. (2)6小时 【分析】（1）分别求出两段函数的最值，再进行比较即可求出的最大值； （2）解不等式即可. 【详解】（1）当时，，故当时，即时，； 当时，在上单调递减， 故. 综上，， 所以，喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是53毫克/百毫升. （2）当时可以驾车，且， 因，故， 令，得，即，得 因，则的最小值为6， 故喝1瓶啤酒后6小时才可以驾车. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 任意角的概念 题型02 象限角及其表示 题型03 扇形的弧长与面积计算 题型04 扇形的弧长与面积的最值 题型05 终边上三角函数的定义求值 题型06 单位圆与周期性 题型07 各象限内三角函数的符号 题型08 同角关系求值 题型09 与正余弦和差积有关的求值 题型10 同角公式中弦化切求值 题型11 诱导公式的化简求值 题型12 诱导公式中角的拼凑及综合同角公式的求值 题型13 三角函数的值域与最值 题型14 三角函数的二次型最值 题型15 三角函数的单调性及求参数 题型16 三角函数的奇偶性及求参数 题型17 三角函数的对称性及求参数 题型18 三角函数的图像与变换 题型19 三角函数由图像求解析式 题型20 三角函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与弧度制 能准确辨析正角、负角、零角，清晰判断任意角所在的象限或轴线 能熟练写出与已知角终边相同的角的集合，不遗漏的条件 能快速、准确完成角度与弧度的互化，不混淆单位 能正确套用扇形弧长、面积公式，明确公式中必须为弧度制 命题趋势 期中必考基础题，多以选择题、填空题形式出现，侧重基础计算，难度偏低，重点考查弧度与角度互化、终边相同角的集合、扇形面积/弧长计算. 高频易错点 角度与弧度混用（如用角度代入扇形公式计算） 写终边相同角的集合时，遗漏，或角度与弧度不统一 计算扇形面积时，忘记公式中为弧度制，直接代入角度值 三角函数的定义与符号判断 能根据角终边上任意一点的坐标，准确求出该角的三个三角函数值 能识别单位圆中的三角函数线，并用其简单判断三角函数值的大小 能快速判断任意象限角的、、的正负，不混淆象限规律 能解决“已知三角函数符号，判断角所在象限”的基础题 命题趋势 期中基础必考题，选择题、填空题为主，偶尔结合终边相同角考查，侧重定义的直接应用和符号判断，难度偏低，注重基础落实 高频易错点 计算三角函数值时，混淆、的对应关系，或忘记计算 判断三角函数符号时，记错各象限正负规律（如误以为第三象限为正） 忽略正切函数的定义域（，即角终边不在轴上） 同角三角函数基本关系 能熟练记忆并灵活运用同角三角函数的平方关系和商数关系 能根据已知的一个三角函数值，结合角的象限，求出另外两个三角函数值（不遗漏符号） 能运用同角关系化简简单的三角式，做到步骤规范、结果简洁 能解决“已知，求、相关代数式的值”的基础题 命题趋势 期中高频基础题，选择题、填空题、解答题（第一问）均可能出现，侧重公式的灵活运用，常结合诱导公式、二倍角公式考查，难度中等偏下 高频易错点 平方关系开方时，不结合角的象限判断符号，直接写正负，导致多解或漏解 忽略商数关系的定义域，在时仍使用 化简三角式时，过度变形，导致符号错误或结果不简洁 诱导公式 能准确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，熟练记忆常用诱导公式 能运用诱导公式，将任意角（负角、大角）的三角函数化简为锐角三角函数 能结合同角关系，利用诱导公式完成简单的三角函数求值、化简 化简、求值时，做到符号判断准确、函数名变换正确 命题趋势 期中高频考点，贯穿选择、填空、解答题，是三角化简、求值的基础工具，常与同角关系、二倍角公式结合考查，难度中等 高频易错点 对“奇变偶不变”理解不清，为奇数时忘记变换函数名（如误写为） 符号判断错误：把看作锐角时，判断所在象限失误，导致符号写错 化简时，遗漏诱导公式的应用，导致计算复杂或出错 正弦、余弦、正切的图像与基本性质 能准确画出三个基本三角函数的图像，识别图像的关键特征（顶点、零点、渐近线） 能熟练写出三个函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性 能准确写出三个函数的单调区间、对称轴、对称中心，不遗漏 能判断给定区间内三角函数的单调性，或比较两个三角函数值的大小 命题趋势 期中核心考点，选择题、填空题、解答题均会考查，侧重图像识别、性质应用，常结合图像变换、参数求解题考查，难度中等 高频易错点 记错正切函数的定义域和周期（误记为） 写单调区间时，遗漏，或区间端点写错 混淆与的对称轴、对称中心（如的对称轴误记为） 判断单调性时，忽略的取值范围，直接套用基本单调区间 函数的图像与参数意义 能准确说出、、的几何意义，熟练计算函数的周期 能规范完成到的图像变换，明确两种变换顺序的区别 能根据函数图像的最值、周期、特殊点，准确求出、、的值，写出解析式 能结合图像，分析的定义域、值域、周期性、单调性 命题趋势 期中高频中档题，选择题、填空题、解答题均可能出现，侧重图像变换和由图像求解析式，是三角函数图像与性质的核心考查题型，难度中等 高频易错点 图像变换时，先伸缩后平移，平移量误算为，未除以 求时，代入特殊点不当，或未结合图像的单调性判断的取值（导致多解） 忽略的正负对图像变换和单调区间的影响 混淆、、的意义，如误将当作周期 知识点01 任意角与终边相同角 定义：射线绕端点旋转形成的图形，逆时针为正角，顺时针为负角，不旋转为零角 分类： 象限角：终边在第几象限即为第几象限角，终边在坐标轴上为轴线角（不属于任何象限） 终边相同角：，核心是相差的整数倍 易错点：忽略角的正负；遗漏；混淆“终边相同”与“角度相等” 知识点02 弧度制与扇形相关公式 弧度制定义：单位圆中，弧长等于半径的弧所对的圆心角为 互化公式：，， 扇形公式（弧度制下）： 弧长：（为圆心角弧度数，为半径） 面积： 易错点：弧度与角度混用；互化计算失误；用角度代入扇形公式；忽略 知识点03 三角函数的定义与三角函数线 定义：角终边任一点，（），则，，（） 单位圆定义：时，，，（） 三角函数线（单位圆内）： 正弦线（对应），余弦线（对应），正切线（对应） 