第3章 一元一次不等式（组）章节复习（6大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

第3 章 一元一次不等式（组）章节复习 教学目标 1. 理解不等式、一元一次不等式（组）及解集的概念，掌握不等式基本性质，能正确区分等式与不等式的运算差异。 2. 熟练解一元一次不等式（组），规范步骤、会在数轴上表示解集，能借助数轴找公共部分，体会数形结合。 3. 能从实际问题中抽象不等关系，列不等式（组）求解并检验合理性，建立数学模型，提升应用与逻辑能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握不等式基本性质（尤其负数乘除变号），熟练解一元一次不等式（组），规范书写、准确求解集。 （2）用数轴表示解集，正确找不等式组的公共部分；能从实际问题提炼不等关系，建立并应用模型。 2.难点 （1）理解不等式组解集“公共部分”，掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，判断有无解。 （2）解不等式时负数系数化一易忘变号；实际问题中挖掘隐性条件、准确翻译“至少、不超过”等词并建模。 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3.一元一次不等式（组）的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到 下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． ②已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点06 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解． 题型01 不等式的判断 【典例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的定义“用不等号连接的式子是不等式”逐项判断即可． 【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不是不等式，不符合题意； B．是用等号连接的等式，不是不等式； C．是用不等号连接的式子，符合不等式的定义，是不等式，符合题意； D．是用等号连接的等式，不是不等式，不符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·上海·月考）下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 【变式2】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 【答案】 【分析】先分别表示出的9倍与的，再根据和为正数的条件列出不等式． 【详解】解： 的倍为，的为，因为两个式子的和是正数，正数都大于， 因此可得不等式：． 【变式3】（22-23七年级下·河南驻马店·期中）假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为________． 【答案】80（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键．根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可． 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）． 题型02 不等式的基本性质 【典例2】（2026·河北保定·模拟预测）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式两边乘同一个负数时不等号方向改变的性质，对已知不等式变形即可得到结果． 【详解】∵，根据不等式性质，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， 将不等式两边同时乘以， ∴． 【变式1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、，不等式两边同时减，则，故A正确； B、，不等式两边同时乘以，则，故B正确； C、，不等式两边同时乘以，则，故C正确； D、，不等式两边同时乘以，则，然后不等式两边同时加，则，故D错误，不成立． 【变式2】（2026·广东广州·模拟预测）若，则____0． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026·广西南宁·二模）若，则______． 【答案】 【分析】不等式的性质：①不等号的两边同时加上（减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等号的两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；③不等号的两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 题型03 一元一次不等式（组）的定义 【典例3】（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，据此可得答案． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、中未知数的最高次为2，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的概念即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 题型04 解一元一次不等式（组） 【典例4】（25-26八年级下·广东佛山·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【详解】解：， 去括号得， 移项、合并得， 系数化为1得：， 用数轴表示为： ． 【变式1】（2021-2022学年云南省楚雄州七年级下学期期末数学试卷）将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由不等式，得， 由不等式，得， 故原不等式组的解集是． 在数轴上表示如图所示： 【变式2】（21-22七年级下·重庆铜梁·周测）求不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来. (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元一次不等式按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可； （2）解不等式组需要先分别解出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到最终结果，然后在数轴上表示解集，注意带等号是实心，不带等号，是空心． 