专题03 一元一次不等式（组）（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）七年级数学下学期新教材湘教版

清单03 一元一次不等式（组）（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“=”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 清单02 列不等式 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 清单03 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 清单04 不等式的解与解集 不等式的解:满足一个不等式的未知数的个值,称为这个不等式的一个解 不等式的解集:一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集. 解不等式;求一个不等式的解集的过程。 清单05 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 清单06 一元一次不等式的应用 由实际问题中的不等关系列出不等式,就能把实际问题转化为数学问题,通过解不等式可以得到实际问题的答案。 清单07 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 清单08 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的公共部分,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 清单09 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【考点题型一】不等式的意义（） 【例1】下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号（、、、、）连接起来表示不等关系的式子叫做不等式．掌握基本定义是解决这类基础题目的关键，根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：①，是不等式， ②是不等式， ③是代数式， ④是不等式， ⑤是等式， ⑥是不等式， ⑦是等式， ⑧是不等式， ⑨是不等式， 则不等式的有①②④⑥⑧⑨一共6个， 故选：D 【变式1-1】下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、不是不等式，故A选项不符合题意； B、不是不等式，故B选项不符合题意； C、是不等式，故C选项符合题意； D、不是不等式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】若□2是不等式，则符号“□”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 用符号“”、“”或“”、“ ”表示大小关系的式子，叫做不等式． 如； 像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可知， 若□2是不等式，则符号“□”可以是； 故选：D． 【考点题型二】不等式的基本性质的应用（） 【例2】已知实数，满足：，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质．由得到，把，代入求出，进而得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A、 ， ， ， ， 故A正确，不符合题意； B、 ， ， ，即， 故B正确，不符合题意； C、 ， ， ， ， ， ，即， 故C错误，符合题意； D、 ， ， ， ， ， ，即， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】若，且，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质得到，在，0，1，2中，即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 在，0，1，2中， 故选：A． 【变式2-2】已知实数 满足：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故正确； 故选：． 【变式2-3】如果，是否一定有？请说明理由． 【答案】一定有，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，先根据不等式的两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变得，再根据不等式的两边同时减去同一个数，不等号的方向不变得． 【详解】解：如果，一定有，理由如下： 因为， 所以， 所以． 【考点题型三】求一元一次不等式的解集（） 【例3】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了求不等式的解集．按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得到，， 系数化为1得，， 故答案为：． 【变式3-1】若关于的不等式可化为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 根据已知解集得到，即可确定出a的范围． 【详解】∵关于的不等式可化为， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式3-2】解不等式． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．根据不等式的性质求解即可． 【详解】解： ． 【变式3-3】解下列不等式． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式． （1）去括号，移项，合并同类项， 两边都除以2即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，两边都除以即可． 【详解】（1）解： 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 两边都除以2，得． （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 两边都除以，得． 【考点题型四】在数轴上表示不等式的解集（） 【例4】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集的有关知识， 掌握数轴表示不等式的方法是解题的关键； 由题意先求出该不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解∶ ∴， 在数轴上表示为∶； 故选：C． 【变式4-1】不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．先求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可得到答案． 【详解】解： ∴ 把表示在数轴上如下： 故选：A 【变式4-2】解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的求解及在数轴上表示解集，解题的关键是依据不等式的基本性质逐步化简不等式． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步㡠求解不等式，再将解集在数轴上表示． 【详解】解： 去分母得：， 移项：， 合并：， 解得：； 在数轴上表示出来： 【变式4-3】解下列不等式，并把解集表示到数轴上． (1) (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练计算是解题的关键． （1）先去括号，再移项，即可解答，再把解集表示到数轴上； （2）先去分母，然后去括号，再移项，即可解答，再把解集表示到数轴上． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 表示在数轴上为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 表示在数轴上为：． 【考点题型五】求一元一次不等式的整数解（） 【例5】若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；由题意易得不等式的解集为，然后根据最小整数解为2可进行求解． 【详解】解：由不等式可知：， ∵关于的不等式的最小整数解是2， ∴， 解得：； 故答案为：． 【变式5-1】满足不等式的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解．先求出不等式的解集，再求出整数解即可． 【详解】解：解不等式，得， 所以最小整数解是． 故答案为：． 【变式5-2】不等式的非负整数解是 ． 【答案】0，1，2 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是0，1，2． 故答案为：0，1，2． 【变式5-3】已知：代数式的值不小于代数式与1的差，求x的正整数解． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的正整数解，根据题意可得不等式，解不等式求出不等式的解集，进而确定其正整数解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值不小于代数式与1的差， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴x的正整数解为1，2，3，4． 【考点题型六】求一元一次不等式的最值（） 【例6】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 【变式6-2】已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 【变式6-3】已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 【变式6-4】已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 【考点题型七】一元一次不等式的实际应用（） 【例7】某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于10%的情况下，打x折，则下列说法正确的是（   ） A．