作用：判断三角函数正负、比较大小 易错点：混淆、对应关系；忘记计算；忽略定义域；混淆三角函数线对应关系 知识点04 同角三角函数基本关系与诱导公式 同角关系： 平方关系：（变形：，） 商数关系：（） 诱导公式（基础常用）： 核心口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 常用公式：，，，，， 易错点：平方关系开方不判断符号；忽略商数关系、诱导公式定义域；混淆诱导公式符号与函数名变换 知识点05 三角函数的图像与性质 基本三角函数（、、）： 定义域、值域：、定义域，值域；定义域，值域 周期性：、最小正周期；最小正周期 奇偶性：、奇函数；偶函数 单调性与对称性：按对应区间记忆，注意标注 函数（，）： 参数意义：（振幅，值域），（周期），（相位） 图像变换：先平移后伸缩（平移量）或先伸缩后平移（平移量） 解析式求解：由图像最值求，周期求，特殊点求 题型一 任意角的概念 解｜题｜技｜巧 明确任意角定义（射线绕端点旋转形成，分正角、负角、零角），解题核心是区分旋转方向（逆时针为正、顺时针为负）；涉及角的表示时，需化为最简形式（结合，），明确取值范围，避免混淆正、负角 【典例1】（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·云南临沧·期末）下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 【变式2】（25-26高一上·宁夏固原·期末）下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定是锐角 C．是第三象限角 D．角度制与弧度制不能互相转换 【变式3】（25-26高一上·天津·期末）已知集合第一象限角锐角 小于90°的角，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 象限角及其表示 解｜题｜技｜巧 第一步将角化为（，），根据终边位置判断象限；表示象限角时，按象限规范书写集合（如第一象限：），注意轴线角不属于任何象限，需单独标注 【典例1】【多选题】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）的角是第______象限. 【变式2】（24-25高一上·天津津南·期中）如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是 ______________   【变式3】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三 扇形的弧长与面积计算 解｜题｜技｜巧 核心前提是将圆心角化为弧度制（避免角度与弧度混用），牢记公式：弧长、面积（为弧度数，为半径）；解题时先明确已知量，代入对应公式，注意取绝对值，保证弧长、面积为正数 【典例1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为___________.（用弧度制表示） 【变式1】（25-26高三上·安徽·期中）已知扇形的面积为，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·陕西商洛·月考）若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·河南·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（   ）    A． B．2 C． D．4 题型四 扇形的弧长与面积的最值 解｜题｜技｜巧 先确定变量（半径或圆心角），结合转化变量，建立单变量函数关系式；根据变量取值范围（、），利用基本不等式或二次函数性质求最值，验证等号成立条件 【典例1】【多选题】（24-25高一下·辽宁大连·期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（   ） A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6 C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为 【变式1】（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（25-26高一上·河南安阳·期中）用一根长度为的绳子围成一个扇形，则该扇形面积的最大值为___________． 【变式3】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型五 终边上三角函数的定义求值 解｜题｜技｜巧 第一步找角终边上任一点，计算（）；第二步代入定义公式：、、（）；第三步结合象限判断函数值正负，确保结果准确 【典例1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则_______. 【变式2】（24-25高一下·河南·期中）已知角的终边经过点，且，则______． 【变式3】（24-25高三上·海南海口·月考）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 题型六 单位圆与周期性 解｜题｜技｜巧 利用单位圆简化求值（时，、）；牢记周期规律：、最小正周期，最小正周期，可通过单位圆直观判断角的周期性重复 【典例1】【多选题】（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆与轴正半轴交于点．已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为________；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是________ 【变式2】（23-24高一下·上海·月考）设是正整数，集合，若集合A有100个元素，则（    ） A．200或198 B．199或200 C．198或197 D．