【详解】（1）解： 不等式两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∴不等式的解集为， 数轴表示为： （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 数轴表示为： 【变式3】（25-26八年级下·山东·月考）解不等式和不等式组 (1)解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组： 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： 解得， 在数轴上表示解集为： （2）解：， ①： 解得； ②： 解得， ∴原不等式组的解集是． 题型05 一元一次不等式（组）的整数解 【典例5】（2026·河北张家口·一模）能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解： ， ， ， ， ∴ 满足条件的负整数只有，共个． 【变式1】（2026九年级下·河南信阳·专题练习）关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数，计算整数解的和即可． 【详解】解∶解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该解集范围内的整数解只有， ∴整数解的和为． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）关于x的不等式的最大正整数解是__________． 【答案】3 【分析】先按照一元一次不等式的解法求解不等式，得到不等式的解集后，再在解集中找出最大的正整数即可． 【详解】解： ∴该不等式的正整数解为， ∴该不等式的最大正整数解为． 【变式3】（2026九年级下·重庆·专题练习）求不等式组：的所有整数解． 【答案】 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 其整数解为． 题型06 根据一元一次不等式的解集求参数 【典例6】（22-23七年级下·河南南阳·期中）若不等式的解集为，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】求得不等式的解集，由题意可得出，则可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵不等式的解集为， ∴ 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的解集．先求出不等式得到，进而根据意义得到，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， ， ， ， 故选：B 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，方程思想的应用，掌握解不等式得到解集表达式，通过解集相等建立方程求参数是解题的关键． 通过解不等式得到关于的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解． 【详解】解：解不等式， 化简得，即， 移项得， 由于解集为， 因此， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组的解集是，则的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为确定出a、b的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为， ∵解集是， ∴且， 解得，， ∴， 故答案为：1． 题型07 根据一元一不等式组的解集的情况求参数的取值范围 【典例7】（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 【变式1】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）已知关于的不等式组有三个整数解，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别解出两个一元一次不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集；再根据“不等式组有三个整数解”这一条件，找出对应的三个整数解，最后通过分析边界情况确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有三个整数解，即，，， ∴： 若，则不等式组的整数解会包含，此时共有四个整数解，不符合题意；若，则不等式组的整数解少于三个，也不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2022·河南信阳·二模）若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求解不等式组中第二个一元一次不等式.，再根据一元一次不等式组解集的确定原则得到关于的不等式，最后求解即可得到的取值范围． 【详解】解：解不等式， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘，不等号方向改变，得． 不等式组的解集是， ∴， 不等式两边同除以，不等号方向改变，得． 【变式3】（黑龙江龙东地区2025-2026学年九年级下学期一模数学试卷）若关于的不等式组只有3个整数解，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于的不等式组只有3个整数解， ∴， 解得． 题型08 整式方程（组）与一元一不等式（组）结合求参数问题 【典例8】（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·广西桂林·月考）关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 【答案】 【分析】利用代入消元法，得出，再代入不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ． 题型09 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 【典例9】（2026·浙江湖州·一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意得． 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）为了响应襄阳市中小学“阳光课间活力校园”专项行动，某校成立了足球社团，需要到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． (1)求购买一个A种品牌，一个B种品牌的足球各需多少元？ (2)随着社团人数的增多，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有哪几种购买方案？哪种方案需要资金最少？ 【答案】(1)购买一个A、B种品牌的足球分别需要50元、80元； (2)这次学校购买足球有三种方案：方案一：购买A种足球22个，B种足球28个；方案二：购买A种足球23个，B种足球27个；方案三：购买A种足球24个，B种足球26个．方案三资金最少． 