依据题意得 B．依据题意得 C．该款羽绒服可以打折 D．该款羽绒服最多打折 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据标价×打折-进价=利润，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：根据题意可列方程，． 解不等式得， ∴最多打折． 故选：D． 【变式7-1】采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长必须超过 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要导火线的长为，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设需要导火线的长为， 由题意得，， 解得， ∴需要导火线的长必须超过， 故答案为：． 【变式7-2】为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“多香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本供学生阅读．若购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元． (1)求甲种读本和乙种读本的售价各是多少元？ (2)若学校购买甲、乙两种读本，总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的，求学校最多能购买乙种读本多少本？ 【答案】(1)甲种读本每本8元，乙种读本每本10元 (2)学校最多能购买乙种读本20本 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）根据“购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元”列方程组求解； （2）根据“总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的”列不等式求解． 【详解】（1）解：设甲种读本每本x元，乙种读本每本y元．根据题意，得： ， 解这个方程组，得， 答：甲种读本每本8元，乙种读本每本10元． （2）解：设学校购买乙种读本m本，则购买甲种读本3m本． 根据题意，得， 解这个不等式，得 答：学校最多能购买乙种读本20本． 【变式7-3】某充电站推出夜间充电优惠活动，晚上10点到早上6点电价为每度0.4元，其他时间段则为每度0.7元．小明的电动汽车电池容量为60度，目前剩余20%的电量，需要将其充满．若小明希望总费用比全部在非优惠时段充电节省至少10元，那么他至少需要在优惠时段充电多少度？（充电度数保留整数） 【答案】34度 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，合理分析题意列出不等式方程是解题的关键．设小明在优惠时段充电度，根据总费用比全部在非优惠时段充电节省至少10元，列出不等式运算即可． 【详解】解：设小明在优惠时段充电度． 小明需要充电的度数为度． 由题意可得． 解得． 的最小整数值为34． 答：当总费用比全部在非优惠时段充电节省至少10元时，至少需要在优惠时段充电34度． 【考点题型八】一元一次不等式组的定义（） 【例8】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【变式8-2】下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 【考点题型九】求不等式组的解集（） 【例9】不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为： 【变式9-1】不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．熟知计算原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 【变式9-2】解不等式组：． 【答案】 【分析】此题考查了解不等式组，正确计算是解题的关键．求出每个不等式的解集，取公共部分即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 【变式9-3】解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． （1）先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集； （2）先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 【变式9-4】解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 【考点题型十】求一元一次不等式组的整数解（） 【例10】若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质解不等式组，再根据不等式组的取值方法得到解集，由只有3个整数解的含义即可求解． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴， ∵不等式组只有3个整数解，即整数解为， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式10-1】求不等式组的整数解． 【答案】不等式组的整数解为 【分析】本题考查了不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求出公共部分得到不等式组的解集，即可求出不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为． 【变式10-2】解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为1，2，3，4 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集确定正整数解即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得. 解不等式②，得. 故原不等式组的解集为. 故正整数解为1，2，3，4. 【变式10-3】解不等式组：，并写出它的最大整数解． 【答案】，最大整数解为 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 分别解不等式，求解集的公共部分，再找出整数解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∴最大整数解为． 【考点题型十一】由不等式组解集的情况求参数（） 【例11】若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是自然数进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】解：由，得， 方程的解为正整数，， 解得：， 解①得， 解②得， ， 不等式组无解， ， 即整数， 为正整数，， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：A． 【变式11-1】若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数k的值以及是正整数的条件即可解答． 【详解】解：由，得， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得：， ∵， ∴解①得， 解②得， ∴， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 即整数， ∵为正整数， ∴，或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：D． 【变式11-2】若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得，则，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 【变式11-3】已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 【变式11-4】已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 【考点题型十二】不等式组与方程组的综合应用（） 【例12】新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：①， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解： 解得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 解得， ∴． 【变式12-1】已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程组和一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键． （1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）根据， ，求出，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：， 即的取值范围是：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式12-2】已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． （1）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是非负数建立关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得； （2）根据（1）的答案可得，，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵关于、的方程组的解是非负数， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴，， ∴ ． 