199或198 【变式3】（24-25高一下·全国·课堂例题）利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)； (2)， 题型七 各象限内三角函数的符号 解｜题｜技｜巧 可牢记口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，或结合定义（、正负）判断；角终边在坐标轴上时，对应函数值为0或无意义（在轴无意义） 【典例1】【多选题】（24-25高一下·云南保山·期中）下列选项中，符号为负的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·全国·月考）如果，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·四川南充·期末）“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（25-26高一上·云南楚雄·期末）“角为第二象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型八 同角关系求值 解｜题｜技｜巧 已知一个三角函数值，先由平方关系求另一个（开方结合象限定符号），再用商数关系验证；已知象限优先定符号，避免多解、错解 【典例1】（25-26高一上·天津·期末）已知是第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·北京房山·期中）在中，若，则________. 【变式2】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知角满足. (1)若，求，的值； (2)若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. 【变式3】（25-26高一上·山西长治·期末）（1）已知，且为第二象限角，求，的值； （2）已知，求的值． 题型九 与正余弦和差积有关的求值 解｜题｜技｜巧 利用平方变换，将和差、积相互转化；联立已知条件求解，最后结合象限判断符号，得出最终结果 【典例1】（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 【变式3】（24-25高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则______. 题型十 同角公式中弦化切求值 解｜题｜技｜巧 已知时，将式子分子、分母同除以（），转化为关于的代数式，代入求值；避开（）的情况 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知，则 （1）______． （2）______． 【变式1】（25-26高三上·福建福州·期中）已知，则的值（   ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【变式2】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 【变式3】（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型十一 诱导公式的化简求值 解｜题｜技｜巧 遵循“奇变偶不变，符号看象限”口诀；第一步判断中的奇偶性，确定是否变函数名；第二步将看作锐角，判断原角象限定符号；第三步化简求值，整理为最简形式 【典例1】（24-25高一下·上海宝山·期中）（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【变式1】（2025·山东烟台·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【变式3】（25-26高一上·广西·期中）已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 题型十二 诱导公式中角的拼凑及综合同角公式的求值 解｜题｜技｜巧 观察角的特点，将非特殊角拼凑为特殊角或已知角（如），利用诱导公式化简；再结合同角关系分步求值，先化简角，再化简函数式，避免计算失误 【典例1】（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【变式2】（24-25高一下·北京房山·期中）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 【变式3】（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十三 三角函数的值域与最值 解｜题｜技｜巧 分三种情况：①基本三角函数：、值域，值域；②简单复合函数（如），结合基本值域用不等式性质求解；③结合角的取值范围，确定函数值区间再求最值 【典例1】（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是______． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，.当时，则的最大值为_____. 【变式2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 题型十四 三角函数的二次型最值 解｜题｜技｜巧 将函数整理为（或），令（或），转化为（）；结合二次函数开口方向、对称轴，结合的范围求最值，注意不超出 【典例1】（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式1】（23-24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）若关于x的方程在内有两个不同的解，则（    ） A． B． 或 C． 或 D．