【分析】（1）设A种品牌足球的单价为元，B种品牌足球的单价为元，根据购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元，列出方程组，解方程组即可； （2）设第二次购买A种足球个，则购买B种足球个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价为元，B种品牌足球的单价为元， 依题意得：， 解得：， 答：购买一个种品牌的足球分别需要50元、80元； （2）解：设第二次购买A种足球个，则购买种足球个， 依题意得： ， 解得：， 即可以取值为：22，23，24， 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球22个，B种足球28个， 方案二：购买A种足球23个，B种足球27个， 方案三：购买A种足球24个，B种足球26个， ， 当，时，（元）， 当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， 为了节约资金，学校应选择方案三：购买A种足球24个，B种足球26个，资金最少．最少资金是3168元． 题型10 不等式与不等式组中的新定义问题 【典例10】（23-24七年级下·山东临沂·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义和一元一次不等式的整数解，根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ∴， 解得， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）新定义题定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：．不等式的解集为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级上·浙江杭州·开学考试）对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有2个整数解，则的取值范围是_________． 【答案】/ 【分析】根据新运算的运算法则得，再根据解集中有2个整数解，得，再解不等式即可得出结果． 【详解】解：由得 ， ， 解得：， 由解集中有2个整数解，得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． 【变式3】（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【详解】（1）解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 一、单选题 1．（2024·山东济宁·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解： 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 ． 2．（23-24七年级下·河南开封·月考）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用不等式的基本性质对原式变形即可得到结论，解题关键是掌握不等式两边同乘（除）负数时，不等号方向需要改变． 【详解】解：， ， ． 3．（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数次数为1，且未知数系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵原不等式是关于的一元一次不等式， ∴满足两个条件： 未知数次数为1，即； 未知数系数不为0，即； 由得，解得或， 又∵，即， ∴． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组，易错点是的取值边界． 首先解不等式组得到解集为，由于有且仅有4个整数解，且，因此整数解为，为确保仅这些整数解，需满足，为不包括，需． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵有且仅有4个整数解，且， ∴整数解为， 为确保被包括，需， 为确保不被包括，需， ∴的取值范围是． 故选：． 5．（2026·河南周口·模拟预测）若的解集如图所示，则的值为（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据数轴得出不等式组的解集，列出关于a的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 根据数轴可知，不等式组的解集为， ∴， 解得． 二、填空题 6．（2026·河南郑州·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据求不等式组解集的规律：同大取大，可确定a的取值范围，在这个范围任取一个数即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴得， 取满足题意． 7．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为自然数，则所有满足条件的整数a的个数为________． 【答案】1 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有2个整数解确定a的取值范围，再解二元一次方程组，根据解为自然数筛选出符合条件的整数a，统计个数即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 不等式组至少有2个整数解， ， 解得， 由题意得，， 得： 解得， 将代入得：， 方程组的解为自然数，a为整数，若为负因数，则n为负数，不是自然数， ∴是8的正因数， 又∵8的正因数为， ∴对应整数a的值为， ∵， ∴， 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，均为自然数，符合； 综上所述，满足条件的整数a只有1个． 【点睛】本题融合不等式组整数解与方程组自然数解，通过解集范围限定、因数分析与逐值验证，考查了分类讨论、转化化归思想及对自然数概念的精准把握． 8．（25-26七年级下·重庆·开学考试）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有4个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为． 9．（25-26八年级下·河南平顶山·月考）如图为万达影城的价目表．某社团人去此影城看电影，打算用比赛奖金元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买___________盒爆米花． 【答案】 【分析】先对比两种优惠的性价比，选择更省钱的优惠方案，再根据总预算不超过元，列出关于爆米花购买数量的一元一次不等式，求解后取最大正整数解，得到最多可购买的爆米花盒数． 【详解】解：优惠一：单杯饮料元，单盒爆米花元，买份爆米花杯饮料需元； 优惠二：份爆米花杯饮料元，，因此优先选择优惠二． 