【变式12-3】已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组和方程组的方法，准确计算． （1）先解方程组得出，然后根据x为非正数，y为负数得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可； （2）先将不等式整理为，然后根据不等式的解集为，得出，求出，根据，得出不等式的解集，根据取整数，可得． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 为非正数，为负数， ， ， 解得， 的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， 其解集为， ， 解得， ． 结合取整数，可得， 即当时，不等式的解集为 【考点题型十三】一元一次不等式组的实际应用（） 【例13】某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米 (2)施工时有4种调配方案，方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每台型挖掘机一小时挖土立方米，每台型挖掘机一小时挖土立方米，根据“3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配台型挖掘机，则调配台型挖掘机，根据“不同数量的型和型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各调配方案． 【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得： 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7，8，9， 施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 【变式13-1】5时代的到来，将给人类生活带来巨大改变，现有，两种型号的5手机，进价和售价如表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进，两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进，两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进，两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于13800元，问有几种购进方案？ 【答案】(1)营业厅购进型号手机部，型号手机部 (2)有三种购进方案 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式组． （1）根据题意和表中的数据，设出未知数，列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意设出未知数，列出关于两种型号手机数量的关系式，并根据利润列出不等式，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设营业厅购进型号手机部，型号手机部，根据题意，得： ， 解方程组，得 ∴营业厅购进型号手机部，型号手机部． （2）解：设营业厅购进型号手机部，型号手机部，根据题意，得： 解不等式组得 ∴可取整数10,11,12 即有三种购买方案： 方案一：购买型号手机部，型号手机部 方案二：购买型号手机部，型号手机部 方案三：购买型号手机部，型号手机部 ∴有三种购买方案． 【变式13-2】小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 (2)元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 【详解】（1）解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； （2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 【变式13-3】为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键． （1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可； （2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据题意列出不等式组求出整数解即可． 【详解】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人； （2）解：师生总数为（人）， ∵每位老师负责一辆车的组织工作， ∴一共租8辆车， 设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆， 根据题意，得： ， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可取3，4，5， ∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． 【变式13-4】.某小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元． (1)A型健身器材和B型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元．请通过计算说明共有几种购买方案？ 【答案】(1)A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元 (2)共有2种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，能够理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解答本题的关键． （1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，根据“购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m台A型健身器材，则购买台B型健身器材，根据“购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可求解． 【详解】（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元， 依题意得：， 解得： 答：A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元． （2）设购买m台A型健身器材，则购买台B型健身器材， 依题意得： 解得：． 又为整数， 可以为5，6， 共有2种购买方案． 【考点题型十四】 不等式的新定义问题（） 【例14】阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查取整函数，理解表示不超过的最小整数，由题意得到，，进而确定，，，解不等式组得到即可由定义得到答案．理解取整函数定义是解决问题的关键． 【详解】解： ，，， ，， 则，，， 解得， ， 故答案为：． 【变式14-1】如果一个四位数满足，，那么称这个四位数为“国庆数”．将“国庆数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若是最大的“国庆数”，则 ；对于“国庆数”，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，熟练根据题意正确列出式子，并利用不等式性质确定范围是解题的关键．先利用定义得出，，然后计算出；若是最大的“国庆数”，结合，，则要尽可能大，且要尽可能大，即可得；利用，则要使能被整除，只需能被整除即可，结合，，得出可以为或或，且每种情况都有解，再利用，求出最大的，此时，再结合要使最小，则应尽可能小，即可求解． 【详解】解：∵一个四位数满足，， ∴，，且，，，，且、、、为整数， ∴， 由题意得， ∴， ∴； 若是最大的“国庆数”， 则要尽可能大， 则，， 且要尽可能大， 则，， 则此时， 则； ∵， ∴要使能被整除，只需能被整除即可， ∵，， ∴， ∴可以为或或，且每种情况都有解， ∵， 当时，； 当时，； 当时，； ∴要使取得最大值，则， ∴， 要使最小，则应尽可能小， 结合，，，可得最小为， 则，，， ∴当取得最大值时，最小的“国庆数”为， 故答案为：；． 【变式14-2】定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 【答案】(1) (2)2025 (3)2 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程的“变更方程”方程为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵m是整数， ∴， 当时，，，符合题意， ∴． 【变式14-3】若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【答案】(1)0，3 (2) (3)， 【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到n的取值范围． 本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 【详解】（1）解：∵当时，则无正整数解， ∴是0阶不等式； ∵ ∴ ∴． ∴有3个正整数解，为1，2，3． ∴是3阶不等式组． 故答案为：0，3； （2）解：∵关于x的不等式是4阶不等式， ∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴． 