或 题型十五 三角函数的单调性及求参数 解｜题｜技｜巧 牢记基本三角函数单调区间，结合复合函数“同增异减”原则（与单调性相反）；求参数时，建立单调区间与题干区间的不等式，标注，验证参数合理性 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·河南·月考）函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型十六 三角函数的奇偶性及求参数 解｜题｜技｜巧 先判断定义域是否关于原点对称（不对称则非奇非偶）；奇函数满足（如需），偶函数满足（如需）；求解参数后验证定义域 【典例1】（25-26高一下·江西赣州·月考）已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·新疆和田·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十七 三角函数的对称性及求参数 解｜题｜技｜巧 牢记基本函数对称规律，复合函数：对称轴满足，对称中心满足（）；将题干对称点/对称轴代入，建立方程求解并验证 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【变式1】（25-26高一上·陕西商洛·期末）记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【变式2】（25-26高一下·河南商丘·月考）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知函数在区间上具有单调性，若，则 （   ） A． B． C． D． 题型十八 三角函数的图像与变换 解｜题｜技｜巧 明确两种核心顺序，避免混淆：①先平移后伸缩：（平移量）；②先伸缩后平移：（平移量）；分步标注解析式 【典例1】【多选题】（25-26高三上·宁夏吴忠·期中）先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在上单调递减 C．时， D．其图象关于点对称 【变式1】（25-26高三上·江西抚州·期中）将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且函数为奇函数 (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．若且，求的值． 【变式3】（25-26高二上·广西南宁·期中）已知函数的图象与的图象关于轴对称，将图象的横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得函数的图象. (1)求图象的对称中心； (2)求取最大值时自变量的取值集合. 题型十九 三角函数由图像求解析式 解｜题｜技｜巧 步核心：①求：；②求：（为图像完整周期）；③求：代入特殊点（最高点、最低点），结合求解，结合单调性避免多解 【典例1】（25-26高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 【变式1】【多选题】（25-26高一上·江西宜春·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【变式2】（25-26高三上·天津西青·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：    ①的最小正周期为； ②在区间上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中错误结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】【多选题】（25-26高三上·吉林长春·期中）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象向左平移个单位长度后得到函数 C．的图象关于直线对称 D．若方程在上有且只有6个根，则 题型二十 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 第一步审题，将实际问题转化为三角函数模型（通常为或）；第二步结合实际条件（最值、周期、初始值）确定参数、、、；第三步利用函数性质求解问题，回归实际验证合理性 【典例1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为________分钟. 【变式1】【多选题】（24-25高一上·江苏淮安·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【变式2】（2025高二下·陕西·学业考试）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过_________可以达到最高点（精确到1s）. 【变式3】（24-25高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)角的终边过点，（   ） A．2 B． C． D． 3．(25-26高一上·河南安阳天一大联考·期中)已知点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 4．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期中)下列说法中正确的是（   ） A．终边在轴上角的集合是 B．角终边落在第一象限，则角为锐角 C．角是第二象限角，则是在二，三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 5．(25-26高一上·福建厦门外国语学校·期中)如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 6．(25-26高三上·福建福州平潭翰英中学·期中)函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为减函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 三、解答题 7．(25-26高一上·江苏盐城集团校·期中)（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值． 8．(23-24高一上·云南曲靖民族中学·期末)已知，且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 9．(25-26高一上·山东新泰第一中学·)已知函数． (1)求的单调递增区间和对称中心的坐标； (2)当 ，求的最值及此时的值． 