人需张电影票、杯饮料，其中杯饮料用优惠二，剩余杯饮料用优惠一． 总费用为： 解得， 为正整数， 的最大值为， ∴最多可买盒爆米花． 10．（25-26七年级下·上海闵行·月考）关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据不等式组无解可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得______；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数m的值； (4)若关于x的不等式组（其中a是参数）的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或 【分析】（1）把两方程相加即可求解； （2）根据并结合建立关于的不等式求解范围； （3）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可； （4）先解出不等式组x的解集，是含有a的一个解集范围，再由“解集中恰好有两个整数”设出两个整数解为k，，列出关于a，k的不等式组，解出a范围，再根据两个解集的范围大小，列出k的不等式，从而求出确定的k，再反带回列出的关于a，k的不等式组，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解： ，得； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，； （4）解： 解得不等式，得， ∵不等式组的解集恰好含有两个整数， ∴， 设整数的值为，， 则有，， ∴，， ∴， ∴， ∴整数k为3或4， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，a的取值范围为或． 12．（25-26九年级下·湖北十堰·月考）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元． (1)求甲、乙商品每件各多少元？ (2)本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元． ①最多可采购甲商品多少件？ ②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案． 【答案】(1)甲商品每件17元，乙商品每件12元 (2)①最多可采购甲商品20件；②方案一：甲商品20件，乙商品10件， 方案二：甲商品19件，乙商品11件，方案三：甲商品18件，乙商品12件，方案四：甲商品17件，乙商品13件． 【分析】（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）①设采购甲商品m件，根据题意可以列出相应的不等式，进一步可得答案，②结合①与购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设甲商品每件x元，乙商品每件y元， ， 解得，， 即甲商品每件17元，乙商品每件12元； （2）解：①设采购甲商品m件， ， 解得，， 即最多可采购甲商品20件； ②由题意可得， ， 解得，， ∴购买方案有四种， 方案一：甲商品20件，乙商品10件， 方案二：甲商品19件，乙商品11件， 方案三：甲商品18件，乙商品12件， 方案四：甲商品17件，乙商品13件． 13．（25-26八年级下·陕西西安·月考）解不等式（组） (1)解不等式 (2)求不等式组的整数解． 【答案】(1) (2)，0，1 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 解不等式得： 解不等式得：， 所以原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，0，1． 14．（25-26八年级下·陕西西安·月考）已知关于x、y的方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在第（1）小题的取值范围内，当a为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得：可得，从而得到关于a的不等式组，即可求解； （2）根据不等式的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：∵不等式的解集为， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵a为整数， ∴． 15．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； ①直接判断 是“有缘组合”还是“无缘组合”A．有缘组合B．无缘组合 填“A”或“B”______ ②判断是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)①B；②“有缘组合”，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围； 【详解】（1）解：①， ， ， ， 不在范围内， 是“无缘组合”； ②， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“有缘组合”； （2）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， 在范围内， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章一元一次不等式（组）章节复习 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点]不等式的概念 知道点2不等式的墓本性质 知识点了不等式的解与解集 知识清单 知识点4一元一次不等式（组）的定义 知识点5解一元一次不等式（组） 知识点6一元一次不等式（组）的应用 题型1不等式的判断 元一次不等 题型2不等式的基本性质 式（组） 题型3一元一次不等式（组）的定义 题型4解一元一次不等式（组） 题型5一元一次不等式（组）的整数解 题型精讲 题型6根据一元一次不等式的解集求参数 题型7根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 题型8整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数问题 题型9用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 题型0不等式与不等式组中的新定义型问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解不等式、一元一次不等式（组）及解集的概念，掌握不等式基本性质，能正确 区分等式与不等式的运算差异。 2.熟练解一元一次不等式（组），规范步骤、会在数轴上表示解集，能借助数轴找公共 教学目标 部分，体会数形结合。 3.能从实际问题中抽象不等关系，列不等式（组）求解并检验合理性，建立数学模型， 提升应用与逻辑能力。 1.重点 教学重难点 (1)掌握不等式基本性质（尤其负数乘除变号），熟练解一元一次不等式（组），规范 书写、准确求解集。 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)用数轴表示解集，正确找不等式组的公共部分；能从实际问题提炼不等关系，建 立并应用模型。 2.难点 (1)理解不等式组解集“公共部分”，掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小找不到”，判断有无解。 (2)解不等式时负数系数化一易忘变号；实际问题中挖掘隐性条件、准确翻译“至少 不超过”等词并建模。 知识清单 知识点01不等式的概念 般地，用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关 系的式子也是不等式 知识点02不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 用式子表示：如果a>b,那么a±c>b±c. 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变： 用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>ic(或“>). CC 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 用式子表示：如果a>b,c<0,那么ac<bc(成4<b). CC 知识点03不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 2不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集， 知识点04一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次 不等式组 知识点05解一元一次不等式（组） 1解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项； ⑤化系数为1. 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 号方向。 注意：符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式 2.解一元一次不等式组 (1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的 解集， (2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组 (3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解 集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分. 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到. 3.一元一次不等式（组）的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）. 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到 下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解. ②已知解集（整数解）求字母的取值， 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中 对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案， 知识点06一元一次不等式（组）的应用 (1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的 答案。 (2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因 此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵. (3)列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式，求出 解集.④写出符合题意的解. 题型精讲 题型01不等式的判断 【典例1】(25-26八年级下陕西咸阳·月考)下列各式中，是不等式的是() A.x+2 B.x=1 C.x+y<l D.x+4=5 【变式1】(25-26七年级下·上海月考)下列表达式中是不等式的有()个 ①-2<0；②2x+3y<0;③x=1;④x2+3x-1；⑤x+2y=4;⑥x+3<y-3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26七年级下，湖南衡阳·月考)“α的9倍与b的一的和是正数”可表示为 2 【变式3】(22-23七年级下·河南驻马店·期中)假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小 型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 km /h. 小客车道 小型车道 大型车道 100 80 100 70 80 60 题型02不等式的基本性质 【典例2】(2026河北保定模拟预测)若m<1,则-2m的取值范围为() A.-2m<2 B.-2m>2 C.-2m<-2 D.-2m>-2 【变式1】(22-23七年级下江苏宿迁·期中)己知x>y,则下列不等式不成立的是() A.x-1>y-1 B.3x>3y C.-x<-y D.-x+1>-y+1 【变式2】62026广东矿广州模拟预测)者弩号，则-，_0， 【变式3】(2026广西南宁.二模)若a>b,则-4a-4b. 题型03一元一次不等式（组）的定义 【典例3】(25-26八年级上·四川成都·月考)下列是一元一次不等式的是() A.2x<3y B.x2+2x+1>0 C.4x-5<x D.3x=42-x 【变式1】(2026七年级下·全国专题练习)下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数() e x>0 x+1>0 x+3>0 [x2+1<x x+2>4: (y-4<0:④ x<-7；⑤ x3+2>4 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式2】K25-26七年级下上海杨浦月考)若(a-2026)x4-025>1是关于x的一元一次不等式，则a= 【变式3】(2425七年级下·全国·课后作业)下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 (填序 号) x+1>0 [2x+1<5x 0+2>2®x-2, 2x-7≤8-x x+5>2 ① y>1:② y<1 xs2；④ 6-x<4:⑤ 3x+5<0；⑥ x-4>3x-1 3 x 题型04解一元一次不等式（组） 【典例4】(25-26八年级下广东佛山月考)解不等式3(2x-1<2(x+1)+1,并把解集在数轴上表示出来. -5-4-3-2-1012345 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x+9>4x 【变式1】(2021-2022学年云南省楚雄州七年级下学期期末数学试卷)将不等式组 2x-4≤12-2x 的解集在 数轴上表示出来 0123456 【变式2】(21-22七年级下·重庆铜梁周测)求不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来。 0)215r+1s1. 3 2 2x-7<31-x) 3x+3≥1-2x· (2) 【变式3】(25-26八年级下山东·月考)解不等式和不等式组 (I)解不等式：3-x<2(x+3),并将解集在数轴上表示出来. -5-4-3-2-1012345 5x-2>3(x+1) (2)解不等式组： 2x≥7-x 题型05一元一次不等式（组）的整数解 【典例5】(2026河北张家口一模)能使不等式3x+1≥-x-3成立的负整数解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3x+9>0 【变式1】(2026九年级下·河南信阳专题练习)关于x的不等式组 的整数解的和为() -2x>2 A.-5 B.-2 C.-6 D.-3 【变式2】(25-26八年级下·陕西渭南·月考)关于x的不等式(4-1)x+3≥4x的最大正整数解是 x+1>-x-3① 【变式3】(2026九年级下·重庆专题练习)求不等式组： 的所有整数解。 43 题型06根据一元一次不等式的解集求参数 【典例6】(22-23七年级下·河南南阳·期中)若不等式3+2x>m+3x的解集为x<1,则m的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1】2025七年级下全国专题练习》若不等式十灯 2>-x- 2的解都能使不等式x>2m+1成立，则实 数m的取值范围是() B.m≤ 5 C.ms-3 3 2 D.m 【变式2】(25-26八年级下.全国·课后作业)已知关于x的不等式3x+1-2x<2m的解集为x<-1,则m的 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 值为 b-3x>0的解集是-1<r<1,则a+b的值是 x-a>1 【变式3】(25-26七年级上江苏苏州·月考)若不等式组 题型07根据一元一不等式组的解集的情况求参数的取值范围 【典例7】(25-26八年级下陕西西安开学考试)若不等式组 x+32≥1有解，则实数a的取值范围是() 1+x≤a A.a>-30 B.a≤-36 C.a>-36 D.a≥-30 x-a≥0 【变式1】(24-25九年级下山东青岛·自主招生)已知关于x的不等式组1-5x、,有三个整数解，则() ->2 3 A.-5≤a<-4B.-5<a≤-4 C.-4≤a<-3 D.-4<a≤-3 x<-4 【变式2】(2022河南信阳·二模)若不等式组 -x>4m 的解集是x<-4,则m的取值范围是 【变式3】（黑龙江龙东地区2025-2026学年九年级下学期一模数学试卷）若关于x的不等式组 2x+5 >x-3 3 只有3个整数解，则实数a的取值范围是 3x+2 <x+a 4 题型08整式方程（组）与一元一不等式（组）结合求参数问题 2x+5y=3m 【典例8】(2025广东广州二模)若关于x、y的方程组 的解满足3x+2y>7,则整数m的最 x-3y=2+m 小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 [2x-y=m+1 【变式1】(24-25七年级下·江西宜春·期末)关于x,y二元一次方程组 x+y=2 的解满足x-2y>1, 则m的取值范围是() A.m<-2 B.m>-2 C.m>2 D.m<2 5x+y=m+1 【变式2】(24-25七年级下·重庆·期末)已知关于x、y的方程组 的解满足-1<x+y<1,则符 x-3y=2m 合条件的所有整数m的取值之和为 x+3y=2a-1 【变式3】(25-26七年级下·广西桂林·月考)关于x、y的方程组 2x+4y=3a+1'且xy满足 -3<x+y≤2，求a的取值范围； 题型09用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 【典例9】(2026浙江湖州一模)2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台.为普及相关科技知识， 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分.设答对了x道 题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是() A.5x-320-x≤80 B.5x-3(20-x≥80 C.5x-320-x<80 D.5x-320-x>80 【变式1】(24-25七年级下·广西百色·期中)在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年 级(2)班的同学们去栽种.若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但 至少分得一棵).若设七年级(2)班人数为x人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是() 2x+42-3(x-1)≤5 2x+42-3x-1)<5 A. B. 2x+42-3x-121 2x+42-3x-1≥1 2x+42-3x-1≤5 2x+42-3x-1<5 D 2x+42-3(x-1>1 2x+42-3x-1>1 【变式2】(23-24七年级下·湖北武汉·期末)某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读， 若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书.共有多少学生？现设一共 有x名学生，则可列不等式组为 【变式3】(25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试)为了响应襄阳市中小学“阳光课间活力校园”专项行动，某 校成立了足球社团，需要到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球 20个，共花费3100元.己知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元. ()求购买一个A种品牌，一个B种品牌的足球各需多少元？ (②)随着社团人数的增多，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调 整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次 购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有 哪几种购买方案？哪种方案需要资金最少？ 题型10不等式与不等式组中的新定义问题 【典例10】(23-24七年级下山东临沂期末)对于任意实数m,n,定义一种新运算m※n=mn-m-n+2, 等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2*6=2×6-2-6+2=6，请根据上述定义解决问题：若 a<4※x<7,且解集中有3个整数解，则a的取值范围是() A.-2<a≤1 B.-2≤a<1 C.-5≤a<-2 D.-5<a≤-2 【变式1】(24-25七年级下·全国周测)新定义题定义新运算：对于任意实数a,b,都有a⊕b=aa-b)+1. 例如：3⊕2=3×(3-2)+1=4.不等式2⊕x>3的解集为 【变式2】(22-23八年级上浙江杭州·开学考试)对于任意实数m,n,定义一种新运算m※n=mn-m-n+3 ，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2※6=2×6-2-6+3=7，请根据上述定义解决问题：若 a<4※x<8,且解集中有2个整数解，则a的取值范围是 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(23-24八年级下·辽宁辽阳·期末)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围 内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”.例如：方程x-1=3的解为x=4,而不等式组 x-2<3的解集为2<x<5,恰好x=4在2<x<5的范围内，所以方程r-1=3是不等式组 x-1>1 x-1>1 -2<3的关联 方程”.结合新定义，按要求解答下面问题： 0在方0+-9：@红7=9：包号1=5中，不等式如4的关联方程老 2x-2>x-1 ；（只填序号) 3x+12x① 2 (2)若关于x的方程2x+k=5是不等式组 的“关联方程”，求k的取值范围？ x-1≥2x+1-2@ 3 强化训练 一、单选题 2x+2>0 1.(2024山东济宁模拟预测)不等式组 -x≥-1 的解在数轴上表示为() A2品023 B.- -210123 D.202寸 3 Q3-24七年级下河南开封月考)若号x>y,则下列不等式一定成立的是 A.x+y>0 B.x-y>0 C.x+y<0 D.x-y<0 3.(24-25七年级下.吉林长春月考)已知关于y的不等式(k-2)y>70是一元一次不等式，则k的值为() A.2 B.-2 C.±2 D.1 4.(25-26九年级上·黑龙江绥化·期末)若关于x的不等式组 x-a≥0 13-2x>1 有且仅有4个整数解，则a的取值范 围是() A.-4≤a<-3B.-4<a≤-3 C.-3≤a<-2 D.-3<a≤-2 5.(2026河南周口·模拟预测)若 -x2-1 -x+1<a 的解集如图所示，则a的值为() -4-3-2-101234 A.-3 B.1 C.-2 D.4 8/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 x>2 6.(2026河南郑州一模)不等式组 、的解集为x>a,请你写出一个符合条件的a的值： x>a 7x+10<5x+4) 7.(25-26八年级下·重庆·月考)若关于x的一元一次不等式组 ≥+a 至少有2个整数解，且关 3 m+2n=4 于m,n的二元一次方程组{ 的解为自然数，则所有满足条件的整数α的个数为 m+an=12 2x-a<0 8.(25-26七年级下·重庆·开学考试)若关于x的不等式组 7-6r≤8有且只有4个整数解，则满足条件的 整数a的和为 9.(25-26八年级下·河南平顶山月考)如图为万达影城的价目表.某社团20人去此影城看电影，打算用比 赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料.若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买 盒爆米花 电影票 爆米花 饮料 40元 25元 10元 ※每张电彪票能使用下列其巾 一种优惠。 优惠二 优惠 爆米花一盒 饮料一杯8元 +饮料一杯29元 x<3 10.(25-26七年级下·上海闵行·月考)关于x的不等式组 x≥2m-3无解，则m的取值范围是 三、解答题 11.(25-26七年级下·福建泉州月考)己知关于x,y的二元一次方程组 ∫2x+y=1+2m(其中m是参数. x+2y=2-m (I)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得3x+3y=；(用含m的代数式表示结果) (2)若方程组的解满足不等式x+y>0,求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，若不等式(6m+1)x-6m<1的解集为x>1,请求出整数m的值： x<a+1 (4)若关于x的不等式组 (其中a是参数)的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围. 2x-2>a 12.(25-26九年级下·湖北十堰·月考)某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350 元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元. (1)求甲、乙商品每件各多少元？ (2)本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元. 9/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①最多可采购甲商品多少件？ ②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的兰，请给出所有购买方案。 13.(25-26八年级下·陕西西安月考)解不等式（组） (①解不等式x+1_x-≥x-」 3 2 6 2x+5≤3x+2)① (2)求不等式组 3x-2<4-3x@ 的整数解。 2 2x-y=1+2a 14.(25-26八年级下·陕西西安月考)已知关于x、y的方程组 的解满足-1<x+y≤3 x+4y=2+a (I)求a的取值范围： (2)在第(1)小题的取值范围内，当a为何整数时，不等式ax<a的解集为x>1? 15.(2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习)阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正 好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式 的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合” ()请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由： [2x-4=0 ①直接判断 5x-2<3 是“有缘组合”还是“无缘组合”A.有缘组合B.无缘组合 填“A”或B” 2-2-3-x x-5 ②判断 3 2 是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； x+3-1<3 3-x 4 5x+15=0 ②若关于x的组合3a>a是“有缘组合，求a的取值范围. 2 10/10