故答案为：； （3）解：∵关于x的方程的解是不等式的正整数解， ∴ ∴，， ∴m为偶数，且， ∴， ∴， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 【变式14-4】如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 【提升训练】 一、单选题 1．下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义求解即可，一元一次不等式含有未知数，且未知数的最高次数为1次， 本题还要注意未知数的系数不能是0． 【详解】解：不是一元一次不等式，故①不符合题意； 是一元一次不等式，故②符合题意； 不是一元一次不等式，故③不符合题意； 不是一元一次不等式，故④不符合题意； 不是一元一次不等式，故⑤不符合题意； 故是一元一次不等式的有1个， 故选：D． 2．若，下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”逐项判断即可解题． 【详解】解：A、由两边同时加上8，可得，正确，不符合题意； B、由两边同时乘以4，可得，正确，不符合题意； C、由两边同时除以7，可得，正确，不符合题意； D、由两边同时乘以再加上1，可得，原写法错误，符合题意； 故选：D． 3．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集在数轴上表示为， 故选：． 4．不等式的负整数解个数为（   ） A．0个 B．4个 C．5个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式的解集，负整数解的定义，先解出的解集为，再结合负整数解的定义进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴不等式的负整数解为， 故选：B 5．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以30岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键． 根据题意得到，把年龄代入得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 把年龄代入得， ， 故选：C． 6．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 7．如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组恰有2个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组得：， ∵恰好有2个整数解， ∴整数解是2，1， ∴． 故选：D． 8．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练在掌握不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．根据不等式组无解，结合大大小小找不到（无解），即可判断与的大小关系． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴的取值范围是， 故选：B． 9．若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【详解】解：由方程，得， ∵关于的方程的解为非负整数， ∴，得， ， 由①，得， 由②，得， ∵关于的不等式组有解， ∴，得， 由上可得，， ∴符合条件的整数的值为：，0，1，2，3， ∴符合条件的整数的值的和为：． 故选：C． 10．对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（    ） ①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题是新定义型题目，主要考查了有理数与数轴，数轴上的点与表示这个的点的数字的特征，解不等式组，理解新定义并熟练应用以及用数轴上的点对应的数字表示线段的长度，然后逐个分析即可． 【详解】点，，分别表示，，2， ，， ， 点是点到点的倍分点，故①正确； ， 点是点到点的倍分点．故②错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点A到点D的4倍分点，对应的数字为，则， ∵点在线段上， ∴， ∴，， ∴ ∴ 当时，， 解得， ∴，解得， 当时，， 解得， ∴，解得， 综上所述，或， ∴，故④正确； 正确的有2个， 故选：B． 二、填空题 11．的3倍与的4倍的和小于0，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，先分别表示出的3倍和的4倍，再根据二者的和小于0列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，的3倍与的4倍的和小于0，用不等式表示为， 故答案为：． 12．若，且，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质．原不等式两边同时乘以后不等号改变方向，则，则． 【详解】解：∵若，且， ∴， 则； 故答案为：． 13．已知关于的方程的解大于1，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解一元一次不等式，根据解一元一次方程的解求参数的取值范围，先解出x的值，然后再根据解大于1．列出关于k的一元一次不等式，求解即可得出答案． 【详解】解： 根据题意： ， 解得：． 故答案为：． 14．若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集；根据不等式的基本性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集是， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 15．已知的最小值为，的最大值为，则 ． 【答案】 【解析】略 16．不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解不等式组，解得，根据不等式组无解，即可求m的值． 本题考查的是不等式组的整数解和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：不等式组无解， 无解， 故答案为： 17．某数学社团计划将社团成员分成若干小组，开展深究活动．若每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人．该数学社团的人数是 ． 【答案】51或59 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设共分为x组，根据每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人，表示出该班人数以及不等式组，进而可求出班级人数． 【详解】解：设共分为x组， 由题意得， 解得， x为整数， x的值为6或7， 当时，该数学社团的人数是：， 当时，该数学社团的人数是：， 故答案为：51或59． 18．已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．根据是不等式的解，不是不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答． 【详解】解：依题意， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 19．若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式组的整数解问题，根据条件可得，可得，再结合正整数可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4， ∴， ∴， ∴ 解得：； 故答案为： 三、解答题 20．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式； （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 21．下面是小星同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以，得……第五步 (1)上述求解过程中，第三步变形的依据是________； (2)上述求解过程中的第________步发生错误，具体错误为________； (3)该不等式的解集应为________． 【答案】(1)不等式的性质1 (2)五，两边都除以时，不等号方向没有改变 (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，理解了解一元一次不等式的步骤及依据是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可求解； （2）根据解不等式的性质即可求解； （3）根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 上述求解过程中，第三步变形的依据是不等式的性质1； （2）解：上述求解过程中的第五步发生错误，具体错误为两边都除以时，不等号方向没有改变； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 22．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 23．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 去分母，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 两边都除以7，得．        第五步 任务一：以上解题过程中，第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． 任务二：请正确解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：一去分母时，常数项1漏乘10，任务二：，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 任务一：根据运算法则求解即可； 任务二：根据运算法则求解并在数轴上表示即可． 【详解】任务一：解：∵去分母所有项乘后结果为：， 故第一步错误，去分母时，常数项漏乘； 故答案为：一；去分母时，常数项漏乘； 任务二： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得， 解集在数轴上表示如图： ． 24．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如表所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包种食品？ 【答案】(1)选用种食品4包，种食品2包 (2)3包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用种食品包，种食品包，再结合“要从这两种食品中摄入热量和蛋白质”，这个条件进行列方程组，再解出，即可作答． （2）根据“每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于”这个条件进行列不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设选用种食品包，种食品包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用种食品4包，种食品2包． （2）解：设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意，得． 解得． ∴最多能选用A种食品3包． 25．对于，定义一种新运算，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． (1)_______；________． (2)解不等式组； (3)若关于的不等式的最大整数解为，则________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键． （1）根据题意代入数值计算即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可； （3）根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可 【详解】（1）解：由题意可得，，， 故答案为： （2）由题意可知可化为 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集是 （3）由题意可得， 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为整数， ∴ 故答案为： 26．阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)(1) ； (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键． （）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值； 由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的取值范围是， ∴， 解得：． 27．某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵10元，购买2件款文化衫和3件款文化衫共需要220元． (1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元； (2)已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请问共有多少种购买方案？ 【答案】(1)款文化衫每件50元，款文化衫每件40元 (2)3种 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设款文化衫每件元，款文化衫每件元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买款文化衫件，则购买款文化衫件，根据总费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半建立不等式组，解不等式组求出正整数解，由此即可得． 【详解】（1）解：设款文化衫每件元，款文化衫每件元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元． （2）解：设购买款文化衫件，则购买款文化衫件， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴满足条件的所有的值为， 答：共有3种购买方案． 28．已知关于的不等式组的所有解都是正数； (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，化简绝对值，无理数的估算，不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解不等式组，可知，结合不等式的所有解都是正数，可知，从而解得的范围； （2）由（1）的范围，可知，，然后化简绝对值即可； （3）由（1）的范围，可知可以是5，6，解不等式可知，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，那么，从而解得答案． 【详解】（1）解：， 解①得， ， 解②得，， ， 关于的不等式组的所有解都是正数， ， ； （2）解：， ，， ； （3）解： ， ，， ， ， 可以是5，6， ， 所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解， ， ． 29．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一元一次不等式（组）（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“=”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 清单02 列不等式 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 清单03 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 清单04 不等式的解与解集 不等式的解:满足一个不等式的未知数的个值,称为这个不等式的一个解 不等式的解集:一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集. 解不等式;求一个不等式的解集的过程。 清单05 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 清单06 一元一次不等式的应用 由实际问题中的不等关系列出不等式,就能把实际问题转化为数学问题,通过解不等式可以得到实际问题的答案。 清单07 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 清单08 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的公共部分,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 清单09 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 【考点题型一】不等式的意义（） 【例1】下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若□2是不等式，则符号“□”可以是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】不等式的基本性质的应用（） 【例2】已知实数，满足：，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若，且，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知实数 满足：，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如果，是否一定有？请说明理由． 【考点题型三】求一元一次不等式的解集（） 【例3】不等式的解集为 ． 【变式3-1】若关于的不等式可化为，则的取值范围为 ． 【变式3-2】解不等式． 【变式3-3】解下列不等式． (1)． (2)． 【考点题型四】在数轴上表示不等式的解集（） 【例4】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【变式4-3】解下列不等式，并把解集表示到数轴上． (1) (2)． 【考点题型五】求一元一次不等式的整数解（） 【例5】若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是 ． 【变式5-1】满足不等式的最小整数解是 ． 【变式5-2】不等式的非负整数解是 ． 【变式5-3】已知：代数式的值不小于代数式与1的差，求x的正整数解． 【考点题型六】求一元一次不等式的最值（） 【例6】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【变式6-1】已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【变式6-2】已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【变式6-3】已知、满足和，求的最小值． 【变式6-4】已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【考点题型七】一元一次不等式的实际应用（） 【例7】某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于10%的情况下，打x折，则下列说法正确的是（   ） A．依据题意得 B．依据题意得 C．该款羽绒服可以打折 D．该款羽绒服最多打折 【变式7-1】采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长必须超过 ． 【变式7-2】为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“多香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本供学生阅读．若购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元． (1)求甲种读本和乙种读本的售价各是多少元？ (2)若学校购买甲、乙两种读本，总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的，求学校最多能购买乙种读本多少本？ 【变式7-3】某充电站推出夜间充电优惠活动，晚上10点到早上6点电价为每度0.4元，其他时间段则为每度0.7元．小明的电动汽车电池容量为60度，目前剩余20%的电量，需要将其充满．若小明希望总费用比全部在非优惠时段充电节省至少10元，那么他至少需要在优惠时段充电多少度？（充电度数保留整数） 【考点题型八】一元一次不等式组的定义（） 【例8】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【变式8-2】下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【考点题型九】求不等式组的解集（） 【例9】不等式组的解集为 ． 【变式9-1】不等式组的解集为 ． 【变式9-2】解不等式组：． 【变式9-3】解不等式组： (1)； (2)． 【变式9-4】解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【考点题型十】求一元一次不等式组的整数解（） 【例10】若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【变式10-1】求不等式组的整数解． 【变式10-2】解不等式组并写出它的正整数解． 【变式10-3】解不等式组：，并写出它的最大整数解． 【考点题型十一】由不等式组解集的情况求参数（） 【例11】若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式11-1】若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【变式11-2】若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【变式11-3】已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式11-4】已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【考点题型十二】不等式组与方程组的综合应用（） 【例12】新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【变式12-1】已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【变式12-2】已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【变式12-3】已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【考点题型十三】一元一次不等式组的实际应用（） 【例13】某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【变式13-1】5时代的到来，将给人类生活带来巨大改变，现有，两种型号的5手机，进价和售价如表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进，两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进，两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进，两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于13800元，问有几种购进方案？ 【变式13-2】小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式13-3】为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【变式13-4】.某小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元． (1)A型健身器材和B型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元．请通过计算说明共有几种购买方案？ 【考点题型十四】 不等式的新定义问题（） 【例14】阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 【变式14-1】如果一个四位数满足，，那么称这个四位数为“国庆数”．将“国庆数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若是最大的“国庆数”，则 ；对于“国庆数”，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数”为 ． 【变式14-2】定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 【变式14-3】若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【变式14-4】如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【提升训练】 一、单选题 1．下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若，下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 4．不等式的负整数解个数为（   ） A．0个 B．4个 C．5个 D．无数个 5．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以30岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 6．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 7．如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 10．对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（    ） ①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．的3倍与的4倍的和小于0，用不等式表示为 ． 12．若，且，则的取值范围是 ． 13．已知关于的方程的解大于1，则的取值范围是 ． 14．若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围为 ． 15．已知的最小值为，的最大值为，则 ． 16．不等式组无解，则m的取值范围是 ． 17．某数学社团计划将社团成员分成若干小组，开展深究活动．若每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人．该数学社团的人数是 ． 18．已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是 ． 19．若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 三、解答题 20．解不等式： (1)； (2)． 21．下面是小星同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以，得……第五步 (1)上述求解过程中，第三步变形的依据是________； (2)上述求解过程中的第________步发生错误，具体错误为________； (3)该不等式的解集应为________． 22．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 23．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 去分母，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 两边都除以7，得．        第五步 任务一：以上解题过程中，第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． 任务二：请正确解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 24．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如表所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包种食品？ 25．对于，定义一种新运算，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． (1)_______；________． (2)解不等式组； (3)若关于的不等式的最大整数解为，则________． 26．阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 27．某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵10元，购买2件款文化衫和3件款文化衫共需要220元． (1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元； (2)已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请问共有多少种购买方案？ 28．已知关于的不等式组的所有解都是正数； (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 29．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$