10．(24-25高一下·江西上饶民校考试联盟·)已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在区间上的单调性； 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（   ） A．2 B． C． D．3 2．(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与射线交于点，已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则所对圆心角为 D．若所对圆心角为 ，则 二、多选题 3．(25-26高一上·河南安阳天一大联考·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·辽宁凤城第二中学·期中)下列说法正确的是（    ） A．若终边上一点的坐标为，则 B．若角为锐角，则为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D．若，且，则 5．(24-25高一下·辽宁凤城第二中学·期中)已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小正周期是 B． C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 6．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．是函数的对称轴 D．在上的最小值为 7．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．的表达式可以写成 B． C．在区间上单调递增 D．若方程在上有且只有6个根，则 三、填空题 8．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知函数，若方程在上恰好存在6个实数根，则的取值范围为________. 四、解答题 9．(24-25高三上·河南许平汝名校·期中)（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求 的值； （2）已知，且，求的值. 10．(25-26高一上·广东深圳宝安中学·期中)已知. (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值. 11．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象； 0 (2)若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程. 12．(24-25高一下·广东江门新会区陈经纶中学·期中)如图所示，摩天轮直径为110m，最高点距离地面120m，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30min． (1)某游客自最低点处登上摩天轮，请问5min后他距离地面的高度是多少？ (2)若甲、乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离； 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数；        ②在区间单调递增； ③在有3个零点；    ④的最大值为2． 其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．(24-25高一下·江西鹰潭余江区第一中学·期末)已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．(24-25高一下·北京房山区·期中)气候变化是人类面临的全球性问题，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，其图象如图．则下列结论正确的是（   ）    A． B．函数的最小正周期为 C．， D．若是偶函数，则的最小值为2 二、填空题 4．(24-25高一下·上海育才中学·期中)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 5．(24-25高一下·辽宁大连滨城高中联盟·月考)已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则_______． 6．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)对于函数，给出下列四个命题： ①该函数的最小值为； ②该函数是以为最小正周期的周期函数； ③当且仅当（）时，该函数取得最大值； ④当且仅当（）时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 7．(24-25高一下·山东潍坊·期中)函数在上的零点从小到大依次为，则的值为________. 8．(24-25高一下·上海金山中学·期中)定义在上的函数（，，），其图象与水平直线的交点从左往右分别记为，，…．若，则的最大值是_____． 三、解答题 9．(24-25高一下·广东江门培英高级中学·期中)已知函数部分图象如图所示． (1)求和的值； (2)求函数在上的单调递增区间； (3)将向右平移个单位长度得到函数，已知函数在上存在零点，求实数a的最小值和最大值． 10．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示. 驾驶行为类别 阈值 饮酒驾车 醉酒驾车 经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量（单位：）随时间（单位：h）变化的函数模型可表示为，根据上述条件： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计